книги из ГПНТБ / Киселев В.А. Расчет пластин
.pdfгде
Wmn |
(У) = |
~ |
^ f |
^ |
F |
s |
(y-dn) |
- |
|
h \ |
( d |
n ) |
F 4 |
( y - d n ) - |
|||
- \ n [ t n |
) |
[ 1 - |
F i (y-dn)\- |
|
M ™ { * n ) |
|
[(У - d n ) ~ F 2 |
( y - dn)\ |
- |
||||||||
|
Г Agmn (u) — àqmn |
|
(dn) — hqma (dn) |
(u—dn) |
p |
foi |
|
||||||||||
|
J |
|
|
|
|
|
|
Dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение |
У',п{у)'- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a) для |
первого участка (O^y^d^) |
|
по (2.151) |
|
|
||||||||||||
|
|
У'тг(у)=Ут(0) |
|
|
F\(y) |
+ vA |
—а |
|
ХПІУ) |
+ |
|
||||||
+ |
У'т (0) F'2{y) |
+ |
|
|
а |
b[—)ZF\{y) |
|
|
|
Fs(y)- |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
F', ( У |
) - |
|
^ |
№ - |
Fi m |
- |
- |
f |
# |
U - |
F к (У)) |
- |
|||
|
|
_ |
|
Г qml(u)-qml(0)-qmi(0)u |
|
|
|
р , |
{ y |
_ u |
) |
|
( 3 _ g 4 ) |
||||
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) для |
последующих |
участков |
(d1<Cy) |
(по 2.152) |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(y) = |
Ymn(y) |
+ |
àYmn(y), |
|
(3.85) |
я = 1 , 2 , . . . ,
где
A F m r J (y) = - |
A ^ ( d " } Fs ( y - d„) - |
F i { y ^ d n ) ~ |
- * ™ ( ? п ) |
t O - F i ( y - r f n ) ] - Д * ™ У [ 1 - F H y - c i J l - |
Уравнение |
Y"m{y): |
|
|
a) для первого участка |
( 0 ^ у ^ ^ х ) |
[по (а) стр. 58] |
|
У"тЛУ) = |
УтФ) Fï (у) + ^ ^ ) 2 F |
' i (у)1 + У ; (0) X |
|
X |
а |
У |
.Do |
|
4В З а к . 109 |
101 |
|
L>2. |
|
Dz |
л т |
|
|
Dz Лт |
|
|
||
|
|
J |
|
|
-D2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) для |
последующих |
участков (dx |
< |
«/) [по |
(б) |
стр. 58] |
|||||
|
|
^ , д + 1 ) ( у ) = ^ а г ) + А ^ » а / ) , |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
» = 1 , 2 , . . . |
|
|
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
ï *"о |
* * * ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АУ™(У) = |
|
Dz |
|
Fl {у-ап)-ЬУУ™{АП) |
Dz |
|
|
FX(y-dn)- |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
- à q |
™ } ? n ) [0 —F"\ |
(y-dn)] |
- |
|
[ 0 - ^ 2 О г - А П - |
||||||
_ |
^Д 9 т п ( " ) - % д |
|
(dn)—Aftnn (tfn) (И— d n ) |
j.» |
|
rfu |
|||||
Уравнение Y'm" (y): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a) для |
первого |
участка {O^y^dJ |
|
[по (в) |
стр. 58)] |
||||||
|
У ml |
(У) = |
Уm (0) |
F î " |
(У) + |
(X1 |
— V ^ " |
(У) |
+ |
||
+ у ; ( 0 ) |
^ " ( ^ ) ; + 8 |
|
Я1Л |
|
|
D2 |
|
||||
^^-FV'(y)~q-^ß[0~F: |
|
|
|
(y)-*£g-[0-F; |
|
(y)]- |
|||||
Dz |
|
|
D2 |
Km |
|
|
Dz Kpi |
|
|
б) для последующих участков |
< г/) [по |
(г) |
стр. |
58] |
||
Ут{'п+ 1)(У) = У'тп |
(У) + |
ДКи„ |
(#), " = |
1,2, |
... , |
|
где |
|
|
|
|
|
|
АПѴ(У) = -^мтШр'," |
( у - а п ) - & |
\ { а |
п ) |
|
Fr(y-dn)- |
|
Dz |
|
|
D2 |
|
|
|
Mmn^[0-F["(y-dn)]- |
|
Dz |
|
|
|
[0-F2"(y-dn)]~ |
Dz |
|
|
|
|
|
102
V |
|
I |
|
|
|
j " Agmn (")—Aggrn (dn) |
— Aqmn (dn)(u—dn) |
р^" (y—u) du |
|||
Уравнение |
изгибающих |
моментов Mym(y) |
= — D 2 |
У т ( і О - 1 * і Х |
|
X / тя 'Ym(y) |
|
|
|
|
|
а) для первого участка |
( 0 < г / < й * і ) |
[по (2.153) |
или по (3.82) |
||
и (а), стр. 102] |
|
|
|
|
|
МутХ(у) |
= ~D2 Ym(0) jJF{ (у) + yh |
^ |
)2 FJ (у)" |
|
mn |
\ 2 |
Рг (У) + |
1*і ( ^ f ) 2 |
F 3 (ty)j| — DB П |
(0) { |
|
|||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
+ Л*„ |
т (0) |
F а (У) — 1*і mn |
'F Ay) + |
Vym(0) |
|
||||
|
|
г/т |
|
|
|
|
|
ym |
|
|
|
тя |
\2 |
ЗД)ч |
^ { l O - F H ^ l - J * ! |
mn |
\2 |
|
|||
—1*11 — |
1 |
a |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f[0 - |
я Ы1 - m ( ^ f |
) 2 ГУ - |
Л (У)]} + |
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$[<7mi(")-<7ml(0)-?«a(0)"l X |
|
|
||||
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
х р И ^ - и ) - ! * ! ^ ) 2 ^ ^ - " ) " |
|
(3.86) |
|||||
б) |
для |
последующих |
участков |
(âx^y) |
[по |
(2.154) |
или по |
|||
(3.83) |
и (б), стр. 102], |
|
|
|
|
|
|
|||
|
[Мутп+1)(у)~Мутп(у) |
+ ЬМутп(у), |
п=1, г 2, ... , |
(3.87) |
||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
àMvmn(y) |
= |
àMvm(dn) F'i |
|
{y—dn)—v1[I!^-\2EAy~dn) + |
||||||
|
+ |
|
Wym(dn) F'i{y~dn)~\-h[ |
|
FAy |
~dn) |
|
4B* |
103 |
|
+ l [àqmn(u) — àqmn(dn) |
— Aq^n(da)(u |
— dn)\ X |
|
||||||
|
|
X |
F"A(y—u) |
— Li( — |
] " Fi |
(y—«) du. |
|
|
||
|
|
|
|
|
er. |
/ |
|
|
|
|
Уравнение |
приведенных |
поперечных |
сил |
Ѵцт(у) |
= |
|||||
— D. |
У'т(у)-гх |
( ^ ) Ѵ ^ ( І Г ) ] : |
|
|
|
|
|
|
||
а) для |
первого участка |
(O^Cy^di ) |
[по(2.155) |
или по |
(3.84) |
|||||
и (в), |
стр. |
103] |
|
|
|
|
|
|
|
|
Vvna{y) |
|
|
= |
-DiYm(0)\[F'l"iy) |
+ |
|
V-i(-!f)2^" (У) • |
|||||||
|
тл |
|
2 |
\Рi |
(у) + |
— |
Y РЗ {y)])—D2 |
|
Y',n |
(0) |
^ " ( y ) |
|||
|
а |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
/ т я \ 2 |
, , , |
] |
/ тл \ |
Fo{y) |
+ |
& |
тл |
'F't (У) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
+ |
|
Mym(0) |
F'z"{y)-z{ |
— Y |
F'M |
+ |
ym Vym{0)\Ft"(y) |
|||||||
тл \ 2 |
Fi |
, |
(y) |
Qmi (0) |
[0~F["(y)]-E^"j |
|
тл |
\ 2 |
|
|||||
— Б |
|
|
|
Am l |
|
|
[0-Fi№} |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ l l O ~ F Î ' ' ( y ) ] - z ( ^ Y n - F ' 2 m } |
+ |
+
+
+
-h\lQmi(u)-qnn(0)-q;nl(0)u} |
|
F i' ' (y - |
и) - |
в |
F 4 '(y -d«); |
||
|
|
|
|
|
|
|
(3.88) |
б) для |
последующих |
участков |
(dx <Iy) |
[по (2.156) или по (3.85) |
|||
и (Г) стр. |
103] |
|
|
|
|
|
|
|
Ѵѵт |
(п+і, (У) = |
V„m n (у) + |
Д Ѵ э т п (у), л = |
1, 2,.... |
(3.89) |
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
W y m n (у) = |
Д М „ т ( d n ) |
[ F 3 " ( y - d „ ) - e |
( ^ ] |
2 Fs (y-dn) |
j + |
||
+ |
A l / y m ( d n ) Fi"(y-dn)-z(^y-Fi(y-dn) |
|
+ |
|
104
0~F["(y-dn) e(^)2\0-F[ (y-dn)1\ +
+ |
|
|
|
|
^^{[0-Fr(y-dn)}-E^y[l+-FHy-dn |
|
|
+ |
l[àqmn(u)-àqmn(dn)~Aq;,m(dn) |
(u-dn)} X |
|
||
|
|
X |
|
|
du. |
|
Во |
всех |
выражениях (3.82) — (3.89) производные |
функции |
|||
Ff (у) определяются |
по табл. 4, |
Aqmn |
(и) — по формуле |
(2.134), |
||
AMym(dn) |
— по формуле (2.143), |
àVym |
(cfn) — по формуле |
(2.138), |
||
как и |
при |
расчете |
изотропных |
пластин. Но здесь s = ( D 2 l^i + |
+4 D 1 ! p ) : D 2 .
Поперечные силы Qym |
(у) могут быть вычислены по уравнениям |
(3.88), (3.89), если в них |
полагать s = (о2 (.ц + 2 D K p ) : Ь 2 . |
Уравнения (3.82) — (3.89) содержат, как и уравнения (2.149) — (2.156) изотропных пластин, четыре начальных параметра: Ym (0), Y'm (0), Мут (0) и Ѵут (0), два из которых, при любых закрепле ниях стороны пластины у — 0, или равны нулю, или заведомо из вестны. Два остальных начальных параметра определяются по ус ловиям закрепления стороны пластины при у = Ь.
Следовательно, метод начальных параметров и при расчете ортотропных пластин по уравнению (3.69) сводит задачу определения постоянных интегрирования уравнения (3.73) к двум и только к двум произвольным постоянным в виде начальных параметров незави симо от условий закрепления пластины по стооонам у = 0 и у — b и от разрывов (участков) нагрузки.
Составление расчетных выражений изгибающих и крутящих |
||||
моментов, |
поперечных сил на площадках с нормалью, параллель |
|||
ной оси л, по формулам табл. 5 из |
аналогичных выражений изо |
|||
тропных |
пластин (2.157) — (2.162) |
затруднительно. Дело в том, |
||
что в искомые уравнения входят величины D j и (і2 , а |
в Y','n (у) и |
|||
Y'm' |
(у), через которые определяются уравнения, входят |
величины |
||
£>2 |
и \і1г |
и разделение D и \х в уравнениях (2.157) — (2.162) для |
соответствующей их замены требует известных рассуждений. Поэ
тому составим уравнения Мхт |
(у), Ѵхт (у) и другие непосредственно |
|||||
по выражениям |
Y"n (у) [см. здесь (а) и (б)] и Y'm' (у) [см. (в) и (г)]. |
|||||
Уравнение |
изгибающих |
моментов Мхт (у) |
•Di |
a J X |
||
X Ym |
(у) — \i2Y"m |
(у)]: |
(0^у^аг) |
|
|
|
а) |
для первого |
участка |
|
|
105
Мхт, |
(у) = |
Z V m ( 0 ) { (( тпа |
\і |
|
|
|
a |
J |
|
|
|
|||
44 F\ (y) + |
^[^yF'i |
|
(//)]} + D,Y'm |
(0) |
{ ( |
- |
^ ) 2 |
[ F a |
(y)4- |
|||||
|
|
|
|
|
^ ( ï ) T e ( - ) V 4 ' ( ! / ) |
|
|
|||||||
- М у т ( 0 ) - £ - I T |
|
|
|
|
|
|
|
P i |
X |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
02 |
|||||||
X Г, mit |
\2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- I i , [ 0 - F Ï |
(y)] } - ^ |
. J |
k { |
( JE1 y[y-F2 |
|
Q/)] - u, [0-Fl |
(y)] }- |
|||||||
D " Ô |
|
|
|
|
|
|
I |
тл |
>2' |
|
FAy—u)— |
|||
|
|
— fi2 F4 |
(y—fi)l |
|
|
|
|
|
|
(3.90) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б) для |
последующих участков |
{d±^y) |
|
|
|
|
|
|
||||||
MxnUn+1)(y) |
= Mxmtl(y) |
+ AMxnm(y), |
/ і = 1 , |
2 |
|
(3.91) |
||||||||
где |
|
|
|
D, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЬМхтп{у)=- |
bMym{dn) |
|
— |
I |
|
|
)2F3(y-dn)~ |
|||||||
|
|
|
|
Dz |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
— \i2F"3 |
(y — dn) |
DD±-AVym(dn) |
|
( ^ ) 2 F 4 ( y - 0 - |
|
|||||||||
-\4F'i{y—d, |
|
Dz |
A ^ d |
- " n ^ |
j 2 [ |
1 _ _ j F |
i |
( y _ d n ) |
j _ _ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"Km |
|
|
~^[0~FHy-dn)]]~^-. |
|
|
|
^ |
і |
ф |
і |
^ |
у |
X |
|
|||
X l(y-dn)-F2(y-dn)]-?2 |
|
|
[ O - F 2 (y~dn)\ |
} |
- |
|
||||||||
|
D |
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ - J |
[A?m n («) — Aqmn(dn) |
— Aq'mn{dn)(u |
— dn)\ |
X |
|
||||||||
|
|
X I I |
|
|
|
Р,(у-и)~[12Р1(у-и)аи]. |
|
|
||||||
Уравнение |
приведенных |
поперечных |
сил |
|
|
|
|
|
|
; ( ^ . ) V . M - Ï ( i ) y . ] :
106
a) для первого участка
|
|
|
—е |
тя |
F'i(y) |
+ |
|
|
^(^f-)2F'i(y) |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
тп |
\з' |
|
|
|
|
|
|
|
— |
8 |
|
|
\П{у) + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
В |
тп |
Fl |
{у) |
- |
M |
|
^ |
l |
^ |
F |
^ |
y |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
- i |
f |
— |
|
|
|
Ѵут(0) Di |
тп |
\з |
„ |
. . |
|
- |
/ тп |
> „„ . , |
|||||
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
D2 |
|
|
а |
7 |
|
|
|
|
V а |
|
|
|
|
^ |
|
|
• - ê - f f — V п - л а / ) ] - * С — 1 to - F'[ m |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
D2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qmi(O) |
ö i |
f/' |
mit |
\ 3 [y—F2(y)\— |
|
e |
mit |
[0-F'o{y)\\- |
|||||||||
|
|
|
а |
|
|||||||||||||||
|
|
|
Я,ш |
|
D2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
- |
•D |
|
U |
|
|
7ml (0) - |
Q'mx (0) U] |
тл |
\ 3 |
r. |
/ |
ч |
|||||
|
|
'f- |
J t?ml (") - |
a |
|
Ft(y—u)- |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-l(HHL)Fi{y-u) |
|
|
|
|
du; |
|
|
|
(3.92) |
||
|
б) |
для |
|
последующих |
участков |
|
|
(аг^.у) |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
Ѵхт |
|
(У) = |
V.,m n 0/) + |
|
A V.,m 7 l Ü/),r |
n•= |
1, 2 |
(3.93) |
||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^Vxmn(y) |
= |
|
-^fàMym(dn) |
|
|
F3(y-dn)- |
|
|||||||||
|
|
8 |
( - ^ j ^ 3 ( ^ n ) j - ^ A l / y m K ) |
^ ) 3 F A y - d n ) - |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
J |
|
|
~ |
ë |
^ |
F |
î |
( |
y - d |
n ) |
- |
Di |
àqmn(dn) |
ff |
тп |
y [ l - f i ( t / - d n ) l - |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D2 |
|
|
|
|
V a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
\{y — dn)—F2{y |
— |
- |
|
/ |
mit |
|
[0-F2(y-dn)]\- |
|
||||||||
|
|
dn)\—E |
|
a |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D2 |
\ \bqmAu)-bqmAàn)-M™{dn){u-dn)\ |
|
|
|
|
|
X |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
107
|
X |
тл |
\ з |
|
|
- |
/ іпл |
\ r>„, |
|
N |
|
|
||
|
~)~F*(y |
— ") —S ( ~ |
|
К * (У — ") |
|
|
||||||||
Уравнение |
крутящих |
моментов |
тхт(у) |
— — D, . p |
тл |
ѴтІУ): |
||||||||
|
||||||||||||||
а) для первого |
участка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|||
|
|
|
|
(Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
+ |
YM\F'2(y) |
+ |
Г ' |
z(^\2F'y{y) |
Mvm |
D 2(0) ЗД)~ |
||||||||
Z |
r f |
Fi (у)-д-^Р |
1 0 — Q 0 ] — |
[ |
I — F2 (у)]- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.94) |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) для последующих участков {ах |
< |
у) по (3.85) |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
(г/) = |
m |
|
(у) + |
Д т д |
: т |
л |
(г/), |
|
(3.95) |
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А « » п п ( У ) = - о к р |
[ ^ \ [ ^ Ш р ^ у ~ а п |
) ~ |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
# 2 |
|
|
|
|
|
|
|
і / 2 |
|
|
|
|
l ' a л |
л і |
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
_ j A < ? m n ( " ) - % m ( r f J — |
A ? m n |
(Ц — rfn) |
p>^ ( ^ _ u ) |
rfy |
|
||||||||
Уравнения поперечных сил Qxm |
(у) получаются из (3.92), (3.93) |
|||||||||||||
путем замены в них s на |
= (£>2 цх |
+ |
2 £>к р ) : D x . |
|
|
|||||||||
Полные значения расчетных |
величин на /г-м участке |
пластины |
||||||||||||
определяются |
по формулам |
(2.163) — (2.170). |
|
|
|
|||||||||
Граничные |
условия |
пластины |
устанавливаются |
так |
же, как |
это делалось при расчете изотропных пластин. Так же, как и там, производится и преобразование полученных уравнений на случай
скользящих |
заделок |
сторон пластины при х = 0 и х = а, т. е. |
||
X |
/ ч |
= cos |
тлх |
. |
(X) |
|
108
Полученные здесь уравнения различных величин по методу начальных параметров обобщают аналогичные уравнения для рас чета изотропных пластин, которые являются частным случаем уравнений для расчета ортотропных пластин, если в последних положить
Dx |
= |
D 2 = Dg = D; D„p = |
D (1 — p) и e = i = |
2 — ц,. |
|||||
На этом основании все примеры, приведенные в главе изотроп |
|||||||||
ных пластин, легко приспосабливаются и для расчета |
ортотропных |
||||||||
пластин путем замены в них D на D2 и и. на |
\іх. |
|
|
||||||
2-й |
случай а £ > 0 ; а * , > Я . * , > 0 |
|
|
|
|
||||
Корни |
характеристического |
уравнения |
(3.76) — (3.77) |
дей |
|||||
ствительные: |
+ Уа*т—Х*п ; |
|
|
|
|
|
|||
|
Г1 = У< |
г3 = Ѵат~Уаіт~ |
Кт. |
|
|||||
Общее |
решение однородного |
уравнения |
(3.73) будет: |
|
|
||||
|
Y m (у) = Ат |
ch i\ у + Вт |
sh rx у + Ст |
ch r3 y + Dmsh |
г3 у. |
(3.96) |
Функции, удовлетворяющие единичной матрице (2.118), получае мые на основе табл. 3, в этом случае имеют вид:
|
|
|
2 Ya,m- С |
|
2 / a ^ - C |
' |
|
|
||
|
L 2 (у) = |
|
rlshrxy |
|
. |
rfshr3y |
|
|
|
|
|
2rx[ atn—bm |
|
2г3У^-К |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
L3(y)= |
|
Z*^L= |
|
|
pIiS—. |
|
|
||
|
L i (y) = |
|
s h r i y |
— |
s h r s U |
|
|
|
||
|
|
|
2rxY |
aîn-Кт |
|
|
2r3Va.m—Xm' |
|
|
|
где |
|
|
1~\f a4,(—%fn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
r\-—Г3. |
|
|
|
|||
Эти новые функции |
аналогичны функциям Fx |
(у), |
F2 |
(у), F3 (у) |
||||||
и ?4 (у) и обладают их свойствами. |
Они |
при ат |
> |
Хт |
> 0 заме |
|||||
няют во всех выражениях |
(3.82) — (3.95) первого основного случая |
|||||||||
функции Fx |
(у), F2 |
(у), |
F3 |
(у) и Fi |
(у), и все выражения |
становятся |
||||
пригодными |
и для |
2-го случая. |
|
|
|
|
|
|
109-
3-й |
случай |
a m ^ 0 ; |
|
A m < 0 |
|
|
|
|
|
||||
Корни характеристического |
уравнения: |
|
|||||||||||
|
rt |
= |
— г2 |
= |
У ат |
- f |/"am — А,т |
(вещественные), |
||||||
|
?*3 = —г4 |
= ] / а т |
— ]Лхт —А.ш ] |
= іг3 |
(мнимые), |
||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Общее решение однородного уравнения (3.73) |
|
||||||||||||
|
Y°m (у) = Ат ch Г! у + ß n i |
sh гх у + C m cos г"3 у + D m sin73 у. (3.97) |
|||||||||||
Функции, |
заменяющие |
в |
|
выражениях |
(3.82)—(3.95) основного |
||||||||
случая |
функции Fx(y), |
|
F2(y), |
|
F3{y) |
и F4{y), |
будут: |
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
, |
- 2 |
|
' |
2 , |
- 2 |
|
|
|
|
^ |
_ |
_rj»_sh/i |
; |
n_sin/-s j/ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
r i |
( п + |
гз) |
г 3 ( п 4 - л і ) |
|
|||
|
|
|
Тз |
(У) = |
. |
-о |
( c h ri У—cos r3 y) ; |
||||||
|
|
|
|
|
|
П + |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
/ і М + гз) |
г 3 ( п + 7 з ) |
|
|||||
где r ï + 7 | = 2 |
/ а * , —Я,*,. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4-й |
случай |
a m < 0 ; |
|
Я т > 0 ; |
a m > |
Xm |
|
||||||
Корни |
характеристического |
уравнения: |
|
|
|||||||||
|
r1 = —r2 |
= V |
a ^ - f / a à — |
A4 |
=//"і |
(мнимые); |
|||||||
|
г3 = |
—r4 |
= l / " a m _ j |
|
a,4n — A4 |
= tr 3 |
(мнимые), |
||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rx = V—a2m~Y<— |
|
|
|
Кг |
; |
r3 = V-a-m+-} |
a m ~ K . |
||||||
Общее решение однородного |
уравнения |
|
|||||||||||
У°т(у) = |
^ m |
cos r i t/ + |
Bm |
|
sin ?! y - f C m |
cos rsy + Dm sin r3 1/. (3.98) |
110