книги из ГПНТБ / Киселев В.А. Расчет пластин

Равнодействующая

на крае х = а

Rx=a

Rx=C

-2Da„,„ л 2

\ + ( 2 - й ± . £

\

± .

(2.59)

а

о2

J

п

Аналогично равнодействующая

приведенных

поперечных сил

на крае

у = 0

а

R„-o

= I Ѵѵ dx = 2Damn

я* Г-£ + (2 -

ц) - f

b

.

(2.60)

о

L "

a2 \

m

Равнодействующая

на крае

y = b

Ry=b

= -R„-o

=

-2Damn

тс2

+

(2 —|x) - f

.-^

—

. (2.61)

m

Угловые

реакции

по (2.52), (2.55):

m

n

a

b

R2 =

2D(\-v.)amnn^m

n

a

b

'

(2.62)

R3=-2D(\-ii)amnn*^.^-

m

n

V

b

/?4 = 2 D ( l - | i ) a m n K « -m n

a

' b

подъема.

Условия равновесия (см. рис. 21):

2 2 = Я , — / ? ! + /?„ — Я 8

+ Я 4

- Я * = о

+

+ Rx=a—Ry=o

+ R!/=b = 0;

(2.63)

^1Mx

= R3b~Rib

+

Rx=0-^—Rx=aY

- R , = b b

+

Rq-^=^0;

(2.64)

'2iMy

= Rba—R3a

+ Rx=aa~Ru=o

+

+ /?,-»-§--

RqY

=

0.

(2.65)

коэффициентов атп

по выражению (2.42). В этом выражении зна­

менатель Ьтп,

определяемый формулой

(2.44), от нагрузки не за­

висит, и его значения

при заданных коэффициентах постели сх и

с а могут быть табулированы, а числитель qmn>

зависящий от нагруз­

ки, определяется формулой (2.43).

1.

Равномерная

нагрузка

q, направленная

вниз

по всей пластине

(рис.

22).

По формуле

(2.43)

при отрицательном знаке

нагрузки

а b

4

С С

• тпх .

пли

, ,

4qaA (1 —cos тп) (1 —cos im)

n*mnD

(m2 + Y2 «2 )2 + nAD n 2 D ( m a + v%a)

где V = а : b при m =

1, 2, 3, ... и n — 1, 2, 3,

После упрощений

получим

Ща*

(2.66)

w

X

m =

1,3

sin

тпх

пяу

a

sin ——

X

b

(2.67)

n = i , 3 . . .

m n

( m 2 + Y a r t 2 )

2 -

4 D n2 £>

(ffza +Y2

«a )]

5i

І б д а 2

2

1

X

ш = 1 . 3 / 1 = 1 , 3

(m^ +

HV 1

)sin

sin

X

о

6

(2.68)

(m2 - h

Y 2 " 2 ) 2

4- ~

+ ^

(яг2 +

Y2 »2 )

o o

o o

/ / i = 1,3 /( =

1,3

„ „

ttiTix

nny

(y2n- 4

- (WH~) s i n

s i n

b

X -

a

(2.69)

с, а"

c2 a-

(т2 +72 /г2 )2

(/n2

+ v8 rt2 )

n 4 D

n 2 D

т + п~ 2

оо

оо

•

I6ga*

у

( - 1 ) 2

т + п— 2

Л" МаКС '

л

/_і

/ і

/ 9

і 9 9 \ о

- л

m= 1 , 3 , . . . п =^-1і , 3 , . . .

Ш ( и г

+ р ' ) *

После интегрирования

по у

— 4<7 / і

\ Г

• »тх

J

qmn

=

a2

-(1—cos пп) \ X sin

a

ax.

nn

J

0

qmn

— ———cos m л (1—cos nn).

тпл2

Значение

атп

по (2.42) с учетом (2.44)

будет:

4qax cos inn

(1 — cos пп) = %даА ( — \ ) т

^ усу

iBmnD

nHL>

n*L>

при m — 1,

2,

3, ... к n = 1, 3, 5, ...

3. Распределенная

нагрузка

по всей пластине по закону

q(x,y)=—-j-y

о

(рис 24).

4qai c o

s / m

(

l

—

c o s

m i t ) =

8 < ? а 4

( — 1 ) "

(2.71)

з т 6 mnD

( m « +

Y

»

„

»

) »

+ - i

— +

( m 2 + v 2

/ г 2

) ]

тт *4

/ I

2

D

J I

D

n

при m = 1, 3, 5... и n =

1, 2, 3, ...

4.

Распределенная

нагрузка

по всей пластине

по закону

Ц (х, у) =

+ ( < 7 ь — < 7 о ) т -

? о +

( 7 в — ? о ) —

( Р н с - 2 5

) -

Формула

для коэффициента

o m n

получается на

основе

(2.66).

(2.70)

и (2.71):

ß m n

= [4<7„(l—cosmn)(l—cos «я)—4 (qa—q0)cosmn

(1—cos/гя) —

—4(</b —q0 )cosnn(\—cosmn)]Û4

: mnn6D

j^(m2 -f- y2n2)2

+

я 2 І >

^

2 n2 )j

(2.72)

V

Г

при

m = 1, 2, 3,... и n = 1, 2, 3, ...

5.

Сосредоточенная

сила

Р в

точке

с координатами

х = с и

у = d (рис.

26).

Сосредоточенную нагрузку представим распределенной по пло­

щади элемента dxdy

dx dy

В этом случае имеется нагрузка только на элементе dxdy в точ-

ке с координатами х = с и у =

d, интенсивностью

<7 =

, а во

всех

остальных местах

пластины

q = 0.

Поэтому

на

основании

(2.43)

будем

иметь:

Чтп =

4P

•

тпс

. and

г sin

s i n - — .

ab

a

b

По

(2.42) получаем

4Ра3

тпс

s

tmd

s i n

a

i n

b

(2.73)

C i а 1

с 2

а"

б я ' 1 D

ѵи = РФ(х,у,с, d),

(2.74)

при m =

1, 2, 3,

... и /г — 1, 2, 3, ...

6. Сосредоточенный момент Мх

в точке с координатами

х = с

и у = d (рис. 27, а).

Нагрузку

моментом Мх

заменим силами Р, дающими при плече

de момент Мх,

т. е. Мх

= Pdc (рис. 27, б). Согласно (2.74)

можем

записать

ш = РФ (х, у, с +

de,

d) — РФ {х, у,

с,

d).

Так как Р = Мх

: de, то

Ф (х, у,

c +

dc,

d) —Ф (.v. (/, с,

d)

A

f

,

f .

de

Учитывая (2.75), окончательно

получим

4Мха2

сю

оо

V

nin e

.

nnd

.

mux .

nny

(m2

-fv2 n2 )2 -j-

Ш :

2 2

m cos

sin — sin

sin •——

bnsD

m = 1 п = 1

a

b

a

b

Ci a* .

C2 a-

K

+ Y2 "2 )

(2.77)

n 4 D

b

^

rt2 D

Аналогично

от

момента

MtJ,

приложенного в

этой

же

точке

(рис. 27,

е):

оо

оо

w •• Ми — =

Zi

2 J

« sin

X

nnd

.

mnx .

' - H ^ - J :

^(/л2 + у2 п2 )2

+

X cos

b

sin

a

sin

+

^ + ^ K + Y 2

" 2 )

(2.78)

я D

n2D

Рис.

27

Рис.

28

7.

Распределенная

моменпгная

нагрузка

Мх

(у) по грани х = О

(рис.

28).

(у) в тригономет­

Разложим заданную момент-иую нагрузку

М х

рический ряд

МХ(У)=

2 C " s i n { ^ '

(2.79)

где

Cli =

^^Mx(y)sm'^dy.

(2.80)

Для решения используем формулу

(2.77),

в

которой

1

4/Йт я

m cos

т л е

.

nnd

(2.81)

a2

6

sin

Выделим из заданной моментной нагрузки

бесконечно малый со­

средоточенный момент при

координате у:

dMx

= Мх

(у) dy = dy%

Cl sin ' - ^ ,

л =

1

Согласно (2.81)

при

с = 0

и

d = у

da„

—

ay

7, С„ sin—— m sin /ілі/

Ь,пп

а*ь \

n = 1

К

! »

a m n =

:

"TT

2

с

" s i

n П^Г \ т

s i

n

^Г" dtJ-

J 6 m n

a2

6 ^„-Г- ,

b J

b

Учитывая

свойство

ортогональности

ь

5

І

, А

і

п

^

= (

0

"P"1

k

* n

,

(2.82)

0

6

6

1 6/2

при

Ä =

/ i

легко

получим

_

2лтСд

(2.83)

8.

Распределенная

моментная

нагрузка

Мх(у)

по

грани х — а

(рис.

29).

Аналогичными

рассуждениями

получим

со

МХ{У)

=

2

C r s i n ^ - ,

(2.84)

где

n=l

b

й

С Г = А

Г MK (i/)sin^dy.

2

о

6

С учетом того, что

с =

а

и

направления

мо"ментной

нагрузки

a m n =

2 я я

г

cos пгяСп*

, п О Г Ч

т

;

•

( 2 - 8 5 )

9.

Распределенная

моментная

нагрузка

Ми

(х) по грани

у = 0

(рис.

30).

М у

(х) =

2

An sin-тлх

где

ci

Dtn = — \My

(x)s\nn-^dx;

a J

V

Рис.

29

, /Ч ( Ѵ ) =

/

-У

•

N S *

А/у (Л)

Рис.

32

W

Рис.

30

Му(х)

'rearm

Рис.

31

Рис.

33

10.

Распределенная

моментная

нагрузка

Му

(х)

по

грани

у = b

(рис.

31).

где

а

Г)** —

— \ Ми

(x)sin

dx;

I S m

—

a J

а

2лпОпг

c o s

im

(2.87)

b,„n

b2

11.

Распределенная

моментная

нагрузка

по

всем

граням

пла­

стины

(рис.

32).

2л ІтСп

тСп* c o s ш з т , iiDm

nDm c o s пп

•'тп

b2

. (2.88)