книги из ГПНТБ / Зысина-Моложен, Л. М. Теплообмен в турбомашинах

охлаждением с достоверностью, не меньшей, чем на сеточном ин­ теграторе, но значительно проще, быстрее и подробнее. В то время как при электромоделировании с помощью сеточного интегратора увеличение расчетных точек (количества участков) усложняет электрическую схему и в значительной мере увеличивает время расчета, добавление каждой расчетной точки при решении на ЭВМ — это доли секунды машинного времени. Число исследуе­ мых вариантов при решении задачи на ЭВМ определяется любым желаемым объемом сведений. Это особенно важно в начальный период проектирования, когда для нахождения лучшего решения необходимо проанализировать большое количество вариантов.

48. Численный метод расчета температурного состояния лопатки, охлаждаемой через хвостовик

Практическая необходимость определения поля температур в лопатке, охлаждаемой через хвостовик (см. схему V в табл. 8), возникает при применении одного из наиболее простых способов охлаждения ротора турбины — продувкой воздуха через щелевые зазоры хвостовика лопатки. Но такое охлаждение сопровождается

о 0,2 0,0 0,6 0,8 s /L

Рис. 123. Распределение коэффициентов теплоотдачи по контурам сечений лопатки:

— •— — периферийное сечение; ——— — среднее сечение;

-------- — корневое сечение

отводом тепла" от лопатки через ее нижний торец путем теплопроводности. Вследствие этого градиенты температур в корневом и близлежащих сечениях лопатки при интенсивном теплоотводе могут достигать больших значений и являться причиной появле­ ния недопустимо высоких температурных напряжений. Расчеты показывают, что при охлаждении лопаток по этой простейшей схеме у корня лопатки могут возникнуть напряжения, в полтора раза превышающие напряжения от центробежных сил [28].

302

Вводим допущение о том, что сплошную металлическую ло­ патку можно разбить на достаточно большое количество продоль­ ных участков с переменным по высоте сечением и решать задачу о температурном состоянии каждого участка самостоятельно, пренебрегая поперечными перетечками тепла между ними. Ло­ патку необходимо разбить продольными сечениями на элементар­ ные объемы таким образом, чтобы на наружной поверхности ка­ ждого объема можно было считать коэффициенты теплоотдачи а постоянными. Выбрав число объемов достаточно большим, можно на каждом участке получить среднее значение а, очень близкое к локальному. Полученные в результате такого расчета градиенты температуры будут преувеличенными, но это преувеличение будет в сторону некоторого запаса прочности, а не наоборот.

Для каждого из выбранных таким образом продольных уча­

Индекс 0 в уравнениях (VI11.34) означает принадлежность вели­ чины к корневому сечению лопатки; I — длина лопатки; k u k 2 — корни характеристического уравнения:

-304

В этих формулах b — коэффициент в гиперболе второго по­ рядка, аппроксимирующей функцию

Подбирая коэффициент Ъ в уравнении (VIII.36) и решая урав­ нение (VIII.33) для каждого продольного элементарного объема лопатки, получаем поле температур по всей поверхности лопатки.

Можно показать, что при условии определения температуры с точ­ ностью до At = 1° С в большинстве практических случаев можно пренебречь вторым слагаемым. Для этого должно выполняться условие

Таким образом, при расчете температурного поля с точностью до At = 1°С можно пользоваться упрощенным уравнением

если выполняется неравенство (VIII.39).

Для получения правильной картины температурного поля лопатку необходимо разбить на такое количество участков, чтобы, принимая на каждом из участков а = const, предельно правильно учесть неравномерность распределения а по ее поверхности. Практическое осуществление такого решения возможно лишь при создании машинного алгоритма и программы для ЭВМ.

Описанный метод определения температурного поля запро­

20 — на спинке и 20 — на вогнутой стороне). Анализ распределе­ ния локальных значений а по контуру лопатки показывает, что для всех современных аэродинамически совершенных профилей этого количества участков оказывается вполне достаточно для правильного воспроизведения распределения а по контуру ло­ патки. Пример разбивки сечения турбинной лопатки и распре­ деление а по его контуру показаны на рис. 125.

Для расчета поля температур по описанной программе необхо­ димо задать следующие величины: координаты х, у сорока точек, делящих контур на участки (20 на спинке и 20 на вогнутой стороне

профиля), для трех поперечных сечений лопатки, значения ло­ кальных коэффициентов теплоотдачи aXiy в этих точках, темпе­

ратуру газа 4 теплопроводность материала лопатки А,, длину

Рис. 126. Распределение температуры по высоте лопатки (Q0 = 232 Вт):

1 — расчет по среднеинтегральному значению а; 2 — расчет по локальным значениям а в про­ дольном сечении в области задней кромки; 3 — то же в зоне передней кромки; 4 — то же в средней части лопатки

лопатки I и величину теплоотвода q0 или Q„ через корневое сечение. В печать выдается поле температур в виде девятнадцати столбцов чисел, состоящих из десяти строк каждый, т. е. для каж­ дого из девятнадцати продольных участков, на которые разбита лопатка, выдается десять точечных значений температуры по ее

306

высоте. В результате расчета, таким образом, получается подроб­

ление температур по высоте лопатки в области кромок и сред­ ней части лопатки, а на рис. 127 — по контуру одного из попереч­ ных сечений.

Из рис. 126 видно, что охлаждение лопатки через замковое соединение хвостовика может оказывать влияние на температур­ ное поле только в прикорневой области, заметно снижая темпера-

Рис. 127. Распределение температуры по контуру лопатки:

1 — при Qo = 232 Вт; 2 — при Q0 = 40 Вт

туру примерно на одной четвертой части общей высоты лопатки. При этом в прикорневых сечениях при интенсивном теплоотводе возникает сложное температурное поле. Уровень температуры в области кромок существенно выше, чем в средней части ло­ патки. Даже в случае эффективного охлаждения, при больших

случая показано штрих-пунктирной линией на рис. 123), охла­ ждаются слабее, имеют более высокую температуру и, следова­ тельно, худшие условия работы.

Из рис. 126 видно, что изменения функции t (х/Г) в средней части лопатки, полученные из расчета по среднеинтегральному (кривая 1) и по локальным (кривая 4) значениям а, сравнительно мало отличаются друг от друга, но в области задней кромки (кри­ вые 1 и 2) расхождение составляет 8—20%.

Следовательно, расчет температуры лопатки при использо­ вании среднего по контуру коэффициента теплоотдачи приводит

кзавышению охлаждающего эффекта в области кромок, а значит,

кнеправильной оценке температурных напряжений.

Сопоставление расчета с экспериментом [72] позволило оце­ нить принятые в методе расчета допущения. Так, для стальной лопатки расчетные и экспериментальные данные практически совпадают [72].

49. Расчет температурных полей с помощью моделирующих устройств

Как указывалось в гл. II и п. 45, одним из путей решения задач теплопроводности является создание моделей другой физи­ ческой природы, описываемых теми же, что и исследуемый тепло­ вой процесс, дифференциальными уравнениями, но более удобных для исследования.

Если скорость счета не играет решающей роли, а требуемая точность не выходит за пределы нескольких процентов, то этот путь решения является весьма эффективным и в настоящее время широко применяется для решения сложных задач тепло- и массопереноса.

Для решения задач теплопроводности наибольшее распростра­ нение в практике турбостроения получили гидравлические [124] и электрические [33, 225] аналогии. Первая основана на одина­ ковости дифференциальных уравнений, описывающих явления распространения тепла и движения вязкой жидкости, во второй используется аналогия между тепловыми и электрическими явле­ ниями.

Что касается выбора моделей при электрическом и гидравличе­ ском моделировании физических полей, то в основном применяются два метода — сплошных сред и дискретных сеток. В первом слу­ чае моделью служит слошная среда — электролит, электропро­ водная бумага, фольга, электропроводный картон, электропро­ водные лаки и краски и т. д., во втором — дискретные сетки оми­ ческих или гидравлических сопротивлений, сетки емкостей и др.

делью-аналогом теплопроводящей среды служит гидравлическая сетка, представляющая собой систему сообщающихся сосудов, аналогом температуры является гидравлический напор, тепловое сопротивление моделируется гидравлическим сопротивлением, а теплоемкость — гидравлической емкостью.

Установки, названные гидравлическими интеграторами, поз­ воляют с большой точностью решать задачи нестационарной тепло­ проводности, в том числе и нелинейные. К достоинствам этих установок следует отнести и возможность моделирования гранич­ ных условий третьего рода, изменяющихся во времени.

С помощью гидравлического моделирования решается широкий круг задач. В частности, в ВТИ гидроинтегратор системы В. С. Лу­ кьянова применяется для решения задач по определению темпе­ ратурного состояния деталей паровых и газовых турбин.

Однако при исследовании больших областей со сложными гра­ ничными условиями, когда число расчетных точек велико, как это имеет место, например, при определении температурных полей ротора и статора паровых турбин (несколько сотен расчет­

308

ных точек), гидравлическая модель становится очень громоздкой, а ее эксплуатация весьма сложной. Для таких задач использование гидроинтегратора нерационально.

Более просты по устройству и эксплуатации и в то же время более универсальны электрические модели.

Для электрического моделирования температурных полей обычно используется поле электрического тока, но могут быть использованы и магнитные, и электромагнитные поля. Как ука­ зывалось выше, этот метод основан на аналогии между переносом тепла в твердом теле и прохождением электрического тока через проводник.

Аналогом нелинейного уравнения теплопроводности

Выбор поля электрического тока для моделирования многих неэлектрических полей обусловлен тем, что здесь применяются наиболее простые и точные методы измерений. Распределение температуры в этом случае моделируется распределением электри­ ческого потенциала, потоку тепла соответствует электрический ток, тепловому сопротивлению — электрическое сопротивление. Электрическая аналогия реализуется многими эксперименталь­ ными установками.

Метод электроаналогий успешно развивается в трех напра­ влениях: моделирование на электрических сетках, моделирова­ ние в электролитической ванне и моделирование на электропро­ водной бумаге.

Для моделирования стационарных и нестационарных полей температуры разработаны и построены различные типы электри­ ческих сеточных моделей — электроинтеграторов. Проводящей средой в электроинтеграторах сеточного типа служит дискрет­ ная сетка, набранная из постоянных или переменных сопроти­ влений с возможным подключением емкостей и индуктивностей.

Для решения задач нестационарной теплопроводности для роторов и корпусов паровых и газовых турбин применяется элек­ трическое моделирование на /?-сетках (сетках омических со­ противлений) и RC-сетках (сетках омических сопротивлений и емкостей). Принцип действия этих интеграторов основан на возможности воспроизведения с помощью электрических схем конечно-разностной аппроксимации дифференциальных уравне­ ний, описывающих тепловые процессы. С их помощью, применяя метод сеток, можно приближенно решать уравнения Лапласа,

:09

Пуассона и Фурье для задач Дирихле (граничных условий пер­ вого рода), Неймана (граничных условий второго рода) и сме­ шанные краевые задачи (граничные условия третьего рода).

Для тех нестационарных режимов, когда необходимо учиты­ вать зависимость коэффициентов переноса от температуры и пере­ менность граничных условий, целесообразно пользоваться ^-сет­ ками, применяя метод Либмана. Этот метод позволяет решать нестационарные задачи с помощью сеток омических сопротивле­ ний. Идея метода состоит в дискретном задании интервалов вре­ мени, как это делается в сетках для элементов пространства, т. е. в использовании конечно-разностной пространственной и временной аппроксимаций. С помощью этого метода можно решать нелинейные задачи теплопроводности (с нелинейностями пер­ вого рода и второго рода). Однако, обладая указанными достоин­ ствами, метод Либмана имеет и существенный недостаток — боль­ шую трудоемкость счета и малую универсальность (для каждой новой задачи необходимо менять все сопротивления). Поэтому его использование рационально, когда исследуемая область имеет ограниченное количество узловых точек.

Этот недостаток устранен в статических интеграторах Л. А. Вулиса, И. Ф. Жеребятьева и А. П. Лукьянова [25]. В последнем варианте (промышленном образце) этого интегратора подвижной счетный элемент, составленный из ограниченного числа омиче­ ских сопротивлений, может быть аналогом любого разностного оператора в соответствии с требованиями задачи. Переход от

времени позволяет решать сравнительно легко трехмерные урав­ нения параболического типа с коэффициентами, зависящими от температуры или координат.

В Харьковском политехническом институте разработан метод нелинейных сопротивлений [127], позволяющий отказаться от процесса итераций. В отличие от традиционного способа модели­ рования термического сопротивления на границе посредством линейных омических сопротивлений, в основе этого метода лежит другой подход к моделированию нелинейных физических явле­ ний: физические нелинейности моделируются с помощью электри­ ческих нелинейностей (нелинейных электрических элементов). Благодаря этому из процесса решения исключаются итерации и линеаризация граничных условий.

В ЦКТИ для решения нестационарных задач теплопроводности применительно к элементам турбомашин разработан электроин­ тегратор СЭИ-02 [146, 147], состоящий из RC-сеток и основан­ ный на методе элементарных балансов. Главное преимущество RC-сеток — в непрерывности решения во времени. Однако они приспособлены для решения линейных задач нестационарной теплопроводности с постоянными граничными условиями третьего рода, Хотя в сочетании с дополнительным устройством БПС-1

310

(блоком переменных сопротивлений), позволяющим ступенчато изменять величину граничных сопротивлений на RC-сетке элек­ троинтегратора в процессе решения задачи 1146], /?С-сетки могут применяться для решения задач с переменными во времени гра­ ничными условиями третьего рода и для решения нелинейных задач, возможности их применения для решения таких задач до последнего времени остаются ограниченными.

Когда требуется учитывать зависимость X, с, р, а и q от тем­ пературы и времени, технически проще и дешевле решать задачу с помощью ^-сеток и метода Либмана.

Невозможность непрерывного моделирования проводимости Ra (т) — аналога коэффициента теплообмена а (т) на RC-сетках — приводит к попыткам разработки различных приближенных методов [81 ].

В тех же случаях, когда в силу конструктивной сложности узлов ротора и корпуса или в силу существенной неравномерно­ сти температурного поля необходимо производить разбивку этих объектов на большое число элементов или когда необходим анализ различных вариантов, отличающихся конструктивными или ре­ жимными параметрами, целесообразнее пользоваться ^С-сетками, задавая К, с, у, а и q постоянными (последнее необходимо обосно­ вать).

Методика решения задач по определению теплового состояния роторов и корпусов паровых турбин с помощью интегратора СЭИ-02 в течение ряда лет применяется в ЦКТИ и на турбострои­ тельных заводах и подробно описана [144].

Длямоделирования температурных полей в телах сложной формы особый интерес представляют асимметричные R- и RC- сетки и комбинированные модели.

Обширная информация и подробная библиография по исполь­ зованию электрических сеточных моделей и по методике решения

Отдавая должное возможностям и достоинствам метода сеток, следует, однако, заметить, что реализация конечно-разностных схем на аналоговых вычислительных устройствах связана с серь­ езными трудностями. Прежде всего это относится к многомерным задачам с переменными коэффициентами. Для каждой конкрет­ ной задачи требуется создание новой сетки из многих десятков или сотен сопротивлений. Кроме того, создание схем с большим количеством элементов необходимо во избежание одного из ос­ новных источников ошибок — замены дифференциальных уравне­ ний конечно-разностными. Это процесс трудоемкий и дорогостоя­ щий. Поэтому, когда позволяет постановка задачи, следует исполь­ зовать более простые специализированные интеграторы.

Для определения стационарных температурных полей широко используется моделирование на электрических моделях из сплош­ ных проводящих сред — на электролитах и электропроводной

311