книги из ГПНТБ / Зысина-Моложен, Л. М. Теплообмен в турбомашинах

метода эти погрешности будут убывать (или хотя бы не возрастать), а решение разностного уравнения будет близко к решению диф­ ференциального уравнения при малых шагах и стремиться к нему при неограниченном измельчении сетки.

Таким образом, проблема устойчивости разностных методов состоит в нахождении условий, при которых все погрешности (аппроксимации, округления или любого другого рода) при неогра­ ниченном измельчении сетки равномерно стремятся к нулю (или, по крайней мере, остаются ограниченными). Эти условия пред­ ставляют собой ограничения, налагаемые на допустимую вели­ чину Ат, выраженную через другие приращения.

При несоблюдении условий устойчивости накапливающиеся погрешности могут достигнуть такой величины (особенно при расчете на ЭВМ, когда совершается большое число операций), что полученное численное решение не будет иметь ничего общего с действительным решением задачи. Такие неустойчивые сеточ­ ные уравнения непригодны для практики, и всякие вычисления теряют смысл.

Таким образом, сходимость решения связана с погрешностью

являются внутренним свойством самого сеточного уравнения

(VIII. 19).

Рассмотрим основные трудности, возникающие при решении параболических уравнений в частных производных, описываю­ щих нестационарные процессы теплопроводности. Наиболее про­ стые и удобные методы особенно чувствительны к фактору устой­ чивости: для обеспечения устойчивости приходится накладывать существенные ограничения на шаг по времени относительно шага по пространственным координатам. А схемы, хорошие с точки зрения устойчивости, неудобны для практического применения. При решении прикладных задач целью является отыскание реше­ ния, в известном смысле промежуточного между указанными двумя крайними типами решений, содержащего более слабые ограни­ чения устойчивости и сравнительно легко поддающегося вычи­ слениям. Существуют безусловно устойчивые и безусловно не­ устойчивые разностные уравнения [138, 143].

Все вопросы, указанные выше, а также различные методы решения разностных уравнений рассмотрены подробно в спе­ циальных монографиях [18, 29, 138, 140, 143, 170, 133], в отдель­ ных разделах книг и учебников [40, 91, 129, 156], в большом коли­ честве журнальных статей.

С появлением мощных ЭВМ оказалось возможным создать раз­ ностные схемы для решения с высокой точностью многомерных уравнений с переменными коэффициентами. Одним из эффектив­ ных конструктивных приемов является метод сведения многомер­ ных задач к последовательности одномерных, для которых имеются эффективные разностные схемы [142].

292

Решение многомерного уравнения теплопроводности

в каждом из пространственных направлений путем введения дробных шагов по времени. Такой метод оказался пригодным при решении уравнений теплопроводности для тел сложной формы.

Остановимся кратко на некоторых работах, в которых для исследования теплового состояния элементов турбин применяются различные модификации метода конечных разностей.

Двумерная задача нестационарной теплопроводности при по­ стоянных теплофизических константах для облопаченного диска газовой турбины решена методом сеток в работе [41 ]. Решение задачи по тепловой схеме, приведенной в этой работе (диск и нижняя половина бандажированных лопаток), возможно только численным методом.

Одной из разновидностей конечно-разностных методов является метод элементарных балансов Ваничева, сущность которого со­ стоит в том, что координатными плоскостями тело разбивается на ряд правильных геометрических элементарных объемов, в пре­ делах каждого из которых закон изменения температуры прини­ мается линейным, а теплофизические характеристики постоянными. В декартовой системе координат таким элементарным объемом

Расчетными точками, в которых определяется температура в последовательные моменты времени, являются точки пересече­ ния поверхностей разбивки. Для групп элементов, примыкаю­ щих к каждой расчетной точке, на основании закона сохранения энергии с использованием гипотез Фурье и Ньютона, составляется уравнение теплового баланса. В результате для всех узловых точек сетки получаются расчетные зависимости в конечно-раз­ ностной форме, для которых выбирается тот или иной метод ре­ шения. При выводе расчетных зависимостей предполагаются пропорциональность среднего за некоторый промежуток вре­ мени Ат теплового потока начальному температурному градиенту в пределах этого промежутка и пропорциональность изменения

293

теплосодержания группы элементов, относящихся к некоторой расчетной точке, изменению температуры в этой точке.

Точность решения зависит от размеров элементарного объема и от выбранного расчетного промежутка времени. Вопрос об устойчивости конечно-разностной схемы по-прежнему играет большую роль, и это нужно учитывать при выборе временного шага в явных вычислительных схемах.

В [166] приводятся расчетные зависимости для определения методом элементарных балансов температурных полей в элемен­ тах турбин (рассматриваются различные варианты расположения расчетных точек — внутри тела, на границе и т. д.). Авторы [166] решают осесимметричные задачи нестационарной теплопровод­ ности: t = t (г, z, т). В качестве примера практического приме­ нения указанного метода в [166] приводится расчет температур­ ного поля (распределения температуры по радиусу и оси) цельно­ кованого ротора.

В цилиндрической и сферической системах координат число разновидностей элементарных объемов, на которые можно раз­ бить тело, чрезвычайно велико. В [6] разработаны метод и про­ грамма для ЭВМ «Урал-4», позволяющие получить расчетную формулу для элементарного объема любой формы в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат. Это осуще­ ствляется следующим образом. Объем, окружающий внутреннюю точку, разбивается на восемь октантов, и любая разновидность элементарного объема получается путем удаления одного, двух и т. д. октантов. Составленная программа предусматривает линей­ ную аппроксимацию зависимости коэффициентов теплопроводно­ сти и теплоемкости материала от температуры и позволяет менять во времени граничные условия по разным законам для различ­ ных участков тела. Общее количество расчетных точек практиче­ ски не ограничено.

Основным недостатком алгоритмов, использующих метод эле­ ментарных балансов для тел сложной формы с переменными усло­ виями на границах, является большая продолжительность счета, связанная с особенностями вычислительных схем и с необходи­ мостью выдерживать минимальный расчетный размер тела. В связи с этим все шире применяются комбинации численного и других методов решения. В работе [193], например, показана возмож­ ность использования функций Грина в численных решениях кра­ евых задач для уравнений Лапласа, Пуассона и Фурье. Решение получается путем умножения матрицы, порядок которой опреде­ ляется выбранной сеткой, на некоторый вектор. Для реализации этого способа решения требуется намного меньше времени, чем для прямого итеративного решения уравнений разностной си­ стемы, аппроксимирующей исходное уравнение.

Отмечая несомненную перспективность численных методов, реализуемых на ЭВМ, следует отметить, что успех численного анализа невозможен без четкой физической и математической

294

постановок, без знания физических параметров, без применения других методов исследования. Все средства, дающие какую-либо информацию о решаемой задаче, должны дополнять численный анализ, а часто и предшествовать ему.

47. Численный метод расчета температурного состояния лопатки с внутренним охлаждением

Одним из путей повышения надежности работы высокотемпе­ ратурных газовых турбин является управление температурным полем наиболее напряженных деталей с помощью искусствен­ ного охлаждения. Большую сложность составляет решение про­ блемы охлаждения элементов роторной группы — наиболее на­ пряженных вращающихся деталей турбины — дисков и рабочих лопаток. Хотя в этом направлении ведутся обширные исследова­ ния, проблему охлаждения лопаток стационарных газовых тур­ бин до настоящего времени нельзя считать решенной.

Для решения таких вопросов, как выбор схемы охлаждения и ее конструктивных параметров, выбор теплоносителя, его рас­ хода и температуры, выбор материала лопатки, необходимо распо­ лагать сведениями о характере распределения температуры в теле лопатки. Эти сведения можно получить, зная метод решения соответствующего уравнения теплопроводности и имея информа­ цию о граничных условиях теплообмена. Естественно, что эти задачи должны решаться современными методами, обеспечиваю­ щими, с одной стороны, достоверность результатов, с другой — быстроту расчетов. Последнее обстоятельство особенно важно на стадии проектирования, когда требуется исследовать большое количество вариантов. В этих случаях особенно удобны и эффек­ тивны расчетные методы, запрограммированные на ЭВМ.

Одной из перспективных систем охлаждения рабочих лопаток, как уже отмечалось в гл. VII, является система охлаждения с по­ мощью теплоносителя, движущегося по внутренним радиальным сверлениям лопатки. Это могут быть или одноконтурные системы с естественной или вынужденной циркуляцией охладителя, или двухконтурные системы, в которых тепло, передаваемое горячим газом активной профильной части лопатки, отводится промежу­ точным теплоносителем, заполняющим замкнутые каналы, в корень лопатки (первичный контур), а затем от корня отводится вторич­ ным теплоносителем, омывающим основание лопатки (вторичный контур).

Количество теплоты, отбираемой лопаткой от горячего потока газа, определяется интенсивностью теплообмена между газом и поверхностью лопатки, с одной стороны, и интенсивностью теплообмена между стенками каналов и охлаждающей жидкостью в них — с другой. Решающим в этом процессе теплопередачи является меньший коэффициент теплоотдачи.

295

В лопатках турбин, омываемых с внешней стороны горячим газом и интенсивно охлаждаемых изнутри, градиенты температур в сечениях могут достигать нескольких сотен градусов. В лопатке с внутренними охлаждающими каналами такие градиенты темпе­ ратур ведут к возникновению значительных дополнительных термических напряжений, в то время как внутренние каналы с охладителем ослабляют сечение лопатки. Для снижения уровня температуры, уменьшения температурной неравномерности и избежания локального перегрева кромок такой лопатки нужно рационально выбрать охладитель, его расход и температуру и обеспечить оптимальное количество, расположение и форму охла­ ждающих каналов. Для этого требуется детальный расчет темпе­ ратурного поля.

Для определения поля температур в теле лопатки с внутрен­ ними охлаждающими каналами следует решать, строго говоря, пространственную нелинейную задачу теплопроводности для мно­ госвязной области с переменными граничными условиями третьего рода по контуру и высоте лопатки. В такой постановке задача не может быть решена из-за больших математических трудностей. Ввиду того что в лопатке с вертикальными охлаждающими кана­ лами при интенсивном охлаждении результирующая теплопровод­ ность в продольном направлении практически отсутствует (имеется в виду перо лопатки) и температура пера мало изменяется по высоте [50, 69, 242], о температурном состоянии такой лопатки можно судить по решению двумерных задач для ее поперечных сечений.

Ниже приводится численный метод решения двумерной задачи теплопроводности при граничных условиях третьего рода, постро­ енный с учетом переменности а по обводу профиля лопатки. По­ следнее обстоятельство является необходимым условием при создании расчетного метода, так как неравномерность темпера­ турного поля в сечении лопатки определяется в основном нео­ динаковой интенсивностью теплообмена между газом и боковой поверхностью лопатки на различных ее участках. Как уже отмеча­ лось в гл. V, коэффициенты теплоотдачи в различных местах про­ филя могут отличаться в несколько раз в зависимости от характера развития пограничного слоя: на кромках, как правило, а в не­ сколько раз больше, чем в средней части профиля. А так как температурный режим выходной кромки по существу определяет жизнеспособность конструкции, не учитывать этого обстоятель­ ства нельзя.

В первом приближении решаем линейную задачу теплопро­ водности, считая физические характеристики постоянными, т. е. определяем функцию температуры /, удовлетворяющую уравне­ нию Лапласа

296

и граничным условиям третьего рода:

Уравнение Лапласа может быть сведено к интегральному уравнению [30]. Пользуясь свойством гармонических функций, выражаем значение функции температуры в некоторой точке М, лежащей внутри области, через ее значение и значение ее нормаль­ ной производной на границе области:

Здесь г — расстояние от точки М до границы области; п — внеш­ няя нормаль к границе.

Значение температуры в некоторой i-й точке, лежащей на гра­ нице, можно получить как предельное при приближении точки М

Учитывая (VIII.25), уравнение (VIII.26) можно записать так:

стенок охлаждающих каналов к охлаждающей среде; s0 — внеш­ ний контур сечения лопатки; sx — sk — внутренние контуры охлаждающих каналов.

Таким образом, дифференциальное уравнение Лапласа (VIII.24) для области свелось к интегральному уравнению типа Фредгольма второго рода для контура, ограничивающего эту область, а решение двумерной задачи — к определению интегра­ лов вдоль линии.

В рассматриваемой задаче область, ограниченная контуром s, является многосвязной, а сам контур s, по которому производится интегрирование, состоит из контура s0 и внутренних контуров sx — sk.

2 9 7

Интегральное уравнение (VIII.27), не имеющее аналитического решения, можно решить с помощью приближенного метода Фред­ гольма. Для этого контур лопатки и контуры охлаждающих каналов разбиваем на участки, в пределах каждого из которых температуру принимаем постоянной и равной средней темпера­ туре на этом участке. Для каждого участка составляем уравнение типа (VI 11.27). В результате имеем систему линейных алгебраиче­ ских уравнений, после решения которой получаем значения тем­ ператур (средних на каждом участке) на внешнем контуре сече­ ния лопатки и на контурах охлаждающих каналов. Точность решения зависит от числа участков, на которые разбиваются внешний и внутренний контуры. Необходимое их количество определяется характером неравномерности граничных условий.

Если внешний контур разбить на п участков, а контуры кана­ лов — на т, то задача сведется к решению системы п + т ли­ нейных алгебраических уравнений с п + т неизвестными:

ПП

298

Фи. = tJ lnri d s + 1 т 1пr‘-* - - -h J X ln r i d s>

участок, для которого вычисляются интегралы.

Если контур разбить на такое количество участков, чтобы каждый криволинейный участок можно было считать отрезком прямой, и, кроме того, разбивку произвести таким образом, чтобы на каждом из участков, где температура принимается постоянной, можно было считать а = const и к = const, то вычисление инте­ гралов, входящих в уравнение (VIII.29), значительно упрощается и они определяются в конечном виде [137].

После определения коэффициентов ср решаем систему (VI 11.28) методом исключения по схеме Гаусса с выбором главного эле­ мента.

В результате получаем значения контурных температур на внешнем контуре профиля и на стенках охлаждающих каналов.

Температура во внутренних точках сечения определяется по

на внешнем и внутренних контурах.

Во втором приближении задачу решаем с учетом зависимости коэффициента теплопроводности от температуры металла. Со­ гласно распределению температур, полученному в первом при­ ближении, задаем значения К (/) в расчетных точках и коэффи­ циенты ср в уравнениях (VIII.29) вычисляем с учетом зависимости

МО.

Изложенный метод определения поля температуры в сечении лопатки с внутренними охлаждающими каналами запрограмми­ рован на ЭВМ М-220. Программа позволяет определять темпера­ туру в любом количестве точек на контурах (но не более 125) и любом количестве внутренних точек (без ограничения). Весь расчет состоит из трех частей:

1) получения линейной алгебраической системы (VIII.28);

299

точках профиля лопатки, т. е. при условии получения подробной картины распределения температуры, требуется 16 мин машинного времени.

На рис. 122 в качестве примера приведены результаты рас­ чета температурного поля в лопатке с двухконтурной системой охлаждения (s — текущая координата; L — длина обвода про­ филя). Распределение температуры получено для лопатки, в пер­ вичном контуре которой находится жидкий натрий, заполняю­ щий шесть внутренних каналов. Благодаря высоким значениям коэффициента теплоотдачи теплоноситель такого рода способен отвести все тепло, которое может быть передано от газа к поверх­ ности лопатки и затем к стенкам охлаждающих каналов.

Рис. 122. Распределение' температуры и коэффициен­ тов теплоотдачи по контуру турбинной лопатки

Сплошной линией на рис. 122 представлено распределение температуры (titп) по внешнему контуру лопатки, полученное на ЭВМ (плоская задача) для 40 расчетных точек контура, точками обозначены значения температуры, полученные на сеточном ин­ теграторе СЭИ-02 (пространственная задача).

Максимальная относительная разница температур, получаю­ щихся при решении задачи на ЭВМ и на сеточном интеграторе, во внутренних точках сечения (сплошная кривая на рис. 122) в области кромок не превышает 2%, в остальных же точках она составляет десятые доли процента. Это говорит о том, что о тепло­ вом состоянии лопатки с указанной схемой охлаждения доста­ точно точно можно судить по решениям двумерных задач.

По распределению температуры в сечении лопатки (рис. 122) можно судить о неблагоприятном состоянии кромок (особенно выходной), обусловленном неравномерным характером распреде­ ления коэффициентов теплоотдачи а по профилю (штриховая линия на рис. 122) и недостаточным охлаждением этой зоны ло­ патки.

Таким образом, описанный метод расчета позволяет опреде­ лять поля температур в плоских сечениях лопатки с внутренним

301