книги из ГПНТБ / Зысина-Моложен, Л. М. Теплообмен в турбомашинах

Искомая функция t, с помощью которой требуется отобразить картину пространственного и временного распределения темпе­ ратуры, должна удовлетворять дифференциальному уравнению теплопроводности, наиболее общая математическая запись кото­ рого имеет вид

Это уравнение в общем случае является нелинейным дифферен­

В сферической системе кооодинат

+ ±.m{*%) + ^ U x%)+w- <vlII-4>

Выбор системы координат имеет принципиальное значение для решения задачи, так как от него зависит число переменных в урав­ нении и, следовательно, процесс нахождения решения. Одномер­ ное сферическое поле, например, в декартовой системе коордиинат должно рассматриваться как трехмерное. Переход к сферической системе позволяет уменьшить количество пространственных коор­ динат втрое.

Если принять допущение, что величина к не зависит от коор­ динат, а значения р и с не зависят от времени, то уравнение (VIII. 1) преобразуется к более простому виду

282

где а — К/(ср) — коэффициент температуропроводности по Мак­ свеллу, зависящий только от свойств вещества; W' = talk, V 2 — дифференциальный оператор второго порядка, который имеет

а при отсутствии внутренних источников (стоков) тепла — в урав­ нение Лапласа

ских свойств, а определяется только формой тела и распределением температуры на его границах (об условиях на границах будет сказанониже).

В различных частных случаях поле температур может не зави­ сеть от одной или нескольких координат. Тогда члены уравнений, содержащие соответствующие частные производные, равны нулю и уравнения (VIII.8)—(VIII. 10) еще более упрощаются.

Таким образом, задача теплопроводности, в которой незави­ симыми переменными являются время т и пространственные ко­ ординаты, а зависимой переменной — температура t, представ­ ляет собой задачу интегрирования параболического (в неста­ ционарных процессах) или эллиптического (в стационарных процессах) уравнений. При постановке задачи требуется доказать существование решения и его единственность. —

До настоящего времени доказательств существования и един­ ственности решения в общем виде для уравнения теплопровод­ ности не существует. Доказательство существования решения — чисто математическая проблема. При решении физических задач существование решения вытекает из самой постановки задачи. В этом случае необходимо установить корректность сформулиро­ ванной системы уравнений и единственность решения.

Поскольку дифференциальное уравнение теплопроводности имеет первый порядок по времени и второй по пространственным

283

координатам, для единственности решения должны быть известны одно условие в некоторый фиксированный момент времени, при­ нятый за начальный, и два условия для каждой из координат. Иными словами, для однозначного описания теплового процесса необходимо иметь дополнительную информацию о характере теплообмена на границах указанной пространственно-временной области, характеризующую конкретную физическую обстановку — краевые условия задачи.

Для каждой точки поля должно быть известно исходное (на­ чальное) состояние. В начальный момент времени т = т 0 задается

например при разогреве системы из холодного состояния, при охлаждении после работы на стационарном режиме и т. д.

Для точек, расположенных на границах области и потому подверженных внешним влияниям, требуется описать характер этих влияний, т. е. задать пространственные краевые (граничные) условия.

Рассмотрим четыре типичных граничных условия.

1. Для каждой точки на границе области s задается темпера­

где т х — промежуток времени, в течение которого изучается про­ цесс. Требуется найти функцию t (х, у , г, т), удовлетворяющую внутри заданной области уравнению теплопроводности и прини­ мающую на границе области s заданное значение /у (т). Это — так называемое граничное условие первого рода [32, 105, 125]. Согласно терминологии математической физики, эта задача назы­ вается первой краевой задачей, а для условий, в которых спра­ ведливо уравнение Лапласа (VIII.7), — задачей Дирихле.

2. На границе области s задается плотность теплового потока как функция времени

В этом случае решение сводится к определению функции t (х, у, z, т), которая внутри области удовлетворяет соответствующему уравнению теплопроводности, а ее нормальная производная на границе области s принимает значение

284

Это — граничное условие второго рода, вторая краевая задача мате­ матической физики, задача Неймана для уравнения Лап­ ласа (VIII. 7).

3. На границе области s может быть указана линейная комби­ нация искомой величины и ее градиента:

(VIII. 15)

Это — третья краевая задача, граничные условия третьего рода, характеризующие теплообмен между поверхностью тела и средой. В этом случае температура среды tn и коэффициент теплоотдачи а считаются известными. Аналогичная задача для уравнения Ла­ пласа носит название смешанной задачи.

Граничные условия третьего рода — наиболее широко распро­ страненный вид граничных условий в практических задачах, в том

существует идеальный контакт, то на соприкасающихся поверх­ ностях sx и s2 имеет место равенство температур и тепловых потоков

^S1 (т) — ^S2 (т)>

(VIII.16)

Задание равенства температур и тепловых потоков на идеально соприкасающихся поверхностях составляет содержание гранич­ ного условия четвертого рода.

Рассмотренные краевые условия являются частным случаем условий однозначности, по существу являющихся условиями единственности решения. Это значит, что если некоторая функция t (х, у, z, т) удовлетворяет одному из дифференциальных урав­ нений теплопроводности (VIII. 1), (VIII.5) или (VIII.7), началь­ ному (VIII. 11) и граничным (VIII. 13)—(VIII. 16) условиям, то она является единственным решением задачи [125].

Но это не значит, однако, что данному известному уравнению теплопроводности соответствует только одна совокупность усло­ вий однозначности. Другими словами, условия однозначности определяют единственное температурное поле, в то время как само поле не определяет единственным образом условий одно­ значности.

Решение задачи может быть получено в разных функциональ­ ных соотношениях, но это не противоречит теореме единственности решения, так как указанные неодинаковые по написанию соотно­ шения не являются разными решениями.

Таким образом, общую прямую задачу аналитической теории теплопроводности можно сформулировать следующим образом: требуется определить распределение температуры t в однородном изотропном теле в данный момент времени т, если известно

285

ностей, связанных с полным анализом трехмерного температурного поля. В таких случаях требуется проверка достоверности решения. Например, математические модели, в которых распределение тем­ пературы и напряжения в цилиндрах и роторах турбин предпо­ лагаются одномерными, оправданы лишь для сечений в средней части цилиндров, где отсутствуют (или незначительны) осевые перетечки тепла и цилиндр испытывает напряжение, характерное для бесконечного цилиндра. В общем случае одномерная матема­ тическая модель для цилиндров и роторов далека от реальных физических условий, соответствующих их термическому нагруже­ нию, и может привести к существенным ошибкам в оценке их напряженного состояния.

Тепловое состояние корпуса в переходных режимах нельзя оценить правильно только по результатам его моделирования как осесимметричного (двумерного) тела, так как фланцы гори­ зонтального разъема нарушают осевую симметрию как самого корпуса, так и его температурного поля [82]. Достоверное распре­ деление температуры в этом случае может быть получено в резуль­ тате решения трехмерной задачи нестационарной теплопровод­ ности. Однако при решении этих задач с помощью аналоговых моделей в силу большой трудоемкости и сложности подготовки трехмерной модели в ряде случаев считают возможным решать задачу на плоских моделях. Для цилиндрической части корпуса, удаленной от зоны влияния фланцев, такая постановка в опре­ деленной мере оправдана [147]. В других случаях необходима проверка достоверности решения.

Рассмотрим лопатку газовой турбины. Вообще говоря, она имеет сложное пространственное температурное поле. В этом случае правомерна только трехмерная постановка задачи, хотя оконча­ тельное решение вопроса зависит еще и от цели исследования. А в ряде других случаев тепловой поток имеет такой характер, что допустимо решение двумерной задачи. К таким случаям отно­ сятся некоторые конструкции лопаток с внутренним охлажде­ нием. Например, в лопатке с охлаждающими каналами (имеется в виду перо лопатки) при интенсивном охлаждении результирую­ щая теплопроводность в продольном направлении отсутствует. О температурном состоянии такой лопатки достаточно точно можно судить по решениям двумерных задач [69, 242].

Наибольшее число работ по расчетному исследованию темпе­ ратурных полей в элементах турбин выполнено в предположении постоянства теплофизических свойств материала, т. е. путем реше­ ния линейного уравнения нестационарной теплопроводности

(VIII.5).

При определении температурных полей на режимах пуска турбины, на некоторых переходных режимах и остановах следует принимать во внимание не только зависимость теплофизических характеристик материалов от температуры, но и изменение коэф­ фициентов теплоотдачи во времени, т. е. решать нелинейное

287

уравнение нестационарной теплопроводности (VIII. 1) при пере­ менных граничных условиях третьего рода (VIII. 15).

Аналитическая теория решения нелинейного уравнения неста­ ционарной теплопроводности до настоящего времени не разра­ ботана. Имеющиеся в литературе решения посвящены лишь не­ которым частным задачам. Это объясняется трудностью выполне­ ния математического анализа. Точное решение уравнения (VIII. 1) при а = / (т) не получено даже для одномерных задач, за исключе­ нием некоторых частных случаев зависимости а = / (т).

В такой постановке задачи могут быть решены в настоящее время только численными методами, реализованными или с по­ мощью быстродействующих ЭВМ, или посредством аналоговых моделей. В этом случае задача ставится в конкретно-числовой форме, что предельно индивидуализирует решение и полностью исключает возможность какого-либо обобщения [36]. Однако это единственный путь для решения многих сложных задач.

Наиболее перспективными следует назвать методы с исполь­ зованием ЭВМ. Это могут быть и аналитические, и численные ме­ тоды исследования, и разумное сочетание различных методов. Возможность применения быстродействующих ЭВМ — важный показатель эффективности метода.

46. Численные методы расчета полей температур с использованием ЭВМ

Появление современных быстродействующих ЭВМ должно при­ вести к своего рода революции в области численных методов [138]. Мы еще, по-видимому, и близко не подошли к использо­ ванию всех огромных возможностей ЭВМ. В настоящее время существует значительный разрыв между тем, что могут дать эти машины, и тем, что мы умеем эффективно использовать.

разработанных для ручного счета и задач с малым объемом вычи­ слений. Однако и на этом уровне численные методы, реализуемые на ЭВМ с большой памятью, применяются там, где лет двадцать тому назад об их применении нельзя было и думать. Прогресс в области вычислительной техники сделал доступным многое из того, что раньше казалось невозможным. Вероятно, в будущем будут созданы новые мощные численные методы как для тех за­ дач, которые мы уже сейчас умеем решать, но решаем не эконо­ мично, так и для тех, которые пока представляются неразреши­ мыми.

Процессы переноса тепла в элементах турбомашин описываются дифференциальными уравнениями в частных производных эл­ липтического (для стационарных процессов) и параболического (для нестационарных процессов) типов — см. уравнения (VII 1.7) и (VIII. 1). Для многих из этих уравнений численные методы ре­

288

шения являются единственно пригодными, так как решение другими методами или очень сложно для практического исполь­ зования, или вовсе невозможно. Но и численное решение этих уравнений для элементов турбомашин, имеющих сложную, не­ классическую, форму и сложные условия теплообмена на гра­ ницах, — дело нелегкое, и в последнее время методы решения таких задач являются предметом активных исследований.

Существует много численных методов решения уравнений

вчастных производных, но самым универсальным можно назвать метод конечных разностей (метод сеток), он может применяться для решения как линейных, так и нелинейных задач. Хотя в прин­ ципе разностные методы известны давно, практическое их исполь­ зование наталкивалось на серьезные трудности, связанные с чрез­ вычайно большим объемом вычислений. Положение резко изме­ нилось с появлением быстродействующих ЭВМ, явившихся прекрасным средством реализации этих методов.

Всвязи с этим обстоятельством разностные методы претерпели

впоследние годы большие изменения: началось интенсивное раз­ витие их теории и создание эффективных разностных схем для решения сложнейших практических задач, в том числе задач, связанных с нестационарными тепловыми процессами и с перемен­ ными коэффициентами переноса. Число опубликованных за по­ следние годы работ, посвященных этим методам и их практическим приложениям, возросло в несколько раз по сравнению с тем, что вышло за все время до появления быстродействующих вычисли­ тельных машин.

Суть метода конечных разностей (метода сеток) состоит в сле­ дующем. Исходная континуальная система заменяется дискрет­ ной—конечным множеством точек (сеткой). Частные производные, входящие в дифференциальное уравнение, заменяются конечно­ разностными отношениями, выраженными через разности значе­ ний функции в этих дискретных точках — узлах сетки. В резуль­ тате вместо уравнения в частных производных получается формаль­ ное эквивалентное соотношение в конечных разностях, решение которого сводится к алгебраическим операциям.

Простейшей конечно-разностной аппроксимацией, например параболического уравнения теплопроводности, описывающего од­ номерный нестационарный тепловой процесс,

разностными отношениями, в которых через k и h обозначены приращения независимых переменных соответственно вдоль осей т и х. Разностное уравнение (VIII. 18) можно записать в виде рекур­ рентной формулы

t (х, т + k) — rt (х + h, т) + (1 —

(п + 1)-м временном слое, если известно распределение темпера­ туры в сеточной области на п-м слое. Начальные и граничные условия для сеточной функции тоже записываются в конечно­ разностной форме. Эта дискретная, чисто алгебраическая задача неизмеримо проще, чем исходная дифференциальная (операция интегрирования заменяется операциями сложения и вычитания).

При аппроксимации дифференциального уравнения теплопро­ водности по неявной разностной схеме неизвестные значения связываются между собой системой алгебраических уравнений, число которых равно количеству внутренних узлов пространствен­ ной сетки.

Шаги k и h выбираются такими, чтобы обеспечить требуемую точность данной задачи при минимальной затрате вычислительной работы. Слишком большие шаги являются причиной большой по­ грешности, а слишком малые требуют большой затраты вычисли­ тельного труда. Обычно задача решается сначала при большом шаге, т. е. при малом числе клеток, а затем переходят к более мелкой сетке или во всей области, или в какой-нибудь ее части. Контур сеточной области выбирается так, чтобы он возможно лучше аппроксимировал контур заданной области. Особые труд­ ности аппроксимации контура возникают при криволинейных границах тел, которые пересекают сетку не в узловых точках. Единственным средством, обеспечивающим представление гра­ ничной кривой с требуемой точностью, в этом случае является измельчение сетки у границ, что приводит к увеличению объема вычислительной работы.

Для многих краевых задач вместо прямоугольной сетки целе­ сообразно использовать сетки другой структуры — треуголь­

290

ную, цилиндрическую, полярную и др. Использование этих сеток, построение и решение разностных уравнений различными спосо­ бами в таких задачах показано в работах [91, 129, 156, 170 идр. ].

Авторы большинства работ пользуются явными разностными схемами, так как явные аппроксимации проще, требуют меньшей затраты времени на расчет одного временного слоя и позволяют свести к минимуму необходимый объем памяти, что существенно при решении многомерных задач. Однако явные схемы имеют суще­ ственный недостаток, связанный с вопросами сходимости и устой­ чивости решения. При решении практических задач эта теорети­ ческая сторона вопроса часто не учитывается инженерами, однако вопросы сходимости и устойчивости вычислительных схем при численном интегрировании уравнений теплопроводности имеют решающее значение, и именно эти свойства разностных уравнений определяют пригодность или непригодность последних для практи­ ческого счета.

Уравнение (VIII. 18) представляет формальную конечно-раз­ ностную аппроксимацию уравнения (VIII. 17) в следующем смысле: для каждой функции t (х, т), имеющей первые и вторые частные производные, разностные отношения в (VIII.18) будут стремиться к соответствующим производным в дифференциальном уравне­ нии (VIII. 17) при k и ft, стремящихся к нулю. Отсюда не следует, однако, что решение разностной задачи, формально аппроксими­ рующей дифференциальную, будет всегда стремиться к решению дифференциальной задачи при k —>0 и ft —>0. Уже в самых простых случаях, даже при решении линейных уравнений с по­ стоянными коэффициентами, может оказаться, что разумная, казалось бы, разностная схема дает приближенные решения, не сходящиеся при измельчении шагов сетки к ожидаемому пре­ делу.

Если точное решение дифференциального уравнения (VIII. 17) подставить в разностное уравнение (VIII. 19), то появится оста­ точный член — ошибка аппроксимации (погрешность решения). Проблема сходимости сеточного метода заключается в нахожде­ нии условий, при которых эта погрешность при неограниченном измельчении сетки, т. е. при ft —* 0 и k —>0, равномерно стре­ мится к нулю. Ясно, что расходящиеся сеточные методы не пред­ ставляют интереса ни с теоретической, ни с практической точек зрения.

При использовании формулы (VIII. 19) мы оперируем с конеч­ ным числом разрядов — десятичных при ручном счете и двоичных на ЭВМ. Это обстоятельство вызывает необходимость округления всех промежуточных результатов, вследствие чего появляется ошибка округления.

В случае неустойчивости разностного метода ошибка аппрокси­ мации и малые ошибки округления, допускаемые на промежуточ­ ных этапах вычислительного процесса, будут возрастать при из­ мельчении сетки. Наоборот, в случае устойчивого разностного