книги из ГПНТБ / Киселев В.А. Расчет пластин

+

J

[Mmn{") —

bqmAdn)—kq'mn{dn){u-dn)\X

X

{y—u)—]x

l^jF4(y—

u) du.

Уравнение

приведенных

поперечных

сил

Vym(y) = — D [ К ; (y)-г

(^)2

Y',n (У)]:

- D K ; ( 0 ) { [ > ; " ( # ) + в ( ^ ) 2

F;"(y)

— e

0

X [ > Г 0 - « ) - б i^f )2F: (y-it)]du;

(2.155)

б) для

последующих

участков

dx^y

Ѵу,п(п+і)(у)

= Ѵутп(у)

+ АѴутп(у),

« = 1,2,...,

(2.156)

где

A ^ m n ( i / ) = А Л Г „ т ( г і п ) [ п " ( і / - ^ ) - е ( ^ ) 2 ^ ( y - d „ ) " | +

« J

+ ^

Ю [ > Г ( у - 4 ) - в

)2

^ ( y -

dn)

X

X {[O-F-r

(у-

dn)\ — в ( ^ ) 2 [ 0 -

( у - < Ц +

X

^ i "

(«/ — «) — e

F't (y — и)du.

Во

всех

выражениях

(2.149) — (2.156)

производные

функций

Ft определяются

табл.

4,

Aqmn

(и)

— п о

формуле

(2.134),

АМут

(dn) — по (2.144),

AVlim{dn)

— по

(2.138)

и

е =

2 — ц.

Уравнения

(2.149) — (2.156) содержат

четыре

начальных па­

раметра: Ym

(0), Y'т

(0), M y m

(0) и

Vym

(0),

два из

которых

при

любом

закреплении

стороны

пластины

при

у — 0

равны

нулю

параллельной

оси

х.

Уравнение

изгибающих

моментов

Mxm(y) = D

а I

Ym{y)

— pY"m (у)

Рі(у) + ѵ[^ура

(У)

+ оу;п(0)^у\р2(у)

+ е

Ft(y)~

•v[FUy)

+

e [ ^ J F:(y)^~Mum(0)[^J

F3(y)-

•pF'Ay)

-Vym(0)

[^)2р4(У)-^:(у)

—

5 [<7ml (")~<7ml (0) — Cm (0) «] X

0

X [{IT)*

рЛУ-и)-ѴР"Лу-и)\

du;

(2.157)

б) для последующих

участков

Мхт

( „ +

D (у) = Мхтп

(у) + АМхтп

(у), /1= 1 , 2 . ..

(2.158,

где

Шхтп{у)

=

-

Шут(ап)

F3{y-dn)-vFl{y-dn)

-

-

àVym(dn)

[( ^

)"Л

•

{ ( ^ ) Я [ 1 - Л ( | / - 4 ) ] - И - Г 0 - ^ ( у - 4 ) ] } -

^ Г ^ { ( т ) 2

^-dn)-^(y-dn)]-ix[0-F:(y-dn)^-

у

— S [A<7mn(") — ЬсітпШ

—

àqmn(dn)(u~dn)]X

x

^

j 2 ^ (

у _ и ) _

рр-{у_

u ) j rfu.

Уравнение

приведенных

поперечных

сил

1 l ( y ) = D [ [ ^ ) 3 F m ( i / ) - e - ( ^ ) r , ; 1

а) для первого

участка

Vsml(y)

=

DY,

-

I

тл

^ ; ' ( І / ) + ( ^ ( ^ ) 2 П ' ( І / ) ] } +

• е [ —

а

+

DY, (

0 ) { ( ^ )

3

^

2

(

У

)

+

ь - ( ^ )

2

^ ы '

-

-

/ mit N

—

I П

(y)

a

I

-мут(0)

' /ял

j 3

ш

a

-ѵут(0)

'f)Fl{y)

9ml (0)

U m n Y \

km

I V

•Я*®-

K^)3[y-F2

(y)]

- 1

( ^ )

ID-PI (y)]] -

б) ДЛЯя последующих участков

(di<Cy)

Vxm (П+1)(У) = Ѵ я т п (y) +

AVxmn (y)

/ 1 =

1 , 2 , . . . .

(2 . 160 )

где

^Vxmn(y)=~àMym(d^!fJ

т л \ 3

,

, .

•J

F3(y—dn)-

х [ ( т ) , / 7 ^ - и ) '

Fï (#—M)

Так

же

составим

уравнение

крутящих

моментов

тІІт(у)

= тхт

(У) =

—0(1—fi)

а) для первого участка

( 0 < y - < r f 1 )

ЗД)

+

+ i . l ^ j 2

j F ; ( y ) j _ D K ; „ ( 0 )

a )

К (У)

+

+ м у

т (0) F; (у) +

v v m

(0) F;

ы

+

[0-F[

m

+

I

У

-h^fß-

[1 -F:

(у)] +

J

[gmL(u)-çml(0)-q'mi

(0)u\

X

m

0

.

X F4 (y ~-u)

du;

(2.161)

б) для последующих

участков

где

іпупцп+і)

{у) = т

(у) + атцтп(у)

л = Г , 2,...,

(2.162)

A " W ( у ) = (1 - ц) ( ™ ) [ШУ,М

F; ( y - d n ) +

+ A

K y

m ( 4

)

f ;

+

A y

r / d B ) [0-F'x(У-4)1

+

Am

Уравнения

поперечных

сил

Qym{y)

могут быть

записаны по

(2.155), (2.156),

a_Qxm <"> — по

(2.159),

(2.160),

полагая в

этих

выражениях

е =

е =

1.

m обозначает

Напомним,

что

в

уравнениях

(2.149) — (2.161)

порядок члена

ряда

(т =

1, 2,

со), а

п — номер

участка

по

оси у (п. = 1, 2,

... по количеству

участков).

Полные

значения

расчетных

величин

на /г-м участке пластины

определяются

по

формулам:

прогибы

wn(x,y)=

2

Ymn(y)s\n~

тлх

(2.163)

a

m =1

изгибающие

моменты:

Msn(x,y)=

S

Mxmn(y)sin"-^;

'

(2.164)

m = 1

a

Mun(x,y)=

2

Mljmn(y)sm'^;

"

(2.165)

m =

I

крутящие моменты

оо

"hen (X, У) -

S

m*mn (У) c

o s — J

(2.166)

m =

1

a

поперечные

силы:

СО

У*Л

2 ^ m a ( y ) c o s ^ ;

(2.169)

m = 1

Ув »(* .0) =

S ^ ш Ы ^ П у .

(2.170)

•

m = î

Составим на основе выражений (2.149)—(2.162)

и

данных

табл. 2 расчетные величины, когда wn

(х, у)= 2

Ymn

(У)cos cos

—

:

2

Утп

(У)

m = Q

а

і =о

а

3 Зак. 109

65

тпх

. тпх

при cos

при sin

У',пп{у) = У'тп{у)

по (2.151),

(2 152);

. Мхтп{у)^-Мхтп{у)

по (2.157),

(2.158);

Мутп(у)

= Мутп(у)

по (2.153), (2.154);

—тХтп(у)

= тхтп(у)

по (2.161),

(2.162);

~Qxmn(y)

= Qxmn(y)

по (2.159),

(2.160)

при в =

ё = 1;

+ Qymn(y)*=QVmn(y)

по (2.155),

(2.156)

при е = 1 ;

~Ѵхтп(у)

= Ѵхтп(у)

по (2.159),

(2.160);

ѴУтп(У) = Ѵутп(у)

по (2.155),

(2.156).

В этом случае нижнее значение сумм в формулах

(2.163) —

(2.170) начинается с m = 0

и, кроме того, надо везде

поменять

тпх

тпх

тпх

. тпх

sin —-_— на cos —— и cos —— на sin

а

а

а

а

Уm (у) = Ат

ch r1y+Bmshr1y

+ С,п chr3y

+ Dm sh г3

y, (2.171)

где

г! = l / a j ,

- I -

/a*,

— K,\

r3=V

al

— f am —

К.

Функции, удовлетворяющие единичной матрице (2.118), полу­

чаемые на основе табл. 3, для этого случая

имеют вид:

ЬАУ)=

j

C h

r i U

(2.1

Lt{y)=

+

\&Ьг*У

;

(2.173)

L3(y)

=

rch ri y

I 4

ch r3

у

;

(2.174)

о |Л

«

n i / *

1«

^ К

OS/л—А/л

<5, f am—Am

Lt(y)

=

sh ri w

sh r3 у

.

(2.175)

66

2ГіѴат~К

2r3V^m~%fn

функции

Fx

(у), F2 (у),

F3

(у)

и

F^y),

будут:

Кі (У) = ch ат

у — - і - ат

у sh ат

у;

(2.176)

К2 {у) = — (~

sh ат

у

~ ат

ychamy);

(2.177)

а т

\ 2

2

У

Ка(У)=-^Г

(^ - œ mi /sha m î/) ;

(2.178)

am

V

2

У

^ 4 (У) = - V ( — 7 " s h

"m У + 4~ ат У ch a m у ) -

(2.179)

<Хт

\

2

2

/

5.

Граничные

условия

а) Начальные

параметры

на крае

пластины

при у = 0.

1) На

шарнирной опоре:

начальный

прогиб

Ут

(0) = 0;

начальный тангенс угла наклона Y'm (0) = ? (неизвестен);

начальный

изгибающий

момент

Мут

(0) =

0 или заданной

сосре*

доточенно-полосовой моментной нагрузке

по (2.141), (2.142);

начальная приведенная поперечная сила (опорное давление)

Yym х

X (0) = (неизвестна).

2)

В

защемлении:

У т ( 0 ) = 0;

У;Л0) = 0;

М„г а (0) =

?;

V„m (0) = ?

3)

На

свободном

крае:

У т ( 0 ) = ?; П ( 0 ) = ?

Ѵ„т (0) = Л„(0) + Я т ( 0 ) ,

(а)

3*

67

где Рт

(0) — заданная сосредоточенно-полосовая нагрузка по

сво­

бодному

краю, a Rm

(0) — сосредоточенно-полосовая

реакция

уп­

ругого

основания.

Сосредоточенно-полосовая реакция упругого основания Rm

(0)

может быть выражена через геометрические элементы

перемещений

упругого основания

на свободной грани (рис. 40):

#m(0) = c2 [tgcpm -r,;,(0)].

(б)

~r+——-£іш

= 0.

(в)

дх2

ду2

с2

ѵ 1

W [Х, у) =

Wm ІУ) S I N — •

( Г )

111

---1

w'm(y)-(-^

+ ^f)wm(y)=0.

(д)

V с2

a-

J

Решение

этого

уравнения

A m e v . c - +

ш-п-

wn(y)

=

°°-

У

+

Вте

V *Г

*

\

(e)

Положим, что при y =

— оо,

wm

(y) = 0. Это дает

Bm

= 0.

При

у = 0,

wm

(0) = Ym

(0),

следовательно,

Ат

= Ym

(0).

Те­

перь

уравнение

(е) будет:

Л Г ci

, т-я*

*>т(У) =

Ут(0)еУ

с=

а2

(ж)

ражена

через

те же неизвестные начальные Параметры пластины

Yт (0)

и Yin

(0), подлежащие определению.

основания

на

свободной

грани

у = Ь:

(и)

Как видно,

при

любом рассмотренном

закреплении

пласти­

ны на крае у = 0 только два

начальных

параметра

неизвестны,

которые и

подлежат

определению

по двум

заведомо

известным

граничным

условиям

на

гране

пластины

при у — Ь.

б)

Заведомо

известные

граничные

условия

на крае

у =

b

1.

На шарнирной

опоре

Ym(b)

= 0;

(2.180)

Mym(b)

=

0,

'

(2181)

(2.141),

(2.142).

2.

В

защемлении

Ym(b)

= 0;

'

(2.182)

У™(6) = 0.

(2.183)

3.

На свободном

крае

Мут

(Ь) = 0,

(2.184)

или

заданной сосредоточенно-полосовой

моментной нагрузке

по

(2.141),

(2.142):

Yym(b) = Pm{b)~Rm(b),

(2.185)

где

Рт

(Ь) по (2.136), (2.137).

условиям

на

крае

пластины при

По

двум

заведомо известным

у =

b для

каждого

значения

m — 1, 2,

3,

...

составляются

два

но Rm (b), когда

с2 =^0,

значительно осложняет

расчет.

Если нагрузка

на пластину симметрична или

кососимметрична

6

относительно линии у =

-^, то граничные условия можно писать по

ширины

пластины:

а) при

симметричной нагрузке

Y'm(±-)=0;

(2.186)

Ѵ и т ( 4 - ] = = 0 ,

(2.187)