Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Киселев В.А. Расчет пластин

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

4.3 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 165 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Заметим, что, как указано в [19], при моментных нагрузках двойные тригонометрические ряды при вычислении поперечных сил и реакций опор приводят к расходящимся рядам. В таких слу чаях надежнее пользоваться • методом расчета, излагаемым в сле дующем параграфе.

§ 11. Расчет прямоугольных пластин на упругом основании с двумя коэффициентами

постели, шарнирно опертых или со скользящими защемлениями на двух противоположных сторонах при любых опираниях остальных сторон

Изложим решение Мориса — Леви в простых тригоно метрических рядах с дополнительным его развитием и обобщением на скользящие защемления пластины и на упругое основание (рис. 33).

1. Дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение пластины на упругом основании (см. 2.27)

Ö4 w \|_ 2 ô'1 w , d 1 w r								Ci w
dx*		dx2diß			diß			D
	Ci	l d2 w	. ô 2		w \	_		q (x, y)	(2.89)
	D~ [ 'dx2'			ly2)		~		D	(2.89)
	D~ [ 'dx2'			ly2)		~		D
Его решение будем искать			в виде:
		w(x,y)=			2	XmYm,			(2.90)
					m =	0
где Хт — функция	только x,			a Ym		— функция только у.
Рассмотрим две	функции:
а)	Х =			sin		ЕЕ,			(2.91)
		т = 1, 2,		3, . . .		, оо	а

Эта функция соответствует шарнирному опиранию сторон пла стины x — 0 и x = а, когда на опорах прогибы и изгибающие момен ты равны нулю (рис. 33, а);

б)	Хт=	c o s	— ,	(2.92)
	m = 0 , 1, 2, . . . , оо		а

А эта функция соответствует скользящим защемлениям сторон пластины при х = 0 и х = а, где углы поворота и поперечные силы равны нулю (рис. 33, б).

Нетрудно убедиться в том, что при таких функциях будут выпол нены указанные граничные условия на сторонах пластины х = О и x — а.

Подставляя		(2.90) по	очереди при Хт = sin	и х„
:cos	в	уравнение	(2.89), получим:

,	при	ѵ	. тпх
а)	при	X m = sin
		2 ( ^ V - 2 a » M ^ + X Ä , y j s i n ^ = - 5 i ^ ;
		ш = 1	a	D
, ч		V	тпх
б)	при	A m	= cos
			а
		S	[F,',7-2af„ Kl, + U Ym] cos	= - ïlbJÙ ,
	m = 0		a	D

где

2 « - = 2 ( ï ) ' + ? ;

(2.93)

( 2	. g 4 )	'
v		'

< 2 ' 9 5 >

«' = (т)'+т+т(т)= -

<2«>

Разложим и действующую нагрузку в одинарные ряды:

s	V -	• тпх
а)	при A m	= sin
		а
		со
		<7(*.0)= 2 < 7 m ( i V ) s i n ^ ,	(2.97)

m = 1

где

'•	Qm (y)=	—	\q	(x, y) sin ^L*dx;	(2.98)
б) при	A"m = COS mnx
	a
	Kx,y)=	2	? m ( f / ) C O S ^ ,		(2.99)
		m = 0		a
где
	u			a
(У) = -	\ q (x, y) cos		9 ;	Q/) = — f ? (*, y) dx.	(2.100)

Теперь		на	основе	выражений (2.93)	и (2.94) с учетом (2.97)
и (2.99) можем написать для каждого					члена разложения:
а)	при	Xm	= sin-
			У m — 2с£,и Ym -f- Am Yn		Ят (У)	(2.101)
			У m — 2с£,и Ym -f- Am Yn		D	(2.101)
					D
, х	ѵ		тлх
б)	при	A m = cos		а
				а
			Y m	2а,"„ Ym - j - %п, YTI	Яm (U)	(2.102)
			Y m	2а,"„ Ym - j - %п, YTI	D	(2.102)
					D

Как видно, уравнения (2.101) и (2.102) по форме одинаковы, а по тому далее будет рассмотрено одно из них, а именно (2.101). Полу ченные же результаты легко могут быть приспособлены и для уравне ния (2.102).

2. Заменяющие (внутренние) силы пластин

В табл. 2 приведены выражения заменяющих (внутрен-

•

тлх

л т

тпх

них) сил пластины

при л т

sin —— и

= cos

Далее нам часто придется применять выражения

изгибающих

моментов Mу

(х, у)

и приведенных поперечных

сил Ѵѵ

(х, у).

М„(х,

у) =

Мт(у)

s'm тпх

(2.103)

т= 1

где

Mym(y)=-D

Y'm~]i^f)

(2.104)

Ѵу{х,

r / ) = 2 .

Vym(y)sin тлх

(2.105)

m= î

где

( mn

Vsm(y)

-D YZ-s

(2.106)

"Y'm

Решение обыкновенного

дифференциального уравнения (2.101)

а)

Решение

обычной

форме

Решение

уравнения

(2.101) представим так:

Y т

— Y m -f- Y m »

(2.107)

				Т а б л и ц а 2
		В разрешенном	виде
В общем виде	„	. тлх	„	mяд:
при	X	= s i n	при Ä T O =	COS
		а	т	а

1 Изгибающие и крутящие моменгтШ

/ d2w

d2w \

I d2w

d2w \

d2w

/ n * - - D ( l - ( i )

со
/тлу	„1	тлх
m= 1	J
	J
2	4 s i n	V
m = 1
оо		тпх
X i	/ т я Л ,	тпх
- о н - , » 2	т Г —	—

m = 1 4 '

2. Поперечные силы

^	^ ( daw i	d'Jw \
<*х~~°[дхЗ	+	дхду2 )	,	m = I
				m = I

оо

т = 0	- ( T j ^ + ^ J C ° S						—

со	'	„	(тлу-			1	тлх

	Уm — (.i			—		Y m cos
т = 0			\	a	J	J	a
		оо	(тл\		,	т п *
ö (1—J.0		•ѵч
		У	—		У т Sin

ОО

- D 2 т

М ѵ Н ' , п ~

В общем виде

п	^ / d3w i	d3w \
Qy	D [ d y 3	~^дх2ду)

' d3w — d3w

Ѵ к = —D

дх3 + 8 дх ду"-_

						Продолжение				табл. 2
			В	разрешенном	виде
„	.	тях				„		тлх
при X _ , = s i n		а			при	X „ = c o s
	т	а				т		а
	т
со			тлх		СО
			тлх		, ,	,	/	т я Д 2 ,	"1	тлх
			s i n		У m	—		Yin	c o s
т= 1			а		У m	—		Yin	c o s
т= 1					т = 0		\	а	.	а
3. Приведенные		поперечные		силы
o o
m = 1		'	J
			J

	' d3w	d3w	OO
Vy=-D	' d3w	d3w
Vy=-D	dy3	- j - e дх-ду	—D £	Y m — e l —	Y m s i n	m = о L	U У J	a
			m = I	.	0	m = о L	U У J	a
					0

р и м е ч а н н е , Д л я изотропных пластин е = е = (2 —р,), а дл я ортотропных они различны (см . т а б л . 5).

где

Yfn — общее

решение

уравнения без правой

части,

К*, —

частное решение уравнения с правой частью.

Характеристическое

уравнение однородного

уравнения

(2.101)

гі-2а?ІіГ°-

+ Я* = 0.

Его

корни:

rt = —rt

= Ѵа&

+ Y<

—J*,

;

(2.108)

ri^~ri=V<—V<

— Kl

•

(2.109)

Заметим, что при с2

= 0 всегда

л,*, >

а,4,, >

при сг = с2 = 0

всегда Хт = ат

= — .

Когда с2ф0,

хотя

мало вероятно, но воз-

можно, что afn

Ä,,4„ >

aj, > 0.

Рассмотрим сначала первый основной случай, когда Ä.4, >

В этом случае

корни (2.108), (2.109) можно записать так:

г1 = — гв = К « т + г /ЛА, — а*

= ß m +

іут-

где

i — Y — 1 — мнимая

единица.

Возведем эти

равенства в

квадрат:

а *

І YKi

«s .

PS. + 2pr o

Y m i — ѵ г ,

;

— f

— afn = ß,2 „ — 2ß m ym

i—Y,*, .

Складывая и вычитая полученные выражения, будем иметь:

				c 4 = ß m —		Ут\			(а)
		YKn-<=2K4m-							(б)
Из выражения (б)
		Ym= f• • ' M , - a 5 , : 2 ß m .							(в)
Подставим	в .(а)
		ß i ^ c c m ß m - ^ ^ - = 0.
Отсюда
	2		/	4	л 4	4	2		. !
р>2	a ' «	I -1 /	T	<%т I А/п — K m			2	am , Am
P « - — + \| /			T	+		4	2	+	2
P « - — + \| /				+	7 — - -			+	~

Знак	минус здесь не	подходит,				поскольку ß m > 0 , а	Кп>&%-
Значит,
	Р	И =	±	] /	*	Ц ^ .	(2-110)
Тогда	по (в)
	Кг	=	±	\| / À	" ' ~ a " ' -		(2-111)

При любых знаках корни і\ с г3 и г2 с г,, мнимые, попарно сопря женные.

В соответствии с такими корнями интеграл однородного уравне ния (2.101) будет:

Уm (у) = Ат ch ß m у cos ут		у + Вт sh ß m у cos ут у	+
+	C m c h ß m y s i n Y m J / +	ß m s h ß m y s i n v m t / ,	(2.112)
где	•

	ß n v = ] / ^ 4 ^ ;					Ѵ т = і / " ^ Ц ^ = -			(2.U3)
Соответственно:
		ß m +	Уni =		;	ß m —	Уm= a'» •
При	d = Cs =	0 Ym = 0 H		ß m	=	ccm.
Производные		от	(г/)	будут содержать				те	же функции,
которые	входят	в выражение			(2.112),		но только	с	новыми коэф

фициентами из произвольных постоянных, для которых можно

установить	такие	формулы:
		г\,п	— и т Р щ Т "		» і	im'
		D ( " + D _ и» R I			П'1 л, •
			_	и " . ,	j . г ) " о .
			—	^тУщ-Г	J-'mPm,
		П ( " + І ) _		И" v	J - Г " R
		u m		û i n ï m t L « Pm>
где п — порядок		предыдущей		производной		(п =	0,	1,	2 и	3).
Пользуясь	этими	формулами,		составим производные					от	(2.112):
	Уm (У) = (Вт		ß m . + Ст Ym).ch ß m			у cos y m		+
	+	(An ß m + An Ут) sh ß m			£/ C O S УтУ		+
	+	(-A
		m Уm
			+ ö mßm)ch ßmysinymy				+
46::	-t-(-Bmym		+ Cmpm)shÇ>mysmymy.;							(2.114)

	Y m (У) = [Am ФІ — Ym ) + 2Д в ß m Y,J СП ß m (/ COS					ЧтУ±
	+ № т	(ßm — Ym) + 2Cm ß m Ym ] sh ß m f/ COSY m			У +
	+ 1Сm	(ßm — Уm ) — 25 m ß m ym]		ch ß m £/ Sin ym	y	+
	+ [ßm (ßm - Ym) - 2 Л т ß m У		т	] Sh ß m 0 5ІПY m			(2.115)
o'"			Ym~ Ym)l ch ß m У COSY m У +
У*» (£/)= [ßm(ßm - 3 ß m V m ) + C m ( 3 ß m
+	[Am (ßm -	3 ß m Ym) + Dm (3ßm Y m	-	Ym )] sh ß m у cos Y m У +
+	lAn (ßm - 3ß m Ym ) "I" ^ m (Ym -			3ßm Y J ] ch ß m IJ 5І ПТ т			У +
+ [Cm ф3т -		3ß m Ym ) + Bm (y?n - 3ß^T m ) ] sh ß m у sinV				m y.	(2.116)

Частное решение уравнения (2.107) составляется в зависимости от нагрузки qm (у). Обычное решение требует определения большо го числа произвольных постоянных [по четыре на каждом участке, где нагрузка qm (у) непрерывна] на основе граничных условий на опорах и условий сопряжения отдельных участков, что, вообще го воря, представляет собой сложную задачу. Поэтому далее будег изложен метод начальных параметров, по которому, независимо от количества участков непрерывных нагрузок и условий закрепления пластины, задача сводится к определению только двух неизвестных начальных параметров.

б) Метод начальных параметров

Представим общее решение Ym(y) через некоторые пока неиз вестные функции F1 (у), F% (у), F3 (у) и F^y), представляющие собой линейную комбинацию найденных ранее частных решений в урав нении (2.112) и удовлетворяющие единичной матрице:

Y?n (у) =	C1F1	(у) + C2F2	(у) +	C3Fa	(у) + C.F,	(у),	(2.117)
где по условию:
Л ( 0 ) = і;	F;(0)=O		^ ( 0 )	= 0;	Л'(0) = 0;
/7 а (0) = 0;	К ( 0 ) = 1		Fl(0)	= 0;	^ ( 0 ) = 0;		(2.118)
Fa(0) = 0\	F:(0) = O				^ ( 0 ) = 0;		(2.118)
Fa(0) = 0\	F:(0) = O				^ ( 0 ) = 0;
F4 (0) = 0;	f* (0) = o		Fl(0)	= 0;	^ ' ( 0 ) = 1 .
Поскольку	при y = 0 только первая функция ch ß m y						cos	ymy
в выражениях	Y°m,	Y°m,Y°m	и Ym"	(2.113) — (2.116)		равна		еди

нице, а остальные функции равны нулю, то условия единичной мат рицы (2.118) будут выполнены, есл,и в уравнении (2.113) произ вольные постоянные Ат, Вт, Ст и ' Ь т подчинить условиям, ука-

занным в табл, 3. Так, например, для определения функции F1

(у)

эти

условия по

первой графе таблицы будут:

An =

1 >

втК+стут

= 0;

A J ß ? « - Y « ) + 2 ö m ß m y m = 0;

ß m ( ß « - 3 ß m Y S . ) + Cm (3ß)|1 Ym -Y5,) =

Т а б л и ц а

Постоянныостоянные

При

определенна

функций

Ft Ш F,

(у)-

(У) Ft

(у)

Вт ßm 4" Cjn Уm —

1 0

Am (ßm — Ут)ф2Dm

ßm Ут =

Bm ($т— 3ßm 7m +

Ст (3ß/7i Tm—Т"» ) =

Решая

эти уравнения,

получим:

„ 2

Ат=\;

B r a

= Cm =0;

D m = - pm —

Подставляя

найденные

значения

произвольных

постоянных

в уравнение (2.112), определим искомую функцию

'Рг (у):

(у) = ch ß m

у cos V m

у -

sh ß m у sin ym

(2.119)

2ßm Y/H

Для определения функции F2

(у)

условия

для

постоянных

Am,

Вт, Ст

и D T O

составляем по второй графе табл. 3, из

которых

получим:

Am = Dm = 0;

Bm.

3ßm — Vm

3 y m

•— ßm

2ßm(ßm-|-V;n)

2T,„(ßffl

V«)

По

(2.112)

будем

иметь:

3ßm

—у»

s h ß m i / c o s Y m J / +

2ßm(ßm

+ ^ )

З^т

—

fini

i 0

(2.120)

^7 c h

ß m y s i n v m i / .

2Ym(ßm +

Ym)

Аналогично находим:

		1	s h ß m	# s i r i v m t / ;		(2.121)
			s h ß m	# s i r i v m t / ;		(2.121)
		2 ß m ? m
1	ch ß m t / s i n y m f /			sh ß m y cos ym y	У	(2.122)
2 ( ß m - f 7 m ) ( ~			Уm	ßm

Выражения производных найденных функций приведены в табл. 4.

Т а б л и ц а

(</>

F'I

(У)

F'Î (У)

(У)

* ) V (,)

(</)

-K'jn

[F2+2afn

Ft\ ~Kt

[Fi+2*3m

F3]

F*(y)

-K>

[FZ+2al

F,}

(У)

Fz +

^ F ^

+ [ 4 « 1 - ^ ]

(У)

2 < 4 ^ Ф

Частное

решение

неоднородного

уравнения

(2.101)

Yf„ (у)

за

пишем

по правилу

Коши:

Y*m{y) = -\qj!i^-Fi(y-u)du.

(2.123)

Следовательно, полное решение уравнения (2.101) будет:

Уm (У) = У m (у) + Y*m(y) = Ci F, (у) + С2 F, (у) + С3

Fa (у) +

+ C.FM-

[^F^y-iOdy.

(2.124)

Составим последовательные производные от уравнения

(2.124):

У m (У) = Уm (у) + Щ{у)

= С- F[ (у) + С2 F'2 (у) + С3

F'3 (у) +

(2.125)

оD

Y m (У) = Y m (У) + Уm (y) = C> F[(y) + C2 F'' (y) + C3 Fl (y) +

	y
+ CtFl(y)-	\q-^-F:(y~u)du.	.	(2.126)
	о

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 165 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ