Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Киселев В.А. Расчет пластин

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

4.3 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 169 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

запишем по (2.202) — (2.206)				уравнения			Ym2	(у) и Ym3 (у) при
s =	0:
		2q cos	тл.е	—cos	тл (с +		Дс) 1
Ym2	(y)=Yml	2q cos	а	—cos		а
Ym2	(y)=Yml	(у) +		mnDkt				[l-Fiiy-d)};
				mnDkt
					тле		тл	(с-\|-Ле)
	Ym3(y)	= Yml(y)	2q	cos	a	—cos		a	X
	Ym3(y)	= Yml(y)				тлЛХ'т			X
						тлЛХ'т
						5)

Теперь положим, что

AcAd

Тогда

Ym3(y)=Ym,(y)	+	2Р	тле		тл (с -+- Ас)	X
Ym3(y)=Ym,(y)	+	AcAdmnDXtn	cos	cos	-—• -	X
			а		а

x[Fliy^d-Ad)-F1(y-d)\.

Переходя к пределу при Ас-+0 и Ad-^-0, когда второй участок общего решения исчезнет, а третий станет вторым, будем иметь:

	д	тле
mnüXm	—	COS	dd
mnüXm	de	а	dd

Производя дифференцирование			окончательно получим:
Ym,(y)	= Yml(y)+	¥ -	s i	n ^ Ft(y-d).	(2.210)
		aD		a
Это выражение	совпадает	с ранее		полученным	(2.194); таким

же путем можно получить и остальные выражения (2.195) — (2.197).

§ 12. Понятие об иной форме расчета прямоугольных пластин, шарнирно опертых по двум противоположным сторонам и при любом опнрании двух других сторон

Рассмотрим иную, встречающуюся в литературе [16] форму расчета пластин без упругого основания, загруженных по

прямоугольнику				со сторонами	с и d,	параллельными	осям х и у,
распределенными				нагрузками,	зависящими только		от	коорди
наты X.
	Полный прогиб пластины w (х, у)					представим в виде двух сла
гаемых:
			ш (х, у) = Wj. (х, у) +			w2 {х, у),		(2.211)
где wx		(х, у) — функция, удовлетворяющая однородному уравнению
				V2 V2w1 = 0,			(2.212)
w 2	(х,	у)	— некоторое частное		решение общего уравнения			(2.212)
с	правой		частью
				Ѵ 2 Ѵ 2 д а 2 = — ^ р .			(2.213)
	Решение однородного уравнения (2.212) принимается в виде
ряда

Щ(х,	у) =	2	Y°™ (У) s i n		Ѵ".		С2 -2 1 4 )
		m =	1
где
n l ( y ) = A n C h Ä +				ß m S h		Ä	+
			а			а
+ г	sh Ä		+ Dm	Ä	c h	Ä .	(2.215)
	а	а		а		а

Частное решение уравнения (2.213) на участках пластины, где по всей ее длине (по оси х) нет нагрузки, принимается равным нулю, и Y°n(y) записывается по (2.215) на каждом участке со своими

четырьмя постоянными, а где есть нагрузка q (х), зависящая только от координаты х, частное решение находится из дифференциального

уравнения упругой линии балки
^ L = _ l W	( 2 - 2 1 6 )
Это частное решение должно удовлетворять граничным условиям
шарнирного опирания сторон пластины х =	0 и х — а и, следова

тельно, представляет собой уравнение упругой линии балки на

двух шарнирных опорах с пролетом						/ =	а и жесткостью EJ — D
от	заданной нагрузки.			w2 (х) раскладывается в ряд
	Далее частное решение			w2 (х) раскладывается в ряд
		w2(x)=		2	am sin			.	(2.217)
				m = 1		a
где
				а
		am =	—	f w, (*) sin		а	djc.		(2.218)
			a J			а
			о
	Общее решение для каждого участка пластины со своими про
извольными постоянными можно представить в таком								виде:
		ю (X, У) =	2	IF°m	(if) + c m ] sin				(2.219)
			m =	1			a
	На тех участках пластины, где по всей ее длине нет нагрузки,
ат	=	0. Произвольные	постоянные в			Y°n (у) определяются по гра
ничным условиям на сторонах пластины у = 0иу=Ьипо									усло
виям		сопряжения отдельных граничных участков по оси у.
	Иногда вместо разложения в ряд частного решения							расклады
вается в такой же ряд заданная					нагрузка		q (х), входящая		в урав
нение		(2.216):
		q(x) =		2 ? m s i n - ^ i ;					(2.220)
				m = l
		qm=-?-\q(x)sm^dx.				a			(2.221)
			a	J		a
				о
	Окончательное решение			представляется так:
		w ix, , ) =	g	\Yl{y)	- -	^	] sin HZ-.		(2.222)
		/71= 1 L

£ і .

Если изложенный в этом параграфе прием распространить на пластины с упругим основанием, то ѵог (х, у) надо искать из урав нения

V2 V2

— V 2 Wi = 0,

а частное решение ш2(х) из уравнения

d*w2	Сх w		d? ша	=	g (x)
dx*	D	2	D ' dx2		D
В этом случае	Ym (у)	определяется			по выражению (2.112):
Y°m (y) = Am	ch ß m y cos ym		y + Bm	sh ß m y cos ym y +
+ Cm chßmysinymy			+		Dmshßmys\nymy.

Частное же решение w2 (х) будет представлять собой уравнение упругой линии балки на двухшарнирных опорах и на упругом основании с двумя коэффициентами постели, с пролетом I = а и жесткостью EJ = D.

Г л а в а 3

РАСЧЕТ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ОРТОТРОПНЫХ ПЛАСТИН

§ 13. Основные данные

Ортотропной пластиной называется пластина из мате риала с различными упругими свойствами по трем взаимно пер пендикулярным направлениям, называемым главными направле ниями. Эти направления совпадают с принятыми осями декартовых координат.

Расчет ортотропных пластин основан на тех же гипотезах, что и расчет пластин изотропных. Будем считать грани (стороны) пластины совпадающими с главными направлениями (рис. 44).

Пусть для направления по оси х упругие характеристики будут Дд я направления по оси-у — Е2\.і.2 и для направления по оси

£ 3 ^ 3 .

Для главных направлений в плоскости пластины имеется за висимость

^ІІ-Ч — £г11 ѵ	(3.1)
	S3

На основе ранее принятых предпосылок можем написать за висимости деформаций от напряжений:

С учетом (3.1) в окончательном виде:
<*х =	—	(еж + ^2 ЦУ,	(3.4)
о\, = -	?	(Ej + ^ e J	(3.5)
вместо (1.1), (1.2).
Геометрические зависимости	(1.6) — (1.8) здесь		сохраняются.

§ 14. Цилиндрический изгиб пластины

Если длина пластины в направлении оси у велика, а на грузка вдоль этой оси постоянна (рис. 45), то гу = 0. Изгиб пласти ны в этом случае называют цилиндрическим. Согласно (3.3),

По	формуле	(3.4)
		ох = Е\ьх,	(3.6)
где	Е*, = Ej	: (1 — \|xl ( .i2 ).	(3.7)
	Зависимость (3.6) такая же, как в теории изгиба бруса. Поэтому

можем сразу написать дифференциальное уравнение изгиба пластин в таком виде:

	dx2			Е\	J	Di
где
	Dl=E*i	—		=		—		(3.9)
			12		(1 — m М-г) 12
цилиндрическая жесткость в направлении оси х.
Исключение из (3.8) Мх			путем двойного дифференцирования это
го выражения по х приведет к					уравнению		(2.5) с заменой	в нем
D на Dx:
+	^ o y	_	^	. i	l ^	= ^ l l	£ L .	(3.10)
dx*	Di			Dy		dx2	Dx

Если же длина пластины в направлении оси х велика, а нагруз ка вдоль этой оси не меняется (рис. 46), то здесь уже гх = 0. Тогда

по (3.5) получаем

о-(/ = £ ! е У )

где

ЕІ - Е2 : (1 — Hijig).

Дифференциальное уравнение изгиба пластины будет:

daa> _

Л4Ѵ _

где

D, = £ 3 ^ - = £ a / i 8 : 12(1 — ЦІ цв )—

(3.11)

(3.12)

(3.13)

(3.14)

цилиндрическая жесткость для направления г/.
Исключение из (3.13) Му		для пластины	с упругим	основанием
приведет к выражению
- ^ . 4 . ^ - ^ _		^ ? _ . ^ = = _ Ü £ l .		(3.15)
dtß	D2	D 2 dif-	Dz

§ 1 5 . Чистый изгиб пластины

Чистым изгибом называется деформация элемента пла стины только от изгибающих моментов Мх и Мѵ (рис. 47).

Найдем деформации е к и еу , рассматривая бесконечно малый эле мент в деформированном состоянии (рис. 48), посмотрев на него вдоль оси у. Удлинение волокна ab на расстоянии z от серединной (нейтральной) плоскости будет:

_ab—dx_	(Px + z) tfrPi— Р:с ФРі _	z
dx	рх d<px	р*

или приближенно, как обычно принято,

дх2 z. (3.16)

Аналогично, посмотрев на элемент вдоль оси х, получим:

Напряжения öx

и ау.

найдем

по

(3.4),

(3.5):

сг,.=

Elz

( » * + у ^ £ ш \ .

ау=

£ 2

[

д-w

d2w

( 2 1 "

ÜÜL .

- f

l U

l 2

Ôtf3

OA."2

В соответствии с рис. 14 можем написать:

ft/2

Л/2

Мх

dy =

ох

dy dz z;

Mydx

dx dz z.

-hl

-Л/.2

Произведя

сокращения,

/(/2

ft/2

Aîa- =

oxzdz;

My=

ayzdz.

-ft/2

- ft/2 .

Подставим сюда

о ж

ау

по

(3.18),

(3.19):

Л/2

-ft/2

Л/2

-ft/2

После интегрирования

получим:

( З Л 8 )

(3.19)

;

(3.20)

" . - - " . ( - £ + " . - £ - 1 ;

< 3 - 2 »

вместо (2.8), (2.9).

§ 16. Кручение пластины

Кручением пластины называется деформация элемента пластины от крутящих моментов (рис. 49), представляющих собой моменты касательных напряжений относительно нормалей в центрах тяжестей граней элемента. Поэтому:

	ft/2
mxdy=	^ тху dy dz z;
	-ft/2

			іпу dx =		Л/2	тух dx dz z
			іпу dx =			тух dx dz z
				—h/2
(моменты от касательных напряжений xxz							и xyz не учитываются как
высшего		порядка малости).
После	сокращений:
					Л/2
			тх=		j	rx,jzdz;			(3.23)
				—л/
					h/2
			т„ =		J	t^zrfz .			(3.24)
					-Ii/2
Учитывая закон парности касательных напряжений, получим
закон	парности		крутящих	моментов
				тх	= іПу.				(3.25)
Касательное			напряжение		получим,			применив (1.11):
			т э д = 0 Ѵ я в = - 2 е £ і г ,						(3.26)"
где G — модуль			сдвига ортотропного материала						пластины.
Подставим (3.26) в (3.23)
					, 1 / 2	Д2
					-1,2	О2	tu	о
			"		-1,2	***У
После		интегрирования		получим
			тх — т„ — — 2DK „					,	(3.27)
где
			D„v	= Gh?: 12.					(3.28)

§ 17. Общий случай изгиба пластины

Силы и моменты, действующие на бесконечно малый элемент пластины, даны на рис. 50. Условия равновесия записы ваются так же, как и для изотропной пластины, что приведет к вы ражениям (2.14) — (2.16):

• ^ - + - ^ - - ( 9 + 0 = 0;

(3.29)

Подставим (3.26) в (3.23)

			i	+	Ä _ Q			- о ;			(3.30)
			ду			дх
			д М х	+^!hL~Qx				= 0.			(3.31)
			дх			ду
Из уравнения (3.31)			имеем
	Q-.		дМх .			дпіу	дМх		!	дтх
	Q-.		дх			ду	дх		I	ду
			дх			ду	дх		I	ду
Учитывая	(3.21)	и (3.27),
	п	г-	; d3w			,	Ô'ill	\			d3w
				дх3		' '	* dxdtfj			к р	дхду2
Окончательно
где											*
	D3 = li2D1			+ 2DKp			= \iiD2		+ 2DKV.		(3.33).
Аналогично из (3.30)
			4 , J ~ ~ d y ~ + дх '
Используя	(3.22)	и (3.27),			получим
	п	„ /' д3ш .					d3w \		о п		дйю
	J	V <ty					Ô.Ï2 ö(/	)		дхду
Окончательно
				M - ^ + t - s J ) -							( 3 ' 3 4 >

Попутно составим выражения для приведенных поперечных сил:

^	- А	д3	w	. -	д3	w	(3.35)
^	- А	( ^ г	+	в	^	1 ;	(3.35)
				f - 8
		йѵ3				дхду2,
т/		л / д3 w . д3 m \					,„ о с ч
y	» =	- 4 i 7 +			W '		( 3 - 3 6 )
где
	ö l				0 2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 169 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ