книги из ГПНТБ / Грабовски, К. Параметрические усилители и преобразователи с емкостным диодом

когда

где В — множество всех целых чисел за исключением множества А. Условия (2.34) — (2.37) означают, что в замкнутой цепи (рис. 2.4)

в результате фильтрующего действия импеданса Z (со) могут появить­ ся только те составляющие с частотой со„, индекс п которых удовлет­ воряет условию (2.35), т. е.

Рис. 2.5. Электрическая цепь, иллюстри­ рующая физический смысл системы уравне­ ний (2.29).

Наконец, в соответствии с (2.27) и (2.31), уравнения (2.39) запи­ сываем символически:

где индекс i означает, что уравнение (2.40) является результатом ап­ риорного отбрасывания из общего вида решения (2.31) составляющих тока с частотами со„, для которых в соответствии с допущением (2.36) внешняя фильтрующая цепь Z (ю) представляет собой достаточно боль-

30

шое сопротивление1 ', так что ее можно практически считать разрывом (холостым ходом).

Матрицу [Za)i можно поэтому назвать «усеченной» матрицей импедансов холостого хода для переменного эластанса.

В качестве электрического аналога уравнения (2.40) можно [26] рассмотреть рис. 2.5, в котором следует принять, что число «ячеек», а также и число вносимых э. д. с. благодаря параметрической связи является конечным. При такой интерпретации уравнения (2.40) удоб­ но в дальнейшем использовать зависимости между токами и напряже­ ниями соответствующих частот на зажимах самой переменной емкос­ ти, исключая зависимости для внешних, постоянных во времени, эле­

Это уравнение однозначно описывает поведение периодически ме­ няющегося линейного эластанса в стационарном режиме при условии, что он взаимодействует с внешней цепью, ограничивающей возможность замыкания цепи для всех составляющих тока, кроме определенных

рез которую протекает ток i (t), но с условием, что взаимодействующая внешняя цепь препятствует замыканию цепи для строго определенных составляющих тока согласно условию (2.36).

Вполне очевидно, что решения, аналогичные приведенным, мож­ но выполнить [14, 65] для случая замещения схемы рис. 2.2 параллель­ ным соединением переменной емкости и генератора Нортона с парал­

где у (t) — переходная проводимость линейной цепи, численно равная функции ее отклика (тока), наблюдаемого в момент t, на импульс еди­ ничного возбуждения (напряжения), приложенный в момент т со сто-

1> О б щ у ю оценку среднеквадратичной ошибки, возникающей при решении системы уравнений (2.29), в случае, когда не выполняются условия (2.36) и (2.37), можно найти в работе [66] .

31

роны нелинейной емкости с заданной нелинейной характеристикой q{u).

Величина i{t) представляет возбуждающий ток, который вычислим из зависимости

напряжения, приложенный в момент т на клеммы соответствующего генератора ет; т — s, н, == соответственно для напряжений сигнала, накачки и смещения; tm — момент времени, в который начинает дей­ ствовать соответствующее возбуждение, причем как и ранее, прини­ мается соответствующее условие очередности включения генераторов

(2.46)

Уравнение (2.43) используем для определения стационарного ре­ жима в контуре, где возбуждением служит только напряжение смеще­ ния и накачки. Благодаря известной нелинейной зависимости заряда от напряжения найдем также временную зависимость дифференциаль­ ной емкости с ((uHt), которая представляется в виде ряда Фурье

Аналог уравнения (2.21) имеет теперь вид

at

где i„ (t) — возбуждение, us (t) — искомое напряжение в стационарном режиме, a Y (co)us (t) — результат действия интегро-дифференциаль- ного оператора эквивалентной проводимости Y (со) на неизвестное на­ пряжение сигнала us(t) (рис. 2.7).

32

появление в контуре проводимости У (со) с постоянными во времени параметрами, внешней по отношению к переменной емкости:

а матрица [Ус] состоит исключительно из элементов

(2.55)

и описывает переменную емкость.

Электрический аналог [26] уравнения (2.51) показан на рис. 2.8, где схема с одной парой независимых узлов и переменной емкостью (рис. 2.7) представлена в виде многоузловой схемы с постоянными па­ раметрами. Между каждой из пар узлов действует напряжение с дру­ гой частотой <вп, а параметрическая связь между ними обусловлена элементом с переменной емкостью. Действие этой связи аналогично действию нескольких генераторов тока, величина которого зависит от напряжений, возникающих на отдельных узлах.

со-м км

1ЖУ Y(w-^ 1

Бесконечная система уравнений (2.51), как и ранее рассмотренная система (2.29), в общем неразрешима. Условия, при которых реальные фильтры можно рассматривать как идеальные, теперь имеют вид

34

Это равнозначно предположению, что в количество независимых пар узлов на рис. 2.8 ограничивается числом, вытекающим из множества А. Все остальные пары узлов, для которых закон Кирхгофа для токов теряет свой смысл, становятся закороченными, а соответствующие уравнения системы (2.51) перестают быть справедливыми.

При допущениях (2.56)—(2.59) система уравнений (2.51) сводит­

нечному виду имеет место при коротком замыкании на нелинейной ем­ кости источников напряжений с частотами со„ с помощью внешней фильтрующей цепи Y(w) согласно (2.58). Выражение [Yc]u поэтому можно назвать «усеченной» матрицей проводимости для нелинейной емкости в случае короткого замыкания.

Исключая постоянные во времени внешние элементы, т. е. вычи­

Это уравнение однозначно описывает поведение линейной перио­ дически меняющейся емкости в стационарном режиме при условии, что она взаимодействует с внешней цепью, ограничивающей появление составляющих напряжения в соответствии с уравнением (2.60).

А далее, если использовать обратную величину матрицы • [Yc]u, неизвестные комплексные амплитуды напряжения на емкости можно обозначить как

U] = [Ус]йЧа] = [ZC]JC], (2.64)

где [Zc]u можно назвать «усеченной» матрицей импедансов переменной емкости для короткого замыкания.

В дальнейших рассуждениях будут использованы «усеченные»

селективных цепей, в которых размыкаются токи соответствующих частот, протекающие через нелинейную емкость, либо замыкаются напряжения соответствующих частот, действующие на нелинейной ем­ кости. Однако на практике паразитные элементы СВЧ корпуса, в ко­ тором помещен р-п переход, а также потери в материале самого перехо­ да приводят к тому, что идеализированные условия (2.36), (2.37), (2.58), (2.59) могут быть, самое большее, выполнены в некотором прибли­ жении.

Поэтому интересно и с практической точки зрения обоснованно обсудить другие методы решения уравнений (2.21) или (2.48), не тре­ бующих обязательного выполнения упомянутых идеализированных условий. Одним из них является метод возмущений, предложенный впервые без теоретического обоснования и примененный С. А. Щелкуновым для анализа волновых уравнений в средах с переменными в про­ странстве параметрами, приспособленный Заде 180] для анализа функ­ ции передачи четырехполюсника с переменными во времени парамет­ рами и развитый для произвольной параметрической цепи Ленковским 128, 46, 47]. Благодаря работам Квапиша [44] этот метод получил соответствующее математическое обоснование.

Для выяснения способа применения метода возмущений для ре­ шения обоих параметрических уравнений (2.21) и (2.48) приведем эти уравнения к одинаковому виду с помощью символической записи

где х — неизвестная функция времени (ток или напряжение), а у —

а все остальные составляющие определяются из рекурентного урав­ нения также с постоянными коэффициентами:

36

причем скорость сходимости" ряда (2.66) для решения х не меньше, чем скорость сходимости геометрической прогрессии с знаменателем г (2.69) [42]. Оператор L - 1 есть величина, обратная оператору L с усредненными коэффициентами.

Отдельным этапам метода возмущений можно приписать некоторое физическое толкование [28]. Электрическая цепь с переменными во времени параметрами заменяется схемой с постоянными, усредненны­ ми параметрами. Фактически наблюдаемые изменения параметров учи­ тываются введением на каждом из очередных этапов итерации неко­ торых дополнительных источников у^, которые рассчитываются на ос­ нове уже известного решения i^—i предыдущего этапа.

При анализе и расчете параметрических систем с помощью мате­ матических вычислительных машин [1,48—54,18] особенно пригоден метод, заключающийся в преобразовании уравнений (2.21) и (2-48) в дифференциальные уравнения. Нормируя частоту относительно ча­ стоты накачки таким способом, чтобы

П— —со

а также

П = — оо

легко видеть, что преобразование Фурье уравнения (2.21) сразу же приводит к дифференциальному уравнению

На практике для упрощения анализа неоднократно предполагают, что ряд Фурье для переменного эластанса либо емкости (2.70) и (2.71) конечный и тогда дифференциальные уравнения (2.72) и (2.79) имеют конечный порядок.

Для случая косинусоидально изменяющейся емкости Леон и Ан­ дерсон [54], а также Дезоер [18] приводят математические методы,

37

конечными пределами суммирования) в виде бесконечных цепных дробей, которые относительно просто можно аппроксимировать ко­ нечными выражениями с одновременной оценкой совершаемой при этом ошибки. Дезоер разработал итерационный метод решения урав­ нения (2.75) для я = ± 1 , в котором использовал аналогию математи­ ческого вида выражений для коэффициентов / п в (2.60) с видом выра­ жений для токов, протекающих в последовательно соединенных ячей­ ках некоторой бесконечной лестничной цепи, причем импедансы ячеек остаются в определенной связи с импедансом анализируемой парамет­ рической системы. Метод, разработанный на основе этой аналогии и вытекающих из нее физических предпосылок, дает возможность заменить бесконечную лестничную цепь конечной, состоящей из 2N + + 1 ячеек, где число ячеек тем больше, чем больше требуемая точ­ ность расчета произвольного / п - го коэффициента в уравнении (2.60). Характерными чертами обсуждаемого метода являются расчет экви­ валентного импеданса отброшенного бесконечного числа ячеек, а затем проведение стандартного анализа конечной лестничной цепи, который заканчивается вычислением импедансов. В результате этого анализа определяются токи ячеек, тесно связанные с комплексными амплиту­ дами /п (со) уравнения (2.60). К сожалению, расчеты при использо­ вании этого метода достаточно сложны, и, как правило, проводятся лишь с помощью цифровой вычислительной машины.

Из-за существенного ограничения обоих рассмотренных методов идеально косинусоидальным характером изменения емкости (недо­ стижимым для реальных полупроводниковых элементов с накачкой) эти методы, хотя и ценные с точки зрения общепознавательного вклада в сущность анализа линейных параметрических систем, к Со­ жалению, полностью не решают поставленную задачу с инженерной точки зрения. Поэтому в дальнейшем в основу анализа положим метод усеченных матриц иммитанса, принимая в зависимости от аналзируемой схемы идеализированные условия (2.36)—(2.37) или (2.58)—(2.59). Важно еще добавить, что до сих пор все рассмотренные методы основы­ вались на некоторых идеализированных предположениях относительно реально рассматриваемой системы. Насколько известно автору, пока еще нет работ, в которых бы сравнивались различные методы анализа с точки зрения наилучшего приближения выбранной модели к реаль­ ной системе1 1 . Напомним еще раз, что метод усеченных матриц проводимостей позволяет выбрать произвольный периодический закон изме­ нения дифференциальной емкости или эластанса и предполагает, что идеальные частотные фильтры ограничивают выделение мощности в системе-лишь на нескольких частотах. При использовании метода возмущений и метода дифференциальных уравнений (в обоих его ва­ риантах) необязательно предполагать селективность фильтров идеаль­ ной, в то же время требуется предполагать косинусоидальный (или си­ нусоидальный) характер изменения величины параметрического эле­ мента идеальным.

г ) К моменту издания книги на русском языке такие работы также неиз­ вестны. {Прим. -ред.)

38

2.2.ХАРАКТЕРИСТИКИ р-п ПЕРЕХОДА В УСЛОВИЯХ

ВОЗДЕЙСТВИЯ НАКАЧКИ [27]

Как уже упоминалось, усиление либо преобразование частоты в диодных параметрических системах происходит в результате изме­ нения емкости запертого р-п перехода, управляемого (накачиваемого) большой вспомогательной СВЧ мощностью. Специфике р-п переходов, используемых в варакторных диодах, посвящен ряд польских работ [2, 27, 40]. Применительно к «линейному этапу» представленной в § 2.1 теории параметрических систем займемся сейчас упрощенными метода­ ми отыскания характера функции s(a>J) дифференциального эластан-

2.2.1.СТАТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ р-п П Е Р Е Х О Д А

Типичный р-п переход, смещенный в обратном направлении и на­ качиваемый большим СВЧ сигналом, можно представить [21] с по­ мощью последовательно1 ' соединенных линейного сопротивления Rs и нелинейной емкости С п (рис. 2.1), которая является функцией на­ пряжения накачки. Изменения С п зависят от ширины потенциального барьера, который соответственно увеличивается или уменьшается в за­ висимости от того, растет или убывает напряжение смещения (в не­ проводящем направлении) на переходе.

Специфика параметрических систем (2.12), (2.20), (2.21) создает необходимость пользоваться понятием так называемого динамичес­ кого эластанса2 ' перехода [32, 77]:

где dq означает приращение заряда, вызванное приращением напря­

39