Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Киселев В.А. Расчет пластин

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

4.3 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1615 16 > Следующая >>>

Эти условия показывают, что шарнирные опоры как бы продолже ны до точек тип.

Перемещение точки / войдет в уравнение (4.56), написанное для нее. Таким образом, перемещения всех точек сетки (рис. 62) опре деляемы. Граничные условия для угла можно записать так:

1) wt = 0; 2)МХІ = 0; 3) Л*„ = 0; 4 ) ( ^ = 0 и 5) ( ^ ) - 0.

Однако условия 4 и 5 являются следствием условий 2 и 3, и наоборот. Покажем это:

по	(4.58)
	Мхі = ~D1 ( ^ - 2 ^ ь + ^ ^ Щ ± ^ ) = 0; .
по	(4.59)

Из

этих

условий имеем:

wd—2wt

+ wb = 0;

wc — 2wi-j-wa

= 0.

учетом

того, что wi

= wa = wb

= 0,

получаем

по

(4.44)

, =

«^ = 0

[см. (4.79)];

wb — wd

•0.

отсюда

— 0;

дх

2ІХ

по

(4.49)

/' dw

• = о.

ду

)і:

2ХУ

отсюда

= 0.

не получили.

Новых

результатов

6. Угол, образованный двумя

защемленными

сторонами

(рис. 63)

По свойству

заделок

имеем:

(4.81)

Щ = w c = wm.=

w h =

Wa=Wi

Wb =

Wi^0.

Из

этих

условий вытекает, что заделки как бы продолжены до

точек

т и п .

141

Граничные	условия для угла:
,) И , = 0;	2, ( ^ ) le - , 3) ( ^ ) _ о .
По (4.44)
	дш	wb — wd = 0.
Отсюда	дх	) І 2%х
Отсюда
	wd	= Q) [см. (4.81)]

4 /

^^777777^777777*777^-

Рис. 63

По (4.49)

		dw		=	0.
			2КУ	=	0.
Отсюда			2КУ
Отсюда
		шс = 0 [см. (4.81)].
Покажем, что изгибающие моменты				М	Х І и М У І		в угловой т
ке при Wt = wa = wb = wc — wd			= 0	обращаются в нуль.
По (4.58) — (4.59)		имеем:
М Х І	n ( wd — 2wj-4rwb		, t t	wc	— 2wi4-wa	=	0;
М Х І		Г5	r h		л 2	=	0;
		Г5	r h		л 2
	\	Ллг		Л//
	\	Xy			I I	=	0.
	\	Xy			I I	/
						/
7. Угол, образованный шарнирной стороной
и защемлением (рис. 64)
По	свойству опор имеем:
wn=wd	= wm	= wo = wh = wa=wl		= wb = wl — 0\			(4.82)
		We = Wf = — wg = — wh.					(4.83)

142

Это значит, что заделка как бы продолжается До точки m, а шар нирная опора — до точки п.

Граничные условия для угла:

1) шг = 0; 2)	dw	= 0; 3)	dw	= 0.

Эти граничные условия совпадают с граничными условиями слу чая 6, а потому все полученное там относится и к случаю 7.

8. Угол, образованный защемлением и свободной стороной (рис. 65)

На основе свойства заделки можем написать:

wh	= wa=Wi = 0;		(4.84)
we = wf; wd	= wb; wn = wt;	wh = wg.	(4.85)

Для определения перемещений в точках с и m пока уравнений нет.

Рассмотрим граничные условия угла:

=	2 ) ( f ) = 0 ; 3, ( ^ = 0 ; 4 > Л „ = 0;
5) Ѵ„ = 0.

Условие	dw	= 0 приведет	к тому, что
Условие	дх	= 0 приведет	к тому, что
	дх	/і
		wd	= wb.

дш

Условие = 0 определит ~д7

wc = wa=-0.

По (4.59)

(а)

(б)

						Лл-
или		wd	+ wb	=	0.	(в)
Следовательно,
		wd	= wb	=	0.	(4.86)
По (4.67)
Ѵуі = D 2 { ^ г ( - ш т + 2шс - 2ша + шА) +
2 л \| Ху	[(we-~2wa	+ wf) + (—wh				+ 2wc — wg)]\ = Q. 4
2 л \| Ху

143

3	8
I	г •

Рис. 65

Рис. 66

После упрощений

^r + -jr[^e

fi-5			2	6	I
			4	6	SJ X
	4		/
I	5	J	2
		J	2

I	fi	Л,= 2«		if
	fi		/	>.
		1-	1	L_ .	1 wg-~Wj
	(При		заделках ѵѵ7 = і ѵ г ;		ws = ws)
			Рис. 67
+ wf)-(wh			+ wg)] = 0.		(4.87)

	9. У Г О Л ,			образованный шарнирной					опорой
	и свободной				стороной (рис. 66)
	По свойству				шарнирной опоры имеем:
					wk = wa = wt = 0;						(4.88)
	we = — wf;			wd= — wb;			wn = —wt;		wh = — wg.		(4.89)
Нет уравнений для определения перемещений										в точках	с и т .
Рассмотрим			граничные			условия		угла:
1 ) ^ = 0;		2)	( - Ц - ) 4 = 0;			3)	Мхі	= 0; 4) Муі		= 0; 5) Ѵиі = 0.
Условие	( - ^ М		= 0	определяет
	V ду J Ï
											(4.90)
Условие	Мх1	= 0 по (4.58)				дает
			wd — 2wj + wb			-, - t	taie —2а;гфп!)а		_	л
								Л2

Отсюда

(4.91)

144

Условие Миі = 0 по (4.59)			определит
wc — 2wi-^Wg			, wd —	2wj-\-wb
4			' r i	4
Отсюда получаем wd =—wb			[см. (4.91)].
Последнее условие Vyi	=	0 по (4.67)		будет:
2%l	( — o»m + 2a;0 — 2wa + wk) +
1
2\x л-у [(wa—2wa			+ wf) + ( — wh + 2wc — wg)] = 0.
После упрощений будем		иметь
wm =			0.	(4.92)

Пример. Для изотропной пластины 8 X 8 ж, нагруженной рав номерной нагрузкой q, требуется найти в некоторых точках про гибы, изгибающие моменты, поперечные силы и реакции.

1. Пластина шарнирно опертая. Разбиваем пластину на 16 квад ратов с кх = Ху = 2 м (рис. 67). Разметка точек проведена с учетом симметрии задачи.

Уравнение прогибов в конечных разностях для изотропной

пластины по (4.56)		будет:
20wt — 8 (wa		+ wb + wc + wd) + 2 (w„ + wf + w8			+ wh) +
+ (wk + wl + wm + wn) = —			^ .		(4.93)
Применяем условия (4.66), (4.67).
Записываем уравнение (4.93) для точек				/—3:
20 wl—8{w2	+ w2 + w2 + w2) + 2{w3 + w3			+ w3-\-w3) +
		+ (0 + 0 + 0 + 0 ) =
20w2—8(0	+ w3 + W l + w3) + 2(0 + 0 + w2 + w2) +
	+ ( - ш 2 + 0 + ш2 + 0) = ^ 1 ;
20w3—8	(0 + 0 + w2 + w2) + 2 (0 + 0 + 0 +				+
			q2*
				D
или:
		20шз — 32о)2 + 8w3 =	;

J45

— 8wt + 24ш„ — 1 боі, = —

;

2Wl

— 16o»g-f 20ю8

•-

1 G q

•

Эти уравнения

могут

быть приведены к каноническому виду

20t%—32да, 4- 8и»3 = - ^ - ;

— 32w1 + 96wi

— 64а»з=

•

6 4 < ?

8ШІ—64iw2 4- 80ш3

64<7

Решая

уравнения,

получаем:

66?

48<7

35<7

О У І =

— — ;

w9 = —— : ш„ = ——

При p. = 0,3

F h3

10,92

Наибольший прогиб в центре пластины

66?-10,92- = = 1 8 0

1 8

А з

По табл.

4£А3

0,0443? • 84

, О

І ,г

г-, g

01)! = —

Eh3

181,45(7 :£Уг3.

Совпадение

даже

редкой

сетке

хорошее.

при такой

Изгибающие моменты

Мхі

по (4.58)

Мхі

[(te»d-2Œ;j +

юь )4-0,3 (да 0 - 2а/ г + а»в)}.

В центре

пластины

ЛГх 1 =

4 (1 + 0 . 3 Ж - 2 Ш ! 4- ша ) =

__ L3D С J Ë ! L _ 2

Ж . + = 2 , 9 2 5 ( 7 -

4 i

По табл.

1 Мх1

= 0,0479

q-82 = 3,066 <7 (совпадение

хорошее).

Поперечные

силы

по (4.61):

Qxi

= —^-[(-wn

+ 2wd-2wb

+ wl) +

(w8—2wb

+ w}) + {— wh

+ 2wd—we)\.

(4,94)

146

Для / = 4

Qxi =	тг К— Wx + 2 О У 3 H • 2o/a — ші) - \| - ( — o/a + 2 О У 2 — w 3 ) +
	16

(—ау3

+ 2да 2 — ОУ 3 )1=

2шх + 8ш2 —4ш3 ].

Подставляя

данные,

получим

Q 66g

j g

48g

35g

1,75g.

По табл.

I — 0,338

q-8

2,704 g.

В поперечной силе получились большие расхождения и равно

весия между нагрузкой и поперечными силами нет. Аналогично

вычислены:

Q X

2 — — 9q

: 8;

Q X 3

= — 7q

: 8.

Полагая по линии

3 —

—

эпюру Q X между точками линейной

получаем

их

равнодействующую:

М т ' + т ' ) 2 - 4

' -

Условие равновесия вырезанной части пластины

—

3 — 3

— 3 4 RQ

—16

q =

4-4q—16<7з=0

удовлетворено.

Аналогично по (4.60) и (4.61) вычислены сосредоточенные

реак

ции

в угловых точках 3 и приведенные

поперечные

силы:

n	184,8g .		у	194,4g.	у	=
	128	'	X Z	128 '		х 3

154g

128

PI в этом случае условие равновесия 4 R +			16 g — 4 /?у = О удов
летворено.
2.	Пластина защемленная.	Принимая допущения в виде (468),
(4,69),	получим по (4.93) уравнения прогибов:
	20 wx — 32 w2	+ 8 w3 =	16 q : D;
	— 32 w1+ 104	w2 — 64 w3	= 64 q : D;

8 Wx — 64 w2 + 96 w3 = 64 q : D. Решая уравнения, получим:

656	q	440	q		298	q
89	D	89	D	3	89	D

Прогиб посередине пластины

wx = 7,37 -J.

Приведем это выражение к формулам справочника [15, стр. 621]:

7 і 3 7 - £ - = а - ^4		D	= а .	8 '4	1 ( ?
D	10	D		10	D

147

Отсюда а = 17,98. По справочнику, а — 13 (расхождение большое). Изгибающий момент при ц = 0,15

Мхі	=	[(w2—2wx		- f w2) + 0,15 (wa—2wj_ + w2)] =
		2 a
		=4 —0,575D(ta;2 —шО,
или
		M , x = 0,575D( Ä —			^	= 1,40g.
		*	V 89D		89D У
Приводим	Мх1	к форме	справочника
			4	* 1 0 3	F	103

Отсюда ß = 21,9. По таблице справочника ß = 18 (приближение посредственное).

Изгибающий момент в заделке

Mxi =

-^-2w2=~2,47q,

приведем его к форме справочника

_2 > 47<7 = ß		- ^	= ß<7-^-.
4	1	103	103

Отсюда ß = — 38,7. По справочнику ß = — 51 (расхождение большое). По-видимому, принятая сетка для защемленной пластины редка. Подсчитанные для этой пластины значения при \і — 0,15:

1744

. Л

1104?.

, ,

2111,2

g .

Ѵ ж 2

—

J424

Ч> ^ж з —

•

v xi

—

2 424

v хЗ —

1294,4 q

1152,2 q

1424

; R ——1424

удовлетворяют равновесию вырезанной

части пластины 3—3—5—3.

Получим

п р и б л и ж е н н о

поперечные силы

в заделке:

Q*4 = Q « - 2<7 =

4592g : 1424;

Qx5 — Qx3 — 2q =

3952g : 1424.

Приближенное

условие

равновесия

1424

Многочисленные справочные материалы по расчету прямоуголь ных плит методом сеток приведены в работе [4].

С П И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

е з у X о в

Н.

И.

Основы

теории

упругости, пластичности и

пол

зучести.

«Высшая

школа»,

1966.

е й е р К.

Статика железобетонных

сооружений. Макйз,

1928.

В а р в а к

П.

М.

Развитие

и приложение метода сеток к расчету

пластинок, ч. 1, 1949, ч. 2,

1952, АН

УССР.

В а р а а к

П.

М.

Таблицы

для

расчета прямоугольных

плит.

Киев,

АН УССР,

1959.

В л а с о в

В. 3. и Л е о н т ь е в

H .

Н.

Балки,

плиты и

оболочки

на упругом основании. Физматгиз,

1960.

Г о р б у н о в - П о с а д о в

М. И. Балки

и плиты

на упругом

осно

вании.

Стройиздат,

1949.

е м о ч к и и

Б .

Н. Теория упругости. Госстройиздат,

1957.

К и с е л е в

В.

А. Метод начальных параметров при расчете круглых

пластинок с осесимметричной нагрузкой. В сб. ((Исследования по теории

сооружений», № 6.	Стройиздат, 1954.
9. К и с е л е в	В. А.	Расчет прямоугольных ортотропных	пластин на
упругом основании	с двумя	характеристиками на статическую и	вибрацион

ную нагрузку. В кн. «Теория оболочек и пластин». Труды 4-й Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин в 1962 г. Изд. АН Арм. ССР, 1964.

10. К и с е л е в В. А. Расчет прямоугольных ортотропных пластин на упругом основании с двумя характеристиками на статическую и вибра ционную нагрузку. В кн. ((Строительная механика». Стройиздат, 1966 (юби лейный сборник, посвященный 80-летию И. М. Рабиновича).

11. К и с е л е в а И. В. Колебания ортотропной прямоугольной плас тинки с сосредоточенной массой, опертой по двум противоположным сторо нам с произвольным опиранием других сторон. В сб. «Исследования по теории

сооружений», № 10. Стройиздат,		1961.
12. К и с е л е в а И.	В.	Колебания ортотропной	прямоугольной
пластинки с сосредоточенной	массой на упругом основании		с двумя коэффи

циентами постели. В сб. «Исследования по теории сооружений», № 13. Строй издат, 1964.

13.Л е х н и ц к и й С. Г. Анизотропные пластинки. ОГИЗ . Гостехиздат, 1947.

14.H и к и ф о р о в С. Н. Теория упругости и пластичности. Гос стройиздат, 1955.

15.Справочник проектировщика (расчетно-теоретический). Стройиздат,

1960.

16.	Т и м о ш е н к о		С.	П.	и	В о й н о в с к и й - К р и г е р С.
Пластинки		и оболочки.	Физматгиз,		1963.
17.	Т и м о ш е н к о		С.	П. Теория			упругости. ОНТИ,		1937.
18.	Ф и	л о и е н к о : Б о р о д и ч				M .	М. Теория	упругости. Физмат
гиз, 1959.
19.	Ш и	м а й с к и й	Ю.	А.	Изгиб		пластин.	ОНТИ,	1934.

149

О Г Л А В Л Е Н И Е

		Стр.
Г л а в а	1. Введение	3

§1. Предпосылки приближенного расчета пластин . . . 3

§2. Зависимости между "деформациями, напряжениями и

		перемещениями			• .	. .	G
§	3. Понятие о сплошных основаниях пластин						7
Г л а в а	2.	Расчет	прямоугольных	изотропных пластин			14
§	4.	Цилиндрический изгиб		пластины			14
§	5.	Чистый изгиб пластины					16
§	6.	Кручение пластины					17
§	7. Общий случай изгиба пластины				• .	. .	18
§	8.	Контурные (граничные)		условия			21
§	9.	Теория расчета прямоугольных шарнирно опертых				по
		четырем сторонам пластин, лежащих на упругом осно
		вании, в двойных тригонометрических рядах			(решение
		типа	Навье)				24

§10. Расчет шарнирно опертой по четырем сторонам пласти ны, лежащей на упругом основании, на некоторые на

		грузки							31
§	11.	Расч.ет прямоугольных			пластин	на	упругом основании
		с двумя коэффициентами			постели, шарнирно опертых или
		со скользящими		защемлениями		на двух противополож
		ных сторонах при любых опираниях					остальных	сторон	40
§	12.	Понятие об иной форме расчета прямоугольных						плас
		тин, шарнирно опертых по двум противоположным ето-
		ронам и	при любом опирании двух других сторон . .						81
									I
Г л а в а	3.	Расчет	прямоугольных		ортотропных		пластин . . . .		83
§	13.	Основные данные							83
§	14.	Цилиндрический		изгиб	пластины				85
§ 15. Чистый изгиб пластины									86
§	16.	Кручение пластины							87

150

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1615 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ