Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Киселев В.А. Расчет пластин

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

4.3 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 163 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Подставим полученное в (2.14):

д*Мх д*ту д3Му д*тх ••q + r.

дх* дхду ду* дхду

Учитывая, что ту=тх, будем иметь

^	+ 2 ^	+ ^ = 9 + г.	(2.19)
дх*	дхду	ду*	,

Теперь составим производные от (2.8), (2.9) и (2.13):

дМх_	г-. / d3w ,		d3w	(2.20)
дх	-DI	\-a		(2.20)
дх	V ÔJC3		дх ду*
	V ÔJC3		дх ду*
дМу_	г-. / d3w .		d3w	(2.21)
ду	-DI	f-u		(2.21)
ду	\ду3-		дх*ду
дтх	\ду3-		дх*ду
дтх	г - . , ,	ч	daw	(2.22)
дх	— D(l	— j-i)	дх* dy	(2.22)
дх	v		дх* dy
дпіу	_		d3w
ду	~ _ D ( 1 - H . ) — - .			(2.23)
			dx dy*

По (2.17), (2.18) получаем окончательные выражения поперечных сил:

« - ~ D ( S + i £ ) :

<2-24>

Составим вторые производные от (2.8), (2,9) и (2.13):

дх*	\ дхх		дх* dy*
дЩ,	ъІд*ю	,	d*w
ду'2	\дуі	r	dxdy J

^ = - 0	( 1 - ^ ) - ^ . = ^ .
дхду	дхду	дхду
Подставим полученное	в (2.19):

_ . D ( ^ + ^ ] - 2 D ( l - ( x ) ^ - D ( ^ + ^ J Î Î L U 9 + r.

W*4 дх*ду*.І г,дх*ду* \дуі * dx*dy*j

Отсюда получаем дифференциальное уравнение прогибов пла стины, обычно именуемое уравнением Софи-Жермен:

^	+	2 - ^ + ^ = -		^ ± -	г .	(2.26)
дх*		дх2ду2	ду*		D
Это же уравнение		записывается		еще так:
		Ѵ*Ѵ2ш =		—ч-$1,
				D

где

дх2 ду2

Для пластины на упругом основании с двумя коэффициентами постели уравнение (2.26) с учетом (1.18) будет:

d*w	. g	d*w ,	о4ш .	сг w
дх*	дх2ду2		ду*	~Ъ
с 2	/d2w	d2w\	=	q(x, у)	(2 27)
D	[дх2	ду2)		D	К

При динамическом расчете пластин надо к нагрузке q присоеди

нить:
i \		d2w
1) силы инерции		m -^,	направленные вверх;
2)	силы сопротивления,		принимаемые приближенно с3	на

правленные вверх (возможны и другие формулы для сил сопротив

ления).

После этого уравнение (2.27) для динамического расчета пластин принимает такой вид:

		dAw . g	д*ш		. d*w	. Ci w
		Их*	дх2	ду2	~ду*	~5
с 2	(d2w	d2w\	m	d2w	, cs	dw _	q(x, y, t)	(2 28)
D	[дх2	ду2)	D'	dt2	D'	dt	D	' ^ '

где m — масса пластины и часть приближенно присоединяемого основания на единицу площади пластины, а с3 — коэффициент про порциональности .

§ 8. Контурные (граничные) условия

Контурные условия зависят от вида закреплений сторон пластины (рис. 17).

Заделка

{защемление):

1) при

X =

О или

X — а

w^Q

и — = 0;

(2.29)

дх

2) при

у — О

или

у = b

w = 0 и — = 0 .

(2.30)

Поскольку

по линии опирания

w =

0, то как следствие получаем:

1) ^ ! = 0 ; 2) - ^ = 0.

ду

дх

Шарнирная

опора:

1) при X =

или X = а

= 0 , M x = - D [ ^ +

^ ) = M x t

(2.31)

где Мх—

заданная внешняя моментно-полосовая нагрузка на дан

ном крае

пластины.

что w =

Следствием того,

0, имеем:

d2w _ Q

ду

diß

При этих

условиях

(2.31) будет иметь вид:

ш = 0 и —

= *±-

(2.32)

&са

при t/ = 0 или у — Ь

или

и, = 0

— =

- ,

(2.33)

где М у — внешняя моментно-полосовая

нагрузка по соответствую

щему

краю пластины.

Свободный

край

(при

с 2

= 0):

1) при х — 0 или х = а

.22

m t o = - D ( l - i i ) ^ = 0

(в)

дх ду

где Мх и Qx — соответственно моментная и силовая сосредоточен но-полосовые нагрузки по соответствующему краю пластины.

Доказано, что и в этом случае должны быть два условия, а не три, как это указано.

(у)

гіу

Защемление Свободный край

^ХСУ)

Рис. 17

			dm*						тх(ь)
		Рис. 18							Рис. 19
	В силу этого два уравнения					(б) и (в) объединяются в одно на
основе таких рассуждений.				Составим			производную от тх по у:
			дтх			..ч	d3w
			ду '				дхду2
Это выражение		просуммируем			с уравнением (б):
	Vx	= Qx + d - ^ = - D				dsw	, ,п	ч	dsw	(г)
	Vx	= Qx + d - ^ = - D				дх*			г/дхду*	(г)
	х	х	ду			дх*	у		г/дхду*
	Из выражения		(г) следует,		что приведенные поперечные хилы
Ѵх	состоят из поперечных сил Qx и некоторых условных поперечных
сил	Qx = ~щ^~> статически			эквивалентных					крутящим моментам.
	Для доказательства рассмотрим два значения крутящего момента
mxdy в точке k при координате					у и (тх + ^				dy) dy в точке m при

координате у + dy. Представим их как пары от вертикальных сил ont

тх и тх + -дду£- dy (рис. 18, б). В результате в точке m будет рав-

дтх

нодействующая вертикальная сила -~ dy (рис. 18, ѳ). Разделив ее

на участок длиной dy, получим Q* =

(рис. 18, s).

Такая условная замена крутящих моментов поперечными силами отразится лишь на местном напряженном состоянии пластины по свободному краю и существенно не повлияет на общий изгиб пла стины.

Кроме того, заметим, что от такой замены в крайних угловых точках получаются сосредоточенные силы конечного значения (рис. 19). Следовательно, граничные условия будут:

(2.34)

Vr	= -D	r J дхду"1	•А
	дх* к	r J дхду"1

2) при у = 0 или у = Ь;

d2w д°-ш

V.--D	(Pw	,~	.	d3w	(2.35)
	Loy3	1 ~	W	дх*ду\ А-

Граничные условия в углах пластины определяются граничными условиями примыкающих к углу сторон.

Если угол образован двумя свободными сторонами и, следова тельно, в нем нет конструктивных устройств для создания сосре доточенной силы (рис. 19), как в прочих случаях, то необходимо выполнить для угла еще дополнительное условие:

mx=—D(l	— \i) d*w	Л	(2.36)
	дхду	= m„ = 0.
	дхду	у

§ 9. Теория расчета прямоугольных шарнирно опертых по четырем сторонам пластин, лежащих на упругом основании, в двойных тригонометрических рядах (решение типа Навье)

Рассмотрим прямоугольную пластину, шарнирно опер

тую по всем четырем сторонам и лежащую на упругом	основании
с двумя коэффициентами постели, под произвольной	нагрузкой

q (х, у), положительное направление которой считаем вверх (рис. 20). Разложим вертикальное перемещение срединной плоскости пла

стины при изгибе (прогибы) w (х, у)	в двойной	тригонометрический
ряд
и>{х, У)= 2 2 атп	sin — sin	.	(2.37)
m = I n = I	a	b

Нетрудно убедиться в том, что это выражение удовлетворяет граничным условиям шарнирного опнрания пластины (2.32) и (2.33). Оно же должно удовлетворять и основному дифференциаль ному уравнению изгиба пластины (2.27).

Подставляя (2.37) в (2.27), получим

оо

то

оо

со

i = i n

sin — s i n — ^ +

a m n 2

—

— X

\ a j

, n = \ n = \

_ \ a J \ a !

n= 1

mnx

. nnt/ ,

/ nn \ 4

. тпх . nnu .

x s i n — s i n — ^ +

a„,n \ - r )

sin —

s i n — +

m=\n=l

V b

	о о	о о	c i	• mnx
,	V 1	vi	c i	• mnx
+	2J	2J am n -^sm
	m=ln=I		D	a

.	OO	CO
	nnu ,	vi vi
	s i n — + 2J		Ъ
b	m=ln=l

c!>

a m n - * - x

X	s i n ^ ± s i n ^	= - ^ - ^ . (2.38)
	a b	D

Разложим и нагрузку q (x, у) в такой же двойной тригонометри ческий ряд:

ОО

оо

тпх

. ппи

/ г

о п

• тпх .

ппи

а{х,

у)=

< 7 , „ n s i n

Sln-f-

•

( 2 - 3 9 )

m = l n = i

Для

определения

qmn

умножим сначала

(2.39) на sin '^- dx,

где m — некоторое

фиксированное

значение,

и составим

интеграл

в пределах

от 0 до а:

С , . .

тпх ,

-vi

•

тпх ѵ ч

•

dx.

j q (х,

у) sin —

dx=\

S l n — Zi

ЧтпS

n ~t

Sin

L-m= 1

n=l

Учтем

свойство

ортогональности:

Г .

/Птек пх

•

' " ф и к с

пх

\ s i n - ^ — s i n

dx = 0

при

т т е

к = ^ т ф

и к с ;

ГПТРКПХ

' " ф и к с 1

™

Г .

при

т т

е к = т ф

и к о .

^sin

sin

dx=—

Следовательно,

оо

Г" ,

тпх ,

•

яя у

~ Г " •

^ <7 (*,

г/) sin

ах = — 2d -Чтп s m

п=1

Полученное выражение вновь умножим на sin

eft/, где а—

фиксированное

значение, и так же составим

интеграл в пределах

от 0 до Ь:

и г- а

птх

sin ппу

Or-

ОО

ппу

Чат*™

sin — dy.

о Lo

sin

ах

О L

п=1

По свойству ортогональности:

Г • л т е к

я у .

" ф и к с пУ <

г.

gfe л ф и к о ;

\ sin

т е к б

sin —

dt/ = 0

при п т е к

J s i n - ^ - ^ sin

Ф = — ПРИ я т

в к

= л ф я І І С .

Поэтому

а Ь

f ,

• "и** .

или

. ,

\\q(x,

у)sin

— sm—*-dxdy =

—qmn.

Отсюда

получаем

(2.40)

I' f . . .

тях

пяу

Ятп ^ - ^ )

\Я

(*•

У) S l

n — S l

n "У rf'V' rfy-

О о

Теперь уравнение (2.38) можем записать

так:

СО

ОО

mit

"\ 2

/от \ 2

! ^ /гл \ * .

Ci .

Ы ( т ) +

ft") +

Т +

ІППХ

. ПШІ

с 2

,' mit \ 2

с 2

яп \

sin —

sin —-••

пілх

reiti/

(2.41)

— 2 S ? ™ s ,

n T s l

, 1

m = I n = I

Приравнивая одноименные слагаемые левой и правой части (2.41), будем иметь

а„ (тУ+2 (тПт)2 +(тУ+!+

Ч—M — I + — — sin	sin	- = — s i n	sin —- .
D \ a J D V b j J a	6	D a	b

отсюда получаем

где:	amn	= ~ q m n - b m n ,	(2.42)
где:
	а Ъ
1)	qmn = ^\\q{x,	y)sm^fs\n^fdxdy	(2.43)
	о о
(определяется	заданной нагрузкой);

Рис. 20 Рис. 21

2) b"т	а* (m* + yWf		-I-	с	-£ + ^	(m* + v	n	)l > 0 (2.44)
	М	і		с		2	2
(от нагрузки	не	зависит);
					а

Таким образом, расчет пластины сводится к определению qmn по (2.43) от конкретно заданной нагрузки, после чего по (2.42) опреде ляются значения коэффициентов ряда amn, а по (2.37) — значения прогибов пластины w (х, у).

Составим теперь выражения изгибающих и крутящих моментов

и поперечных

сил:

1) изгибающие

моменты:

[дх2

ду2)

= ö

гл

2 t Д

^ я

о /

m 2 .

п2

. тлх .

плу

, п

, г \

f , -

sm — s m

-f;

(2.45)

- D l l a m n '

( ^ + | l i ) „ „ = ï . t a i a ! :

(2.46)

2) крутящие		моменты:
					- £ ( 1 - \| л )			дхду
								дхду
	= - Л ( 1 - \| і ) 2			£ « „ . n ^ - . - J - c o s ^ c o s ^ ;							(2.47)
3)	поперечные силы:
						d3w	d3w
			Qx =		- D (\дх3		дхду-
							;i2	\	tnnx •	tiny	(2.48)
	т = 1 л = 1				^ "	— . —		cos	S i n — -
	т = 1 л = 1				^ "	a	b 2	/	a	b
						a	b 2	/	a	b
						о3ш	d3w
						ду3	дх2	dy
	= 0 2	S	а т	п к		11	tn?			^ ;	(2.49)
	= 0 2	S	а т	п к	b3	b	a?	1	a	^ ;	(2.49)
	m=	1 n= 1			b3	b	a?	1	a	b
	m=	1 n= 1
4)	приведенные		поперечные			силы	(опорные реакции):
						д3ш	, /Г1	,	d3w
	х	^	ду			дх3	1-(2—\|х)
						дх3			дх ду^

оооо

= D 2	2	ß - ^ 3 ^ - +	( 2 - ^ ) - . ^ -			c o s — s i n ' ^ f ;			(2.50)
m=1n=1
		dm,,	d3w	, ,	n	\	d3w
			ду3	(	_ ^		дх*ду	J
OO	OO	Т г + ( 2 - Ц )		n	m2 '		пяу	. mux		/г, c i \
m =	1 « =	Т г + ( 2 - Ц )		й '"о2 " cos—-sin					.	(2.51)
m =	1 « =	1					b	a'	4	'
							b	a'	4	'

Двойные тригонометрические ряды при вычислении прогибов пластины по (2.37) обычно сходятся очень быстро.

На практике для вычисления прогибов бывает достаточно огра ничиться 8—10 первыми числами рядов (при достаточно гладких нагрузках). Сходимость рядов, определяющих изгибающие и крутя щие моменты и особенно поперечные силы по (2.45) — (2.49), более медленная, чем при вычислении прогибов, а при некоторых нагруз ках ряды могут быть расходящимися [19].

Составим еще формулы сосредоточенных реакций в углах пла стины, положительные направления которых указаны на рис. 21

ОО	СО
* = 2 т , = - 2 Б ( 1 - р . ) 2 2 « m n " 2 - - v c o s		—	C 0 S T :
,„=!„=!	a b	a	b

угол

при х = 0,

y = Ö

со

- 2 0 ( 1 - р . ) 2

атп*?^.^-;

(2.52)

ш =

/і =

угол при X = а и у =

оо

Я 2 = — 2D(1 — ц) 2

} ] a m n n a - . - c o s m i t ;

(2.53)

n i = i / i = i

угол

при х = а

у = b

оо

/?з =

—2D(1 — Li)

а т п п2

— . — cos mit cos/гя;

(2.54)

т =

1/1=1

угол

при

Л; =

у = b

СО

0 0

Я4 = — 2D(1 — i i )

а^ге» — . — cos/гя.

(2.55)

т = 1 п = 1

Если пластина без упругого основания, то в формуле (2.44)

надо положить с х

= с 2

= 0, а если на упругом основании с одним

коэффициентом постели,

то надо

положить с 2

Исследуем равновесие пластины без упругого основания при

действии симметричной

нагрузки

Я(х,

£/) = <7„m sin

sin—J -

при m = 1, 3,

... и n — 1, 2, 3, ...

В этом

случае по (2.42)

«яш =

- д т п • ™

( ^ + ^ ) 2 -

(2.56)

Равнодействующая

всей

нагрузки

= 11 дтп

sin 2 ™ sin ^

x dy=*Jm^L

( 2

. 5 7 )

Равнодействующая приведенных поперечных сил на крае х = 0

ъь

п	С т/ J	Г n	п Г я	г 3	-	,	/п	х	га / г а 1	газтя	.
^ - о = І Ѵ . ^ = ^ ж п Я			» [		-	+ ( 2 - \| і ) т . - ] с о 8 — s i n
											b
После	интегрирования
	•RA-=o = 2Da,n n л 2			Г	^		+	( 2 - , ) ^ - \| -		— .	(2.58)
										n

<<< < Предыдущая 1 23 / 163 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ