книги из ГПНТБ / Ширман, Я. Д. Разрешение и сжатие сигналов

По аналогии с матрицами потерь различении введем некоторые Ха­ рактерные ф у и к ц и н п о т е р ь и з м е р е и п я :

а) п р о с т у ю

Эти функции описывают различные варианты зависимости потерь измерения от оценки параметра Я и его истинного значения Я. Согласно

(5), (б) потерн зависят от абсолютной величины разности |Я — Я| оцен­ ки и параметра. Согласно же (7) потери зависят от разности сигналь­ ных функций, взятых для оценочного и истинного значений параметра.

В отличие от простой или квадратичной интегральная функция потерь целе­ сообразно используется только при аддитивных помехах п = п (і) с математи­

ческим ожиданием нуль, когда и (і) = и (Я Я) + п (t) и Г пр (n)dn = 0. Значение

(л)

Qо (и) целесообразно выбрать при этом равным по абсолютной величине и про-

Тивоположным по знаку третьему слагаемому в правой части равенства (ІО). Ма­ тематическое ожидание Q0 (и) при этом действительно равно нулю, поскольку

[и (t) — u (t Д)] р (и) р(Я | и) du dX—np (я) р(к) du dX.

§ 3.1.4. ОПТИМАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ ФУНКЦИЙ ПОТЕРЬ ИЗМЕРЕНИЯ. ДИСПЕРСИИ ОШИБОК ПРИ ОЦЕНКАХ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ

Оптимальные оценки Я = Я (и) обеспечивают минимум Q (Я | и) при различных функциях потерь измерения.

В случае п р о с т о й функции потерь оптимальная оценка — это абсцисса абсолютного максимума послеопытной плотности вероятно­ сти р (Я|и). Если последняя описывается гладкой функцией и имеет единственный максимум внутри интервала возможных значений Я, ус­ ловие абсолютного максимума заменим условием относительного:

В случае к в а д р а т и ч н о й функции потерь оптимальная оцен­ ка определяется как «центр тяжести» площади под кривой послеопыт­ ной плотности вероятности

В случае и н т е г р а л ь н о й функции потерь и аддитивной по­ мехи оптимальная оценка соответствует абсолютному минимуму инте­ грала от среднего квадрата ошибки приближения принимаемого коле­

бания и (t) функцией и (t, Я) при Я = Я (и). Заменяя вычисление абсо­

дХ J

(О

Критерий (4) не содержит функции р (Я|и) и не учитывает поэтому какой-либо доопытной информации.

Наоборот, при простой и квадратичной функциях стоимости опти­ мальные оценки получаются в зависимости от послеопытной плотности вероятности

Р ( Ч и) = - т т Р(х)Р(и \1)>

Р( и)

321

а значит, с учетом априорной (доопытной) плотности вероятности р (А).

зации и (/) при простой функции потерь тогда будет

(5)

При аддитивных гауссовых помехах с нулевым математическим ожи­ данием величина In р (и|А) пропорциональна интегралу J [и (/, к) —

— и (t)]2dt (коэффициент пропорциональности отрицателен), а ее макси­ мум достигается при минимальном значении интеграла. Таким обра­ зом, условия получения оптимальных оценок при простой и интеграль­ ной функциях стоимости совпадают.

В обоих случаях встречаются затруднения, если уровень помех пре­ вышает некоторый пороговый. Функция р(к | и) становится многопико­

вой, а оптимальную оценку к (и) нельзя получить как абсциссу какогото одного относительного экстремума. Определение оценки облегчает­ ся при использовании квадратичной функции стоимости, однако и в этом случае дисперсия оценки резко нарастает по мере увеличения интенсивности помехи.

Когда уровень помех невелик, функция р (к | и) обычно имеет резко выраженный пик. По форме он симметричен, его центр тяжести и мак­ симум совпадают. Совпадают поэтому оптимальные оценки при ква­ дратичной, простой (а значит, и интегральной) функциях стоимости, т. е. для рассматриваемых условий оптимальные решения не критичны

квыбору функций стоимости.

Вслучае гауссовых аддитивных помех интегральная функция стои­ мости, игнорирующая априорную статистику, заметных преимуществ перед простой и квадратичной не имеет. В случае негауссовых аддитив­ ных помех с математическим ожиданием нуль эта функция имеет опре­ деленные преимущества, сводя задачу к минимизации интеграла (4), такого же, как и в гауссовом случае. Каких-либо предположений о по­ мехе, помимо ее аддитивности и нулевого математического ожидания при интегральной функции стоимости не требуется.

Остановимся подробнее на оценках максимального правдоподобия (5), не требующих априорных данных. Используя (5) применительно

кзадачам разрешения, прежде всего заметим, что входящая в нее плот­ ность вероятности р (и | к) вычисляется при условии наличия шума С, мешающих сигналов В и полезного сигнала А с параметром к, т. е.

Р(ч |^ ) = Рлвс(и ІХ)-

Всоответствии с [(6), § 1.1.2] имеем

где / (u I А) — отношение правдоподобия для сигнала с известным пара­ метром А; рве (и) — плотность вероятности реализации и при наличии

только мешающих колебаний. Основываясь на (6), условие оптимума оценки (5) приводим к виду:

различных вариантов обнаружения для отыскания алгоритмов опти­ мального измерения.

Эти же результаты облегчают отыскание послеопытиой дисперсии измеряемого параметра. Повторно учитывая пропорциональную за­ висимость послеопытиой плотности вероятности параметра от отноше­ ния правдоподобия, после логарифмирования получаем

Разложим правую часть равенства (8) в ряд по степеням (Я— Я). Пола­ гая ошибки малыми, ограничиваясь в силу этого первыми тремя члена­ ми ряда и используя (7), находим для скалярного Я:

Возможные отступления от нормального закона (10) и смещения оцен­ ки максимального правдоподобия, соответствующие несколько более интенсивным помехам, здесь и далее не учитываются.

До сих пор речь шла об измерении одного скалярного параметра. Положение существенно не меняется, если измеряется н е с к о л ь к о с к а л я р н ы х п а р а м е т р о в и 1, является ^.-мерной вектор­ ной величиной. Так, оценки максимума послеопытиой плотности ве­ роятности и максимума правдоподобия определяются как координаты точек экстремума (1), (5) функций нескольких переменных. При ква­ дратичной функции потерь оптимальная векторная оценка полу­ чается как интеграл от Яр (Я | и) по всем скалярным параметрам. Ска­ лярные оценки при интегральной функции потерь находятся из систе­ мы уравнений вида (4), дифференцирование в каждом из которых ве­ дется по своему скалярному параметру.

можно рассматривать как удвоенный коэффициент при квадратичных членах разложения в ряд выражения (8). В нормальном (гауссовом) приближении

м-

р ( К ..., I и) == ехр V са (К —h ) (^j hj) (13)

і. І—1

Корреляционный момент ошибок измерения скалярных параметров (с номерами i, j) определяется соотношением

н ы м и э л е м е н т а м и м а т р и ц ы е, о б р а т н о й м а т р и-

Важнейшей составной частью разрешения для ряда приложений является оценка числа I приходящих от целей сигналов (0 <С / < т) при некотором максимально возможном их числе т. Сочетания / про­

извольно выбранных из т сигналов могут быть осуществлены Сгт спо­ собами. Таким образом, общее число 2п возможных комбинаций отсут­ ствия и наличия сигналов, соответствующее полному разрешению, раз­ бивается по группам событий / = 0, 1, ..., т (ни одной, одна, ..., т целей на контролируемом участке дальности)

т

Равенство (1) согласуется с известным разложением бинома Ньютона

(1 + 1)т .

В связи с изложенным примем следующую нумерацию возможных событий (/ = 0, 1, ..., 2'"—1). Событию отсутствия сигналов /= 0 при­ своим номер j — 0 и отнесем его к нулевой группе. Событиям наличия

одного сигнала (/ = 1) дадим номера } = 1, ..., С1т + 1, относя их к первой группе событий, и т. д. Совокупность всех 2т возможных со­ бытий разбивается постепенно на (т + 1) групп этих событий с номе­ рами I = 0, ..., т при неодинаковом числе событий в каждой группе.

§3.1.6. РАЗРЕШЕНИЕ — ОБНАРУЖЕНИЕ— ИЗМЕРЕНИЕ

ИЕГО АЛГОРИТМЫ ПРИ ПРОСТОЙ ФУНКЦИИ СТОИМОСТИ

Полагая, что интервал возможного изменения параметра сигнала равномерно заполнен т значениями этого параметра и, переходя к к /ті—>-оо, приходим к важному случаю полного разрешения, включаю­ щему н а р я д у с о б н а р у ж е н и е м и о ц е н к о й ч и с л а I разрешаемых сигналов о ц е н к у непрерывно распределенных зна­ чений их п а р а м е т р о в. Такой подход был четко сформулирован

вобщем виде И. А. Большаковым [115] и Нильссоном [61]. Выражение для среднего риска Q запишем в виде

Здесь I — число разрешаемых сигналов; k = I •— оценка этого числа;

Считая, что решения k — І (и) и Хк = Хк (u) принимаются в неслу­ чайной зависимости от принимаемых колебаний и = u(t), перейдем, как и в § 3.1.2, к условному среднему риску

Здесь p (A,,, / [ u) — совместная послеопытная плотность вероятности вектора непрерывного параметра А,, и числа сигналов /, нормирован­ ная так, что

2 $р(Аь l\u)dXt = L

Выражение условного среднего риска (2) существенно упрощается

Q(k, Xh \u) = — P(Xk,k\u).

Его минимальное значение соответствует абсолютному максимуму послеопытной плотности вероятности

Порядок оптимизации в (4) и (5), вначале по Xh а затем по /, или наоборот, произволен. Вычисления, однако, облегчаются, если, после-