книги из ГПНТБ / Киселев В.А. Расчет пластин

или половине сосредоточенно-полосовой нагрузки Рт

] по (2.136),

(2.137), если она есть, с соответствующим знаком;

б) при кососимметричной

нагрузке

К т

0;

(2.188)

^ т ( " г ) = 0 '

( 2 Л 8 9 )

лагать посередине ширины пластины Ъ, и тогда граничные

условия

на оси симметрии по (2.186) — (2.189) станут неизвестными

началь­

ными параметрами для нового положения оси х.

У « ( 0 ) = ? ;

У и ( 0 ) = ? ;

Мут(0) = 0;

Ѵѵп{0) = 0.

При заданном загружении

пластина

имеет два участка:

1-й участок {0

у ^

.

Нагрузки q-t (х, у)

на этом

участке

нет. Поэтому

Y ті (У) = Ym(0)[F1(y)

+ [i(KtfjF3

(у)

+

+ У*(0)[Р8(у)

+ е(2?у

F.iy)],

+

(a)

Y m i (y) = YM (0) [ > ; (у)

+ p. ( '-fj F; (у)

+ Y;n(0)[F'2(y)

+ e(!fJ

F'tiy)

(6)

Рис. 41

Рис.

42

м г і ( у ) = ~DYm

(0) {[F; (у)+1* ( ^ ) 2 F ; '

-

а

/

•ОУ;„(О)Х

\

— |А

і

Л (^) + e f — Ѵ ^ И І ; (в)

а

а у

Vvml(y)=~DYm{0)

f ; " ( y ) + ^ ( ^ ) 2 ^ " ( y )

Р'г(У)+Ѵ-

—У К

(У)

(0)

Р7{у)+*{™У

К'[у)

— е

а

)

Р:ЛУ)Л-^{^Р'ЛУ)

(г)

2-й участок (d^.

у ^

Ь).

Здесь нагрузка q2 (х, у) = —q (знак

минус потому, что нагрузка

направлена вниз).

По формуле (2.98)

_ а

Qm" [У) — —

\ — Q s l n

dx = — -

(1 — cos mit).

0

Переходные условия из первого участка

во второй:

À M y m i

(dj) — 0. поскольку на границе

участков нет сосредо­

точенно-полосовой моментной нагрузки.

кѴупц

(сіі) = 0. поскольку на границе нет сосредоточенно-поло­

совой нагрузки.

A?ml (dl) = Qna (dl) — ЯпЛ (dl) =

( 1 ~ COS tlttt)\

По выражениям (2.150), (2.152), (2.154)

и (2.156):

Y

mZ

= Ymi(y)

2q

— (1

cos пік)

[1

Fi (y—

di)]',

(y)

+ - innDX •a

(Д)

Ym2(y) = Y!nl (У)

2q

( 1 — cos т л ) [ 0 — F [ ( y —

di)\\

(e)

r

inn Uhm

л л I

\

л л

I

\

2Ö(1—cos um)

,

x

{[O-FXy-dJ]

- l

- i (

^ )

2

ü-Fi(y-di)]};

(ж)

, .

, .

2<7(1— cos

/ м )

N ^

^ M , ( y ) = ^ M i t o )

^

x

X { [ 0 - F';'(y-di)]

- e

( ^ ) 2

[0-F'x

(y-dj]}.

(3)

Yni

(b) = Ym (0) JFA (b) +

1 , ^

J

F

3

(b) ] + Y'm(0) X

X >,(б) +

в ( ^ ) ' л ( б )

2q(l

—cos

nin)

[1—Fa (6 —rf x )]=0; (и)

tnnDXfn

Y'm2(b) = Ym(0)

F[(b)+iü!fYF-(b)

fVm(0)X

X

um \ *'F',

(b)

2<7 (

I — cos m л) X

innDhi

Если край пластины при у =

b свободен, то граничные условия

по (2.184), (2.185) при с 2 =

0 и выражениям (ж) и (з):

Mmi

(b) = ~DYM

(0) JI F[ (b) + u. [ ™ Y F'a

(b)

— i-1

a.

Fi(b)

+ V.{ —

YFa(b)

• DY'm

(0)

Fl{b)

+

+ e

тп \

2

, m% \ 2

> s (о) + 8 ( ^ V

ib)

I

П Ф)

— |X

—

4

а

)

о

а

)

2 q ( \ ~ l J " , n

l l-FXb-dJ-v

(!?У

[1 - F l

{ b

-

d l ) ]

) = 0; (л)

a J

^ ) 2 [ F ; ( ö ) + ^ ^ ) 2 F H ö ) ] } - D 7 ; n ( 0 ) x

X FT

(b) + e

) 3 F\" ( 6 ) ] - e ( ^ ) 2

[F' (b) +

e ( ^ ) *

F; (6)

+

2q(l~™l'nn)

[F["(b-di)-e

( ^ ) V [

(ft - rfj]

= 0. ( M )

нений (л) и (м).

Если край

пластины при у — b шариирно

опертый, то гранич­

ные условия

по (2.180) — (2.181) и

уравнениям (д) и (ж) будут:

Утг(Ь)=Ут(0)

+

Y m (0) Fa{b)+e(!fy

Ft{b)

tnnDhn

( H )

Myma(b)

=

-DYm(0) Fl(b)+ll(!™)2F;(b)

I

а

-DY;„(0)

^F;(b)+B^!fjF;(b) — (ЛХ

X

mns

F2(b)

4 8

^ у Ѵ 4

(b)

2g ( 1 — cos /Hл)

-Flib-dJ-v^Jn-Fiib-d^O.

(о)

innhm

Пример 2. Написать уравнения величин, пригодные при любых

начальных параметрах,

от сосредоточенной

силы

(см. рис. 41, б).

1-й участок

(О

у ^

d)

нет, а потому qml

{у) —

Распределенной

нагрузки

на

участке

=

Я'«ч (у) =

о.

Уравнения величин на первом участке при всех начальных пара­

метрах по (2.149),

(2.151),

(2.153) и (2.155):

Yml(y)

=

Ym{0)

Рг{у)

+ V-i^f

Y

F3{y)

+

+

У«(0)

FAy)+e[

,

mit ,

F, (У)

— )

Мут(0)

F3

(У)

г —

F4

(у);

(2.190)

D

D

+

YmUy) =

Ym{0)

+ y - m ( 0 ) | F H y ) + e ( ^ ) 4

(У)

Щт

(0)

F s (y)

—-F^

(y);

(2.191)

D

D

Myml

(y) = -

DYm

(0) Fl (y) + ц

™)

FI (y)

-»{^)2{РЛУ)

+

*

1

^

)

^ 3

(

У

) ]

} -

-DY!n(0)

I^Fl(ij)

+ s

^

)

2

F

:

( y ) ] -

/ mn \ 2

РЛУ)

+

Ъ(™)*РАУ)

X

^ ( y ) - ^ ( f 1

) 2

F3

(y) +

Vym(0)

I mn

;

(2.192)

закрепления края

пластины у = b составляются два

уравнения

для определения

двух неизвестных начальных параметров. На

этом задача может считаться принципиально решенной.

Заметим, что по выражениям (2.190) — (2.197), считая

координа­

1-й

участок. ( О ^ г / ^ d j = d).

участке нет, т. е. q1 (х, у) = 0, а

Распределенной

нагрузки

на

потому

<7ml (у) =

q'ml (у) =

... =

0.

X F2 (у) + &

F4Q/); (2Л98)

УшІУ) = Ym(0)

[ ^ Q / H - L I ^ J V ; G/)] +

M,jm

(0)

Vym (0)

F'Ay),

(2.199)

D

F'Ay)

D

Mml(y)=-DYm(0)

f^FAy) +

v . ^ y F " 3

(y)]-\L

[™)*Х

X [Fx(y) + L i ( ^ ) 2 F ' 3

( i / ) ] J - DY'm

(0) { [ F ; (y)

+ e ( ^ ) 2

Fl (y)

^^J^F2(y)

+ e('f)2Fi{y)}}

+

+ Vvm(0) [FKy)-^^2

F> {y)j

(2.200)

Ѵуы (У) = ~DYm (0)

(y) + p. (f)F'3~

e ^ X

Л

т л е

cos

т л С с +

Ас)

А = COS

5—•

-

Соответственно:

Ц'тЧ (У) = — —

• 7 7 ;

<7т2 (У) =

0 .

т л

Arf

Условия перехода из

первого

участка во второй при d1 = d:

АМит1

(d) =

0 , так как на границе участков

нет сосредоточен­

но-полосовой моментной нагрузки;

ѢѴуті

(d) =

0 , так как на границе участков нет сосредоточенно-

полосовой

нагрузки;

(d)—q,m (d) =

2оА

АЯті

(d)=Ятг

— -^-;

т л

àqîni

(d) = q!n2 {d) — q,ni (d) =

2s

A

,

т л

Ad '

X U - F ,

(»-<*)]]

?g-r

X

J

/йлД dkm

x{~Fl(y-d)-yi(™y

[(y-d)-Ft(y-d)]j;

(2.204)

Vym 2 (У) = V

y

m

l

(

У

-

*

*

)

+ « ( ™ ) * ^ (У-

d)] +

+ - ^ -

( y - d ) + e

( — V t l (

y

- #

(2 -2 0 5 )

mnAdhn

[

\

a !

)

3-й

участок

(d +

Ad^y^b)

Распределенной

нагрузки

q3

(x,

y)

на участке

нет и,

следова­

тельно,

qm3y = q'ma(y) = qni3(y)=

•••

= 0 .

в

третий:

Переходные

условия

из

второго

участка

A M B m a ( d +

Arf) = 0;

AV„m S (d +

Ad) = 0;

Aqm2

(d + Ad) = qm3(d

+ Ad)-qm2

{d + Ad) = 0 +

Aq'm2 {d + Ad) = q'mz (d + Ad)-q'm2

(d +

Ad)=0-

2sA

mn&d

Aq;'n2

(d + Ad) = 0;

YmM

= Y

m

M

- 2 J

~

^

[l-FAy-d-Ad)]-

mn иKm

(2.206)

mnAdDX, {(y-d-Ad)-F2(y-d-Ad)].

2 s

A

Y;,,,

(y)=K;,I2

(y)

f

m ли Am

К

(y-d-bd)-

2

S Ä

[\-F'2(y~d~Ad)];

(2.207)

л и

о / ) = л и (y) +

2 (

^

л

{

-

f

; (y-d-àd)-?

(

^ ) 2 ж

X [1 - Fx (y-d-

Ad)]} +

^

^

r

{-K

(y-d~Ad)

-

-

H- i ~

[ ( i / -

Ad) - P 2

( y - d -

Ad)]J;

(2.208)

* U Ü / ) = Vvmi(y)+

2 (

^

A

[~.F-;'(y-d-

Ad)

+

+

E f ^ V ^ ( y - d - A d ) '

+

A

- X

2 s

X

| - F 2 " ( i / - d - A d ) - e

( ^ ) 2 [ 1

-

^ ; (У -

d-

Ad)]}. (2.209)

По заведомо известным граничным условиям на стороне плас­

тины

у — Ь,

применив

выражения

третьего

участка

пластины

По уравнениям второго

участка:

при

с =

d — 0

Ас =

a,

Ad =

b, s =

0 (рис. 43,

а);

при

Ас =

а — с

Ad ~

b — d,

s =

—

q (рис. 43,

б);

при

Ас =

а — с

Ad ~

b —• d,

q =

0

(рис. 43, в);

при

Ad — b —

d

с — 0,

s =

0 (рис.

43, г).

При

этом

надо

иметь

в

виду,

что:

1) если d = 0, то исчезает первый участок,

второй

участок ста­

новится первым, а

третий — вторым. Однако

выражения

первого

участка (2.198) — (2.201), входящие в выражения второго

участка

(2.202) — (2.205),

сохраняются;

2) если d = 0

или

d + Ad = b, то

исчезает третий

участок,

и выражения для

него

(2.206) — (2.209)

становятся

ненужными.