Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Киселев В.А. Расчет пластин

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

4.3 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1610 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Теперь составим производные от (3.32) и (3.34), получим:

dQx	г,D	/I аіdw		D3	d*w	\ ѣ
дх		1 {	дх*	Di	" dx2diß)	'
d Q v _ = _ D		(	à*w	. D3	а'ш
ö(/	2	V %4		D2	дх2 ду"

Подставляя полученное в уравнение (3.29), будем иметь диффе ренциальное уравнение изгиба пластины в общем случае

__£) ( d * w	J D	s	à'w	\	D	fdiw"l		D3	d*w
dx*	DL		дх2ду21			"\	ду*	D2	дх2	ду2
			-(<? + 0 = 0-
Окончательно после		упрощений
„	d*w	,	лм	d*w	.	p.	d*w	-	/ ,	\	/о oo\
D l	* Г +		2 0 з ^		+ D		^ =	-	^ + r).		(3.38)

Если упругое основание с двумя коэффициентами постели, то

д2 w . d2w дх2 ду2

С учетом реакций упругого основания уравнение (3.38) будет:

	дх4			дх*ду2			~	ду*
,			(	д'-w	.	d2w	\	) =	—4,	, 0	оп\
+ c i w ~			c i	[ - ^	-	+ - ^	-				(3-39)
где:		=	Exhs	: 12 (1 — jijUç);							(3.40)
Dx
Dz		= E2li3:		12		(1 —Hijia);				(3.41)
		D K p		= G/г3 : 12;						(3.42)
£>3 = DlV,t			+ 2D„P			= ZJaHi +			2DI i p ;		(3.43)
	B =		( D 1 \| i a +			4£>Hp) :£fa ;					(3.44)
	B =		(Dil*, + 4DB P ) IDJ.								(3.45)
Для изотропных	пластин:
= D 2	=	ö 3	=	D =	£/г3 : 12			(1 — ц2 );		(3.46)

Б = 8 = 2 — i l .

(3.47)

При данных по (3.46) уравнение (3.39) перейдет в уравнение (2.27).

§ 18. Изгиб пластины с учетом растягивающих постоянной интенсивности Нх и Нѵ сил,

действующих в срединной плоскости (рис. 51)

Рассмотрим бесконечно малый элемент пластины с учетом растягивающих сил в двух проекциях (рис. 52).

Условия равновесия:

2 Х = — Тх cos a dy + ITX cos a dy + d (Tx cos a) dy] — 0;

2 У = — Ту cos ß dx + [Ту cos ß dx + d (T„ cos ß) dx] = 0.

Из них получаем:

d [Тх		cos а) =		0;	d (Ту		cos	ß) =	0.
Следовательно,
Tx	cos а =		Я«	и	Г у	cos	ß =	Hv.	(3.48)
Цепные силы	Тх	и Т у	удобно			представить			их составляющими
(рис. 53).

К условиям равновесия, записанным при получении уравнений (2.14) — (2.16), здесь надо добавить силы и моменты от дополни тельных сил Hх и Ну и записать их в таком виде:

^Z=~Qxdy

+ {Qx+^-dx)

dy-Qydx

+ ( Q " + " Ц г d y

) d

~ { q + r ) d x d y ~ H x

i t d y

/ dw

, d2w

, \ ,

< и

( dw

d"w

, \

х Ы +

^ а

х ) а

у ~ н

^ а

+ н

Л ^ +

^ а

г х

(3.49)

^МІ

= — My dx + ^ My + - Ä

dy j

dx—mx dy +

+ (mx + ^

dx}

dy-

[Ç,y+^dyyxdy

+ Qx

dy^L-

-(Qx

+ ^dx^+{q+r)dxdy*L

Hvdxj?-dy-

- H

y ^

+ ^ d y y x d y

= 0;

(3.50)

Ѵуит) = Мхdy			— {Mx + -		^	dx] dy+ mvdx —
, +		dx + [QX+1£-d*)					dydx-Qedx^
d3.l	r!,,\	Иr*L	_	In J _ Л ЛУ Ли I?.			И	riii
+ ( Q v + J j i r	d y	) d x J	f	~ i q + r	) d x	ау~2—H*dlJ		Ü T d	x +
	+ H(?-+2Ldx)dydx				j		= 0.		(3.51)
		Ч	дх	дх2	j	J		V	'

После исключения бесконечно малых высшего порядка уравнения (3.49) —(3.51) будут:

^ -	+ ^—(q	+ r) + Нх			дх2	+ Н„ £ ± = 0;	(3.52)
дх	ду				дх2	ду-
		дМу	,	дтх		Qy = 0;	(3.53)
		ду	'	дх		Qy = 0;	(3.53)
		ду	'	дх		"'J
		ÊHh. +		ÈH]L-Qx		= o.	(3.54)
		дх		ду

Сопоставляя уравнения (3.52) — (3.54) с уравнениями (3.29) — (3.31), отмечаем, что только лишь одно уравнение (3.52) отличается от уравнения (3.29). Если же в уравнении (3.52) положить

{ а +	+	#	— H,, - ^ - = (q - I - г)*,
w	' 1	х дх2	ѵ ду2

то оно приобретает формальное сходство с уравнением (3.29). Поэтому нет необходимости проделать снова все операции, ко

торые проведены при получении уравнений (3.38,) (3.39), а по отмеченному сходству можно такие уравнения написать сразу:

а) при любом упругом основании

г.	д* w ,	п г - .	ді w , ^ ô4		w	г, d2w		j ,	d2w
DA	h 2-Do		U D,			H.:	дх2	H„ •	ду2
	дх*		дх2ду2	ду*		-v	дх2	J	ду2
			=	~(q	+ r);				(3.55)

б) при упругом основании с двумя коэффициентами постели

п	^ в і . п п	ô 4 i «	, r-, д* w .		I д2 w	. д2 w \
D,	b2Do		\-Do	h Ci w—c,		—
	дх*	дх2 ду2	2	ду*	"V дх2	ду2 .1
	-Hx^—Hvдх^--=-q(x,y). ду-					(3.56)

Эти уравнения пригодны и для расчета изотропных пластин, если использовать указания (3.46), (3.47).

§ 19. Расчет пластин, шарнирно опертых по четырем сторонам и лежащих на упругом основании

с двумя коэффициентами постели (см. рис. 20)

Проводим решение в двойных тригонометрических рядах.

Положим, что

»(х.У)=

2 « m

s i n Ä s

n Ä ;

(3.57)

m =

I n = I

9(х,У)-=

2 ( 7 m n s i n ^ - s i n - ^

(3.58)

m = 1 n = 1

где

Г С

, .

/ д я * .

ПЛИ

/ 0

сп\

<?mn = —г

\ \Я (x, у) sin

sin —f-

(3.59)

Подставим

дифференциальное

уравнение

(3.56):

эти данные

о о

с о

Л Ы

ч - ) ( — )

ч — ) +

m = 1п = 1

+ с1 + « . ( ^ + = ^ )

W . ( f ) !

« , ( H ) ' ] x

/ля * .

пя у

X i

V i

•

п х

•

ппУ

X f l m n s i n

sin — f - =

— <7nmSin

sm — .

Приравняем одноименные

слагаемые

г-. ( тп \* . о п

/ тп \ 2 /' ЛП \ 2 , п

/ ля \ * ,

М ~ )

+ 2 Z 4 ~ ) ( ~ г ) +

4 ~ )

+ C l +

/ m 2

я 2

, п 2

я 2

„

f тп

г,

пп

\2"|

. .

тпх .

ггяі/

т я х

ппи

X sin

sin—— = — q m n

sin

sin—-•.

Отсюда

amn=~Çmn-bmn,

(3 -6°)

где

6«» = D i [ - ^ y +

2D,(™L

^ - ) ' + " . ( т - Ѵ +

-l-ci

+ c2

/ня

Л 2

« я

•

„

« Я

№

(3.61)

Н И І

—

Выражение (3.60) пригодно и для расчета изотропных

пластин,

если полагать DX~D2

= D3 = D.

Сопоставляя (3.60) с (2.42), убеждаемся в их формальном сходст

ве. При этом числители у них (2.43) и (3.59) совершенно

одинаковы

и лишь знаменатели (2.44) и (3.61) различны.

На основе такого формального сходства выражений (3.60) и

(2.42) все случаи, рассмотренные в

§ 11, пригодны и для расчета

ортотропных пластин при новых значениях Ьтп

по (3.61).

Для

пластин без

упругого, основания

надо

везде

положить

сх

— с2 = 0, а без

сил в срединной

плоскости

еще

положить

Цх

= Ну — 0.

Приводим

выражения

изгибающих

крутящих

моментов

поперечных

сил:

по

(3.21)

mn \

ПП

sin

mnx

nny

; (3.62)

m = 1 n = 1

sin

—

~~b~

по

(3.22)

я я

inn

тпх

ппу

+ Hi

;

(3.63)

m—1 л = I

sin

—

по

(3.27)

пп

mnx

nnu

= mu = — 2DB P

am „

cos

—

cos —-;

„ 1 = 1 ; i = 1

/ V, Ь

(3.64)

(3.32)

/ЯЯ \ 3

D 3

( mn

Qx = Di

a m n

m = I

X cos

mnx .

nny

(3.65)

sin

(3.34)

'nn \

t' mn \ 2

/ ня

= D2

amn

/ Я = i Л =

„ ,

•

mnx

cos

nny

(3.66)

X sin

по	(3.35)
		ОО	оо	ш п \ з		Р , + 2 Р К Р		тл w то \2 '
	ѴХ = А	2	2	ш п \ з		Р , + 2 Р К Р		тл w то \2 '		X
	ѴХ = А	2	2	я У			Di	~ J v T		X
		т=1п=1		я У			Di	~ J v T
				X cos	тл.ѵ-	.	/т.;/			(3.67)
				X cos		sin —— ;				(3.67)
по	(3.36)	с о	с о
		с о	с о	то \ з		D 3 - i - 2 D K P / т л \ 2 / то
		2	2	то \ з		D 3 - i - 2 D K P / т л \ 2 / то				X
		2	2							X
		m = l n = 1
				„, . т л я		• COS	пли			(3.68)
				X Si n		• COS	—			(3.68)
	§	20. Расчет пластин, шарнирно опертых по двум
	противоположным сторонам, при любых опираниях
	двух других сторон и лежащих на упругом								основании
	с двумя коэффициентами						постели (см. рис. 33)
	Дифференциальное					уравнение		прогибов		пластины

[см. (3.56)]

A l T T " +

ue*

Его решение

2 D s T 7 T T + D 2 T T +				с і м ' — S a l	дх-	ду2
дх-ду			ду i		дх-	ду2
TT	д2 Ш	тт ô-w		,	.
— Hr— дх2			" dif-H„-r-r=—q(x,y).
найдем	в одинарных			рядах
		с о
w(x,	у) =	2	Ym(y)sm " т х
		т=	1	а

(3.69)

(3.70)

Действующую нагрузку q(x,y) также представим в виде ряда

	с о
q(x,y)-=	2J qm ІУ) sin	тпх		(3.71)
где		а
где
qm(y)=—\q	(х, у) sin - ^ -		dx.	(3.72)
a	J	а
	о
Подставляя (3.70) — (3.71) в	уравнение	(3.69),	получим
2 (А ( ^ V Ym-2D,	(^YYl'n	-1- А У - Г - С і У т -
m = 1

т я	\2.	Y m
— С,	^"m +	Y m
		= — S 9m (У) Sin
		w = 1

ѵ т - я у г , ; ] з і п /ПЯЛ;

т л я

Приравнивая одноименные слагаемые, будем иметь:

Y m — 2cc,m Yт	-f- %т Yт			—		Qm (У)
Y m — 2cc,m Yт	-f- %т Yт			—		0 2 '
где						0 2 '
где
		f mit	\	2
2Ds		( —	J		+ # j , ^ c 2
			2 D 2
N / Л И І V	„	/ тл \ 2				/ M N \ S
04			D 2
Ллі —			D 2

(3.73)

(3.74)

(3.75)

К такому			же дифференциальному уравнению (3.73) придем при
скользящих			заделках	сторон	пластины		при	х — 0	и	х = а
[см. (2.102)] только с заменой					qm (у) на		qm (у),	определяемой			по
(2.100).
Выражения моментов и поперечных						сил приводятся			в табл. 5,
которая		является обобщением			табл.	2,	ибо	последняя—част
ный	случай		первой,	если	полагать		D 1 =	D 2 = D 3 =		D	и
е =	е =	2 — JX.

Уравнение (3.73) по форме совпадает с уравнением (2.101) только

при новых значениях ат и Кт,		определяемых	по (3.74) — (3.75).
Корни характеристического уравнения (3.73) 1см. (2.108),
(2.109)3:
г* = —гг	= Ѵ*т+Ѵа&—П,\			(3.76)
' 8 = - ' «	= /	« ! ! . —	•	<3.77)

Наличие в выражениях (3.74), (3.75) Нх и Ну, которые при сжатии пластины становятся отрицательными, создает возможность более широких соотношений между ат и Хт, чем те, которые были рассмотрены ранее при расчете изотропных пластин. В связи с этим меняются корни характеристического уравнения и появляются новые функции, удовлетворяющие единичной матрице. Рассмотрим различные случаи.

1-Й СЛучаЙ Âm >«от > 0 (основной)

Такой случай был рассмотрен при расчете изотропных плас

тин, где и были получены основные функции Fx (у), F2			(у), Fs	(у) и
F4 (у), удовлетворяющие единичной матрице [см. (2.119) — (2.122)1.
Повторим их	запись здесь:
' Fi (У)	= eh ß m у cos ут у~ f-y*m	sh ß m у sin Y r o	у;	(3.78)

4 Зак. 109

В общем виде

/ д 2 И >

d2W\

d2w

m x - - 2 D l w д х д у

fdsw D3 d3w \

Q x = - D i [ d x 3 + D i - d x d y t )

fd3w	D3 d3w	\
Q v = - D i \ d y z *	D2'dx*dy	)

(d*w - dsw \

i д3ш

cPw \

8 = ( D 2 |Xi4-4DK p ) \Dz

Т а б л и ц а

В разрешенном

виде

mit*

TT17XX

при

A m = s l n

при

COS

Изгибающие

и крутящие

моменты

оо

2 і - ( т )

- D , i

[ - ( ? ) • ' . •

m = 1

m =

„

mnx

„» 1 .

•ф-аьіпг

Sin

•ф- ц 2 K m

COS

сю

т я х

cos

m = 1

-Dt

m =

оо

V i

(mn\

mux

•v^

jmn\

mnx

D «* 2 (t J

K - S I N —

m =

Поперечные

вилы

m = 1

m =

Оч / mn \ „

— —

—

I Ym\ sin

—-

—

Y m cos

т л я

- °

2 [ г •

- %

[ -

)

Y m

m =

cos

a•

m— 1

Приведенные

поперечные

вилы

[ - ( " ) ' " - •

- 0 . 2

[ ( ? ) " ' -

m =

;

m =

_ / mn \

..'

cos

-(mn\

» 1

. /гаях

— \Ym

0 0

mnx

i n ~ - ^ 2

[ ' : - ( = ) ' 4

cos

- D 2

2 | > - в ( т )

H s

m = 1

m = 0

ë=» (C i ( i 2

^ 4 0 ^ ) 1 0 !

cû

	F* У =	З Р / Г V " 2	sh ß m y cos Y m y +
	+	3 v " 7 ß m ,	c h ß m J / s i n V m t / ;			(3.79)
	27m (ßm—Ym)
	f 3 ( i / ) = T T		s h ß m y s i n V m y ;			(3.80)
		2ßm Ym
с / „ \	'	/ c h ß m y s i n Ymi/		sh ßm	У cos Ym У \ . n s i
л ы = = 2 (	Р ^ Ѵ т	) 1	7m		ß^	J* ( 3 ' 8 1

где:

Г».L_i_„L

Ô•> Ym —II /

Производные этих функций определяются по табл. 4. а т и %т оп ределяются по формулам (3.74), (3.75).

Уравнение (3.73) аналогично уравнению (2.101). Поэтому все

выражения (2.123) — (2.156), если в них заменить,	там	где они
встречаются, D на D 2 и р. на \ilt станут пригодными	и для	расчета

ортотропных пластин. Покажем, как это сделать на примере неко торых выражений.

Уравнение	Ym	(у):			по	(2.149)
а) для первого участка (O^y^-dJ					по	(2.149)
	УМ	= УтФ)[Л(У)		+ Ці i^f-)2Fs(у)]			+
+ Y'm	(0) [ > ,{у) + в ( If-			y F, (y) ] -		"mB-	F3 (y) -
		D 2	4	D 2
<?ml(0)		- f	^ -	^ W	- ^	W Ѵ 4	( у - Ц ) ^ , (3.82)
fflly-F.Üfll		- f	^ -	^ W	- ^	W Ѵ 4	( у - Ц ) ^ , (3.82)
D 2
где 8 = ( D 2 n 1 +		4DK p):D2 ;

б) для последующих участков {ау<.у) (по 2.150)

(У) = Утп(у) + ЬУтп{У),	(3.83)
п = 1,2,

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1610 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ