книги из ГПНТБ / Киселев В.А. Расчет пластин

Yfn (У) == YÜi (y) + Y** (у) =

С, F* (у) + C 2 F~t(y).+

Cs

F* (y) +

y

+ СХ(У)-

\q-^-F'l{y-u)du.

(2.127)

о

D

Запишем равенства

(2.124) — (2.127)

при

y

=

0,

учитывая

матрицу (2.118):

7m (0) = Ci ;

У«(0) = С8 ;

У;»(0) = С2 ;

П,(0) = С4 .

Теперь

выражение

(2.124)

представим так:

Ym

(у) = Ym

(О) Л

Ы + П

(0) F2

(у) + 7 ; (0) F3

(у) +

+ Y'H, (0)Ft(y)-

j

qj^-Fi(y-u)dit.

(2.128)

Учитывая,

что

M y m ( 0 ) = - D ' ^ ( 0 ) - и . ( ^ ) Ѵ т ( 0 ) ] ;

V y m (0) =

- D

r l ( 0 ) - e ( ^ ) V , ; ( 0 ) ] ,

можем

получить:

^

+ . ( ^ ) V m ( 0 ) ;

(2.129)

y - ( 0 ) = - ^ ^ +

e ( ^ ) V ; ( 0 ) .

(2.130)

Подставляя полученные выражения (2.129)—(2.130)

в (2.128),

будем

иметь

П і ( < / ) = З Д ) +

ЗД)

= Г т ( 0 ) > і

0 / ) + Н - ( ™ ) Ч

(0)] +

+

П ( 0 )

(у)

D

РЛу)-

^

Р

Л

у )

-

\ ^

F i

{ y - u

)

d

u ,

(2.13

n

у

Yfn(y)=-

j 4-^Ft(y-u)du.m

(2.132)

b

Если нагрузка прерывная (рис. 34), то частное решение для

различных

участков

будет:

для

первого

участка

0^.y^.d{

у

du,

для

второго

участка

с?! ^

у ^

d2

у

у

У*т2{у)=-\

*yg±Ft(y-u)du-

j &q™{u)

F,(у-и)du

О

di

У

=

Y*ml(y)-^^^F,(y-u)dut

где

àqmi

(u) =

qmi(u)—qml(и).

Общая для п-го участка:

УГпп{у)=-^Р,(у-и)ан-

^ ^^ÛFt(y-u)du

=

І= I d;

У

=

rmln-1)(y)-

f

^!!^R^Ft(y-u)dut

(2.133)

dn-l

где

AQmi

(u) = qm(t+i)

(") —qmi («)•

(2-134)

оо

Pdi(x)=

2 P m i № ) s i n — ,

(2.135)

Pmi(dù

= —

pd.(x)s\n

—

dx.

(2.136)

а •> '

а

о

Аналогично

раскладывается

в

ряд сосредоточенная

сила Pt

в точке с координатами

x = ct

и y~dt

(рис. 36):

Pmi(dù

= - Р , s i n ' Ä

(см. рис. 36, б).

(2.137)

а

а

Нагрузка p m i (d £ )

(см. рис. 35,6

и

36,6)

создает приращение

AQ,jm(dù = àVvm(dd

= pmi{dd.

(2.138)

Полагая

Pmi idi) = ^Уут (di) = <7m (") d ">

по (2.132) будем

иметь:

Y*m(y)=

"-^-F.iy-dt).

(2.139)

Если

при

у = dt

имеется полосовая

моментная

нагрузка

Мѵі (х) (рис. 37, а), то и она должна

быть разложена в ряд

Мв1(х)=

І2. .

тпх

(2.140

S

Mml(dt)sin

a

где

ш =

I

a

Mmi[dt)

=

A

\муі(х)

sin

dx.

(2.141)

a

J

a

0

При

сосредоточенном

моменте

Myi

в

точке с координатами

X — Ci и у =

d£ (рис. 38, а)

коэффициент

разложения

будет:

Mml(dt)=±Muism2fl

(рис. 38, б)..

(2.142)

Сосредоточенно-полосовая

моментная

нагрузка

Mmi

(dt)

(рис. 37, б и 38, 6) создает

приращение

Д Л Ѵ *

=

( 4 ) -

( 2 Л 4 3 )

Рис. 35

Рис. 37

Рис. 36

Рис. 38

Заменим

сосредоточенно-полосовую

моментную

нагрузку

M mi (d-i)

двумя

сосредоточенно-полосовыми

нагрузками

(рис.

39)

Pmi (di)

с расстоянием

между

ними à.dt

0 при

условии,

что

AMJ / m (rf£ )

=

pm i (rfi )Adt -.

Согласно

(2.139),

П(у)

=

-ImUÉiL

F i

(у- dt)

+

F,(y-di-bdi)

Pmi(dj)

Рис. 39

И ЛИ

Y%{y)~-

ЬЩтШ

FtUt

— dt— Adt) — Ft(y—

do

D

При

Adt-+-0

V *

z

>

ЬЩпШ

dFt

àMym{di)

Ущ(у)

=

• — =

F3(y — dt).

(2.144)

Утп (У) =

К

(У) +

УГпп (У) =

Ym

(0) Fi

(У) + V- (—Уря(у)

a

J

+ Ут(0) рау)+*\ — )~рл(у) ЩтD

(0) F3(y)~

Ft{y)

— j

да-^

Ft

{y-

a) du—

^ —

F3 (y— dt)—

n— 1

_ 2 ^ №

>

Л ( У

- ^

) -

2

S

(2.145)

l = 1

d;

Qmi (") - q m i

(Ö) +

q'm,

(О) и + . . . ;

(2. Н6)

А9Т О і(")

= А^т І (гі( )

+ А ( 7 т і ( ^ ) ( и - ^ ) .

(2.147)

Подставляя (2.146),

(2.147)

в

уравнение

(2.145)

и

интегрируя

только

два

первых слагаемых

рядов,

получим:

Утп

(у)

= К

(У) +

Ymn (У) =

Ym

(0) | > х (у) +

ц ( ™

j Ѵ 3 (у) +

MymW

+

YM

F2(y)+s(f)

Ft(y)

D

Vym(0)

Яті (0)

„ ,

D

<7nu(«) — ?mi(0) — ?,„,

(0)w

•F4

(г/—u)d« —

D

(1=1

A M j , m

(dj)

n = I

AVym (dj)

D

FAy~dù—

2

D

F

d

y

-

d ù -

( = 1

г = i

n =

1

&Яті

(Ai)

[l-Fx(y-di)]-

i =

î

DK,,

« = i

- 2

= l

4

t ( y — d i ) — F 2 ( y — d i ) ] —

i

n = l

*

A?mi (и) — Ag m г (dp — Agmi (d;) (и — dj)

,1,

i

Fé (y —и)

du. (2.148)*

D

Цті

(dû

(и — d;) F 4

.

— u) du

=

àqmi

{di)

X

D

(y

D

X

(u _ dû

_

du

if

(u —

di)

F t (j/-u)

+ Ft

(y-u)

j *

=

АзкШ.

[(j,-dd-F,(y-d,)].

участка, а затем и для остальных.

Уравнение

Ym

(у):

(0 ^

у ^

dj)

а) для

первого

участка

У,пЛу)=Ут(0)

+

+ Ym(0)

|F2 Q/)

+ e ^ Y F t

( y )

D

Vym (0)

F*

(У) -

^

-

[ 1 -

Л

(У)]

-

é

^

T

\У-

г

D

1

m-F

_

J gml(u)-gml(0)-gi,U0)u

F i { y

_

u

) d

u .

( 2 . 1 4 9 )

б) для

последующих

участков

(аг<.у)

Ym ( В + 1 ){у) = Ymn

(у) +

AYmn

(у),

(2.150)

/г =

1, 2,

где

bYmn

{y)=

D

F3(y—dn)

D

Ftiy—d»)-

A<7mn (dn)

[l-FAy-dn)]-ЛзкіЕпІ

[ ( l J -

d n

)

-

F2(y-dn)]

j" A 9mn (")—

Mmn (dn)—

Цтп (dn)

(tl — dn)

p?

(y_u}(lu

Составим

последовательные

производные

от

(2.149),

(2.150).

Уравнение

Y'm

(у):

(0 ^

у ^

dj)

а) для

первого

участка

+

у;п(0)

F'2(y)

+*(—Уг1(у)

Щт(Ъ)

F3

(у)

D

ѴутіО)

ч

ЧтАО),

[О - ^І m- *£Р-п-F-t

m -

D

;р'Лу)-

DK

DK,

, j qni(u)

-<1пи(0)-ф'пі

(0) и

F ,

{ [ J

_ u ) d

u .

(

2 Л 5 1 )

б) для последующих

участков

(dx<y)

Y In (

l t + , » (y) =

r ; , m

(y) +

AYL

(У),

(2.152)

/г =

1, 2, ...

где

àYmn(y)

=

D

^ 3 (y—dn)

D F, {y— dn)

—

A?mn (dn) [0-F[

(y-

dn)}-

^ n n ( d n )

[ l _ n { y _ d

n )

]

У

(u) — àqmn

,

__ Г

àqmn

(dn) — kqmn (dn)

(u~dn)

p,

du

Уравнение

Y"n (y)'-

a) для первого

участка

(0 ^

y ^ dy)

Ymdy)

=

Ym(Q)

+•

+

Y'm(0)

Fm

+

ti^ypuy)

MymjO)

D

^f:

( y

) ~ ^

-

Ю - f\

(y)] ~

4 ^

t o - f;

m

-

_

J

qml

(u) -

q m l

(0) -

(0) и

p .

{ у

_ ц

)

(a)

б) для последующих

участков

(dL <

у)

Y"m („+ i) (y) = Ymn (У) + àYm„

Il = 1, 2,

где

л \ rii , s

Шут(ап)

àVym(dn)

A K m n (</) =

ІУ— d n )

• ^ 4 (y — da) —

Уравнение Ym

(y):

a) для первого участка (0 ^

г/ ^ dj)

П«.и/) =

К т ( 0 )

+

+ Y'm{Q)

F':-(y)+z[™)~

F-(y)

D

F3 (У)-

( y ) - і ^ . [o -

[ 0 _ / - m

.'/

-

Яті (0) — q'm,

(0) и F'ï

(y~u)du;

D

б) для последующих

участков

( d 1 < £ / )

Ym\n+i(y)

=

Ymn(y) +

AYmn(y),

n= 1,

2,

где

ЛУт „ (y) <

D

— dn)

D

Ft

(y—dn) —

Используя

далее выражения

(а) — (г),

составим по (2.І04)

уравнение изгибающих моментов Мут

(у),

а по (2.106) — уравнение

приведенных поперечных сил Ѵут

{у).

Уравнение

'изгибающих

моментов

Мит(у)

=---D

|У7П 0/) -V-

{^)

Ут(У)

а)

для первого

участка

О ^ г / ^ r f j

Munu(y)=-DYm(0)

К(у)

+

^^)'К(у)

—

[І

inn

Fi

(y)

+

V.[ —

)~Fa(y)

-DY'm(Q)

K(y)

+

^[f)2K(y)

mn \

2

— И- ( —

I X

а

X ЛО/) +

е ( ™ ) Ч ( і О

+

Mum(0)

а

+

+

Ѵт(0)

F\

(у) —

ц

inn

F* (У) +

+

l [Qml (") - 4 m X (0)—Çm I (0) U] X

X

Fl(y

— u) —

\i^jFt(y—u) du:

(2.153)

б) для

последующих

участков

(dx <

y)

Mml„+i)

(y) = M!/mn

(y) + Шутп(у),

n =

1, 2, ..

(2.154)

где

ЬМутпІУ)

=

A M B m ( d „ ) ^ ( ^ — d „ ) —И- ( — V

F3(y—dn)

+

a J

+ A V „ m ( d „ )

a

/