Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Киселев В.А. Расчет пластин

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

4.3 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1613 14 15 16 > Следующая >>>

мерной		нагрузкой.		В	качестве		«похожей» функции принимаем
.	\		пхкх .		лили	т. e
фх (х, у) =			sin —— sin -—f-,f			т. e
			а		о
			w	,	,	.	nx . ny
			w	(X,	y) »	ax sin	sin — _
Эта функция удовлетворяет граничным условиям и имеет одно
значную		кривизну,		что и определяет ее сходство с ожидаемой по
верхностью			пластины.
По	формулам (4.16), (4.17) получим

ах	= 16g: n2D		( f N i ) I
Для квадратной пластины		ах	= ^ ^ - = 0,00416 ~ (по табл. 1
Яаі\
ах = 0,00406 — I .	В данном	случае получено хорошее приближе

ние. Если в выражение для w (х, у) включить еще одну подходящую функцию, то решение получится точнее. Надо, однако, заметить, что приближение изгибающих моментов к точным их значениям не

сколько хуже,	чем приближение	прогибов.
Если задать функцию срх (х, у) =		sin —^- sin —^, которая хотя
и удовлетворяет	граничным условиям, но не «похожа» на ожидае

мую упругую поверхность пластины, поскольку она кососимметрич-

на, а задача симметричная, то значение	коэффициента	ах будет
равно нулю.	16
	16
Если же задать функцию срх (х, у) =	х (а — х) у	(Ь — у),

удовлетворяющую кинематическим граничным условиям, но не удов

летворяющую статическим, по однозначной кривизне				«похожую»
на	ожидаемую упругую поверхность пластины,		то	получим
ах	— qa?b2	: 128/3. Для квадратной пластины ах =	0,0078 цф : D
с	большим	отклонением от точного значения.

§ 24. Метод Лагранжа — Ритца

Метод основан на свойстве полной потенциальной энер гии системы иметь в устойчивом равновесии локальный минимум.

Полной потенциальной энергией системы называется работа внешних и внутренних сил при переходе системы из деформирован ного состояния в недеформированное

U = T + W,

(4.19)

где Т — работа внешних сил; W — работа внутренних сил, равная упругой энергии системы V.

5 Зак . 109

121

Работа внешней нагрузки q (х, у), при положительном ее на правлении вверх, на перемещениях из деформированного состояния пластины будет

а ь

T = ^q{x,

y)w{x,

у)dxdy,

(4.20)

о Ь

Если на пластину

действуют

еще растягивающие

силы

Нх и

Ну, то к работе Т надо присоединить и работу этих сил:

dx +

Н~

{ дх

dy.

(4.21)

Упругая энергия пластин на упругом основании V состоит из

упругой энергии самой пластины

и упругой энергии основания Ѵ2 .

Упругая энергия

в твердом теле

определяется формулой

ѵ=

ff* Бх

.ауеу

, °zЕ

хху Уху

fj/r Ууг

. ТССѴЕС^

jdxdydz.

I g

В теории пластин было положено:

°"* = 0;

т „ = 0

и T W = 0.

Следовательно, для пластин

а Ь Л / 2

f i -П I

dxdydz.

Учитывая, что

0 —ft/2

получим

т а

д = Оуз д ,

(см. 3.2), (3.3) и (3.26),

? 6

К2

Г о

ff*

fftf

Е2

dtofyd«.

(4.22)

0 0

— Л / 2 L

Ранее имели:

fi* г

d * W

(3.4);

(4.23)

1—Jit Ц2

\ ЗЛ2

3»*

0"„

£2

d2w

)

, см. (3.5);

(4.24)

1— Pi Цг V

см. (3.26).

(4.25)

122

Подставляя (4.23) — (4.25) в выражение (4.22) после преобразо ваний с применением равенства (3.1) и интегрирования по перемен ной z, будем иметь

д2ш \ 2 + D2

д- w

д2 w

ду-

о о

дх2

ду2

j д2ш

\ 2

dxây,

(4.26)

V дхду

где

E1h*'.

12 (1 — vil ( .t2 );

= E2li3

: 12 (1 — \ІІѴІ2);

DKV

= Gh* : 12.

Для изотропной

пластины

при DX

= D2

= D3

= Eh3

: 12 X

X (1 — p?) и D K p

Gh? : 12 =

D (1 —

|A)

: 2

будем

иметь:

,2 . / а а ш \ г

92 ш о2 да

J J |Д дх2

j ^ 1

Ô V

д # 2

о о

Ô 2

Л 2-

dxdy,

(4.27)

ôxôf/ )

или в другом

виде:

a b

•w , d2w )\ 22 - 2 ( l - p . ) x

5 о

fo2

ду2

Ô2 ГІУ

Ô2

9 2

^]dxdy.

(4.28)

dx2

ду2

дхду

Упругая энергия

основания

с двумя

коэффициентами

постели

a b

' w .

d2w

dxdy.

(4.29)

дх2

ду2

о о

Теперь полную

энергию

системы

(4.19)

можем

записать

так:

£/ = ^ +

T = F I

+ K a - f T + 7'1 = - i - J

]

од:2

о о

. „ ( d2w \ 2

, o

d2w

. , n

d*2

ô</2

d % ) 2

\ d x d l

123

		о о	V дх2-	ду2
		о о
0	0	0	0	0	0

(4.30)

И здесь, как и в методе Бубнова — Галеркина, приближенное решение задается в виде

{X, у)= 2 °ІФІ(Л'> У)>

(4.31)

где фг (х, у) — заданные функции, удовлетворяющие геометри ческим граничным условиям (выполнение статических граничных условий желательно, но не обязательно).

Подставляя (4.31) в (4.30), получаем

0 о L

\ « = I

\ ' = 1

+ 4 D « » ( 2 - S ) l		" ^ + т Я \c' ( 2 * • ) ' -
\ « = i	/ J	о о L \<= i	/
			dxdy -f-

+ f l i ( . 2 , ^ ) W ^ | l ( i , t ) 2 ^ +

о о \ ' = 1 / 0 0 \ i = 1 /

йb

+ \	\q{x,	y)[ У	a^Adxdy.	(4.32)
о	о	\ ' = i	/

Теперь подберем в (4.32) так коэффициенты at, чтобы потен циальная энергия системы была минимальна. Для этого составим необходимые условия в виде частных производных от потенциаль ной энергии системы по коэффициентам аи приравненным нулю:

	:0:	. ^ — 0 ;	dU	= 0.	(4.33)
d U			дап
дах		да.

124

Составим

в общем

виде

производную

dl)

= 0 :

дак

д*<рк

0 0 I

\ f = l

Ѵі = І

dß

.*d

дх2

дФ

\ і

1 дФdiß

дх2

+ 4 D « » 2

( 2 - S )

Ï S | ^ + г И H ( 2 <- * ) *

\ « = 1

0 0 l

X i = I

ft+|2"".

V» = 1

» = i

x f

^ Ф Л

0 0

V = 1

2 (І a

Lif)

^ d

+ f

• y ) 4 7

* =

V ' =

ô o

при

k =

V' =

...,

Развернем

полученное

выражение

по отдельным

слагаемым

я ь

+ D t

\î\\Dl*2L..*2±

l_J J-

ô*2

од:2

ô(/2

9(/2

loо о

5A;2

<ЭІ/2

ф 2

dx2

ол: öt/

дхду

1 1

4 ,

V дх4-

ду2

J Y ,

од:2

ф 2

; т

дфі

дфь

1 Г г

	ÖX	ОХ
	a	ô
				ÖX2
^ gx2		Я „ 22 1	Л „ 2	Д..2	I '	K P	од; ôi/	dxdy
		U/	fy	dx	J		од; ôi/	dxdy
					C2 /	ô 2 ф Л	, d2 ф*	+
" ft	2	V, öx2	<Э</2	/ A	2	d*2	diß	+

дщ

dx dy -f-

дх

\ ду

ду

+ ^q(x,

y)q>hdxdy

= 0

при

Л =

1, 2, ..., /г.

(4.34)

О О

Окончательно

канонической форме

ckla1

+ ckiaa

+ ... + cknan

+ Ckp

= 0

при

k =

1, 2, ..., и,

(4.35)

где

ô*3

дд:3

ду2

•И(

д3 Фі

dд22 фФй 1 D

д 2 ф, . д 2 ф Л

о О

<Э ф;

ф;

+ £>і|-4

UÏ2

ду2

Ô,2

дх2

Фй

С2

' a» « P I .

о г ф ;

дхді/

дх2

< f y

Офі

Офй

од:2

ф 3

дх

(4.36)

CKP

^q(x,y)<phdxdy.

(4.37)

о о

По

структуре

формулы

(4.36)

видно, что коэффициенты

chi и

cih обладают

взаимностью,

т. е.

Скі ~Cih-

В качестве примера применения метода рассмотрим и здесь пластину, шарнирно опертую по всем четырем сторонам. Решение задаем в точном виде

оосо

w (*. (/)= 2 2 a m n s i n ^ p - s i n Ä (см. 4.15).

m = 1 п = 1

В этом случае, как и в методе Бубнова—Галеркина, получим бесконечное число уравнений только с главными членами. Для доказательства того, что все побочные коэффициенты скі будут равны нулю, применим условную запись, полагая:

ак	= атп	и	<pk = sin	тпх	.	ппу
ак	= атп	и	<pk = sin		sin	b
						b
di =	Clmn			m* пх .		n* ny
di =	Clmn	и	ф — sin		sin

126

По формуле	(4.36)
a	b
'к ~
о	о

+ Ы ( т ) " ( - ) " + ( т ) Г

+ +

m*к \ 2

/г* я j 2

/ля

^ /

/гя

\ 2

m* яд:

sin

п* пи .

пгпх

/гя(/

а а

Sin

sin

Sin

о о

w /

/г* я

т*пх

п* пу

( inn

\ I

пп

тпх

ппу

, ,

cos

—

cos

cos —-

dxduA-

)

V. a ) \ b J

1 и

a b

m* пх

п* пи (

тп

тпх

Г Г / m* я

— x

+ Н х

j J — ) c o

s — S

-г

—)

о 0

nr Я

X sin

dxdy ~\- Ну

. ОТ

ЯХ

sin •

о 0

n* ny I

пп

•

mnx

nny

X cos

—

sin

cos — —

du.

)

J .

Учитывая ортогональность тригонометрических функций, полу чаем chi = 0. По той же формуле (4.36)

a -b

'Aft

0 0

я	b
+ j	j 4 D K p f	2 ( JHL ) 2 cos2 Ä cos2 ^	+
о 0

яb

		mn	о mnx	•	о	nnu j ,	,
о о			cos-	s i n 2		— dxdy	+
о о		a I	a			b
о	b
+ Я у j	j	(	2 sin2 ?f-	cos2	Ä	d* dy.

Q о

J27

После интегрирования

ah				—	+ 2 D i l h			—	— ) +
chk				—	+ 2 D i l h			—	— ) +
+ c\ - f c2	mn	V					mn			+
	а						а			+

	+	Нх	mn			nn
						~b~
Каноническое уравнение
отсюда			ckh ah + Chp		= Q<
отсюда
			a b			innx		nny
						innx		nny
			Я	q (д.-, у)sin			sin —-— dx dy
			о О			Chh
						Chh
Полученный	ответ совпадает с тем, что имели по методу Бубно
ва—Галеркина	(4.17)	и	по	точному		решению		(3.59) — (3.61), по
скольку исходили из		точного решения (4.15).
В тех случаях когда выражение					(4.31)		не	удовлетворяет диф
ференциальному	уравнению			изгиба	пластины, решение					получает
ся по методу Лагранжа — Ритца приближенным.

§ 25. Метод конечных разностей

Метод конечных разностей состоит в том, что все произ водные в дифференциальном уравнении изгиба пластины

		-2D,	d*w		д* w	г,	д2 w
1 дх*		-2D,	дх2 ду2		ду*	- п„
1 дх*			дх2 ду2		ду*	- п„	дх2
	d2w			d2w	. д2 w	х	дх2
- я ,	d2w		с* w—с2	d2w	. д2 w		-q(x,y)	(4.38)
ѵ	ду2			дх2	ду2

заменяются конечно-разностными отношениями, и оно становится алгебраическим уравнением с неизвестными прогибами в отдель ныхточках пластины. В результате этого вместо решения диф ференциального уравнения в частных производных (4.38) должна решаться система алгебраических уравнений по числу намечен ных точек пластины с неизвестными прогибами. Естественно, что чем больше точек с неизвестными прогибами будет намечено на пластине, тем решение будет более точным.

Нанесем на прямоугольной пластине прямоугольную сетку (рис. 56), узлы которой будут определять точки пластины с неиз вестными прогибами. Будем далее придерживаться приведенных здесь обозначений.

128

Рассечем горизонтальную пластину вертикальной плоскостью, параллельной плоскости XOZ и проходящей через центральную точку і сетки (рис. 57). Выразим две первые частные производные

вцентральной точке і через прогибы пластины в центральной точке

идвух соседних с ней точках b и d. Для этого аппроксимируем кривую прогибов в точках i, b и d параболой второго порядка, про

ходящей через три ординаты прогибов wd, wt	и wb, отстоящих друг
от друга на равном расстоянии Хх (рис. 57). Пусть координата цент
ральной точки і будет X, координата точки	b (х + кх) и координата
точки d(x — Хх), а парабола, проходящая	через прогибы в этих

точках, имеет выражение
W i	= Ax2		+ Bx + C.		(4.39)
Соответственно:
д	щ	*=2Ах + В\			(4.40)
	дх
	д2	щ	• 2А.		(4.41)
		дх2	• 2А.		(4.41)
		дх2
По выражению (4.39):
wb = А (ж + К)2 + В (X + Kx) + C = wt				+ A {2х%х + Я») + ВКХ;	(4.42)
Щ — А (х—Я,.)2		+ В(х-		Хх) + C = wt +
+ А(—2хХх			+ Хх)~ВІх.		(4.43)
Из (4.42)—(4.43) имеем
wb — wd		= А4хХх		+ 2В%Х..
Учитывая (4.40),
"		d	х	дх
Отсюда получаем первую производную, выраженную через
разность прогибов пластины в точках b и d:
dwj			wb — wd		(4.44)
дх			2ХХ		(4.44)
дх			2ХХ
Из тех же уравнений (4.42), (4.43)
®>ь + Щ = 2оУг				+ 2Ак% .

Отсюда с учетом (4.41) получаем вторую производную

d2 w i =	о л ^ т ч — 2т + wb	(4 45)
од:2	Ч	'

Далее составляем следующие производные в конечных разно стях, для чего в свою очередь аппроксимируем параболой второго порядка соседние точки вторых производных, т. е.

^±- = А1х* + В1х + С1.	(4.46)
дх2

129

Ь	I	I	I	I	а.
		I	I	I	I

L k .

Рис. 58

Рис. 59

Производя затем такие же операции с применением уравнения (4.46), какие были проведены с применением уравнения (4.39), получим аналогичные выражения, как и (4.44) — (4.45), с заменой в них прогибов пластины на вторые производные:

	Ö3 Ші		1	/ d2wb	d2wd
	дх3		2ХХ	дх2	дх2
diwi	_	1 / d2wd		g а2 Ш; . д2щ_\
дхі	~	Il	[ дх2	дх2	дх2

Учитывая (4.45),

d3Wi	1 f Wi — 2wb — wi wn — 2wdJç-wl
дх3	2%x

i _ 1 / wn—2wd + Wj 2 wd —2 w i + w b j m — 2wb + wi

dx*

130

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1613 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ