книги из ГПНТБ / Грабовски, К. Параметрические усилители и преобразователи с емкостным диодом
.pdfкогда
п е В, |
(2.37) |
где В — множество всех целых чисел за исключением множества А. Условия (2.34) — (2.37) означают, что в замкнутой цепи (рис. 2.4)
в результате фильтрующего действия импеданса Z (со) могут появить ся только те составляющие с частотой со„, индекс п которых удовлет воряет условию (2.35), т. е.
i-.(*) = 2Re 2 Z / ' ' 0 1 " ' . |
(2-38) |
Рис. 2.5. Электрическая цепь, иллюстри рующая физический смысл системы уравне ний (2.29).
|
|
|
|
|
Таким образом, |
для |
частот, |
оп |
|||||
|
|
|
|
ределяемых |
условием |
(2.37), |
схема |
||||||
|
|
|
|
перестает быть замкнутой, для них |
|||||||||
|
|
|
|
закон |
Кирхгофа |
теряет |
свой |
смысл |
|||||
|
|
|
|
и, |
следовательно, |
уравнения |
(2.29) |
||||||
|
|
|
|
перестают |
быть |
справедливыми |
для |
||||||
|
|
|
|
рассматриваемой |
схемы. Поэтому |
си |
|||||||
|
|
|
|
стема уравнений (2.29) при выпол |
|||||||||
|
|
|
|
нении |
условий |
(2.34)—(2.37) |
сводит |
||||||
|
|
|
|
ся |
к виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-м |
|
|
|
ZQ, |
—м |
••• |
ZQI0 |
|
... |
Zq, |
N |
|
X |
/ „ |
(2.39) |
|
uN |
Z N . |
-М |
... |
ZN, |
О |
|
|
|
|
IN |
|
|
Наконец, в соответствии с (2.27) и (2.31), уравнения (2.39) запи сываем символически:
Ш = {lZ6]t + [ Z s ] £ } / ] , |
(2.40) |
где индекс i означает, что уравнение (2.40) является результатом ап риорного отбрасывания из общего вида решения (2.31) составляющих тока с частотами со„, для которых в соответствии с допущением (2.36) внешняя фильтрующая цепь Z (ю) представляет собой достаточно боль-
30
шое сопротивление1 ', так что ее можно практически считать разрывом (холостым ходом).
Матрицу [Za)i можно поэтому назвать «усеченной» матрицей импедансов холостого хода для переменного эластанса.
В качестве электрического аналога уравнения (2.40) можно [26] рассмотреть рис. 2.5, в котором следует принять, что число «ячеек», а также и число вносимых э. д. с. благодаря параметрической связи является конечным. При такой интерпретации уравнения (2.40) удоб но в дальнейшем использовать зависимости между токами и напряже ниями соответствующих частот на зажимах самой переменной емкос ти, исключая зависимости для внешних, постоянных во времени, эле
ментов. Вводя напряжение Uc |
(рис. 2.4 и 2.5), действующее непосред |
|
ственно на зажимах емкости, символически запишем |
|
|
U0] |
= [Z.h П. |
(2.41) |
Это уравнение однозначно описывает поведение периодически ме няющегося линейного эластанса в стационарном режиме при условии, что он взаимодействует с внешней цепью, ограничивающей возможность замыкания цепи для всех составляющих тока, кроме определенных
уравнением (2.38). |
|
|
|
|
|
В случае, когда известна обратная |
матрица IZS]U |
комплексные |
|||
амплитуды / „ тока i (t), |
протекающего |
через переменную |
емкость, |
||
можно выразить зависимостью |
|
|
|
|
|
/] = |
[Zs]fWc |
= [Ya]tUc], |
|
(2.42) |
|
где [Уа ]{ называют «усеченной» матрицей проводимостей |
холостого |
||||
хода для переменного эластанса. |
|
|
|
|
|
Уравнение (2.42) можно также использовать для определения не |
|||||
известной зависимости напряжения |
ис (t) |
на переменной емкости, че |
рез которую протекает ток i (t), но с условием, что взаимодействующая внешняя цепь препятствует замыканию цепи для строго определенных составляющих тока согласно условию (2.36).
Вполне очевидно, что решения, аналогичные приведенным, мож но выполнить [14, 65] для случая замещения схемы рис. 2.2 параллель ным соединением переменной емкости и генератора Нортона с парал
лельной проводимостью у |
(t) |
(рис. 2.6). В этом случае закон |
Кирхгофа |
|
для токов следует записать в виде нелинейного |
уравнения |
|
||
-щ- q («) |
+ |
1 У if - х) и (х) dx = |
i (t), |
(2.43) |
где у (t) — переходная проводимость линейной цепи, численно равная функции ее отклика (тока), наблюдаемого в момент t, на импульс еди ничного возбуждения (напряжения), приложенный в момент т со сто-
1> О б щ у ю оценку среднеквадратичной ошибки, возникающей при решении системы уравнений (2.29), в случае, когда не выполняются условия (2.36) и (2.37), можно найти в работе [66] .
31
роны нелинейной емкости с заданной нелинейной характеристикой q{u).
Величина i{t) представляет возбуждающий ток, который вычислим из зависимости
|
i (t) |
= |
i = |
(t) |
+ |
is |
(t) |
+ |
iR |
(t), |
(2.44) |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
hn |
(t) |
|
|
|
|
|
em |
|
dx, |
|
|
|
= |
b |
m |
( ^ |
- |
t ) |
(t) |
(2.45) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
ym {£) — взаимная |
|
переходная |
|
проводимость линейной цепи |
|||||||
(рис. |
2.2), понимаемая |
как отклик (ток), наблюдаемый в момент t на |
||||||||||
закороченных клеммах |
нелинейной |
емкости, |
на единичный импульс |
Рис. |
2.6. Эквивалентная |
схема |
Рис. 2.7. |
Линейная |
эквивалент |
|
Нортона |
упрощенной |
схемы |
ная схема |
Нортона |
упрощенной |
|
(рис. |
2.2) |
параметрического |
схемы параметрического вход |
|||
|
входного устройства. |
ного устройства. |
напряжения, приложенный в момент т на клеммы соответствующего генератора ет; т — s, н, == соответственно для напряжений сигнала, накачки и смещения; tm — момент времени, в который начинает дей ствовать соответствующее возбуждение, причем как и ранее, прини мается соответствующее условие очередности включения генераторов
(2.46)
Уравнение (2.43) используем для определения стационарного ре жима в контуре, где возбуждением служит только напряжение смеще ния и накачки. Благодаря известной нелинейной зависимости заряда от напряжения найдем также временную зависимость дифференциаль ной емкости с ((uHt), которая представляется в виде ряда Фурье
С ( И н О = |
(2.47) |
Аналог уравнения (2.21) имеет теперь вид
[с К 0 иа |
У (ш) и. (0 = i3(t), |
(2.48) |
at
где i„ (t) — возбуждение, us (t) — искомое напряжение в стационарном режиме, a Y (co)us (t) — результат действия интегро-дифференциаль- ного оператора эквивалентной проводимости Y (со) на неизвестное на пряжение сигнала us(t) (рис. 2.7).
32
Поступая аналогично предыдущему, т. е. предполагая возбуж- |
||
да ющий ток в общем виде |
|
|
i . (0 = 2Re 2 |
/ „ e ' e » ' , |
(2.49) |
пел |
|
|
где А, как и прежде, является конечным множеством |
положительных |
|
и отрицательных целых чисел, а также предполагая |
решение уравне |
|
ния в виде |
|
|
, ( * ) = 2 R e J |
г > » е ' И п ' . |
(2.50) |
где со,! даются зависимостью (2.25), получаем путем подстановки |
(2.49) |
||||||||||||
и (2.50) в (2.48) бесконечную систему алгебраических |
уравнений, |
||||||||||||
аналогичную |
(2.29): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1—м |
У—М, |
—М |
••• У — М,0 |
••• |
У — |
M.N |
|
м |
|
||||
и0 |
У0, |
—М |
••• |
^ 0 , 0 |
|
••• |
УО, |
N |
X |
Un |
, |
(2.51) |
|
IN |
Уы,—м |
|
... |
У.м.о |
|
... |
Уы.ы |
|
|
|
|
||
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
УТ, |
» = |
/ « m C m _ n |
+ |
6 m , „ У (coj. |
|
|
|
(2.52) |
||||
Систему |
уравнений (2.51) |
молшо |
затем |
записать |
символически |
||||||||
|
|
л |
= |
{[У6] + |
1Ус]} |
т;- |
|
|
|
|
(2.53) |
||
где в соответствии с |
(2.52) |
прямоугольная матрица |
[У"в] |
учитывает |
появление в контуре проводимости У (со) с постоянными во времени параметрами, внешней по отношению к переменной емкости:
|
... |
0 |
... |
0 |
(2.54) |
0 |
... |
Г(со0 ) |
... |
0 |
|
0 |
... |
0 |
... |
|
|
а матрица [Ус] состоит исключительно из элементов
(2.55)
и описывает переменную емкость.
2 Зак. 1235 |
33 |
Электрический аналог [26] уравнения (2.51) показан на рис. 2.8, где схема с одной парой независимых узлов и переменной емкостью (рис. 2.7) представлена в виде многоузловой схемы с постоянными па раметрами. Между каждой из пар узлов действует напряжение с дру гой частотой <вп, а параметрическая связь между ними обусловлена элементом с переменной емкостью. Действие этой связи аналогично действию нескольких генераторов тока, величина которого зависит от напряжений, возникающих на отдельных узлах.
со-м км
1ЖУ Y(w-^ 1
сон |
| Цн |
|
Ь1(0\ У(ш„) 1 |
L . |
|
Р и с 2.8. Электрическая |
цепь, |
иллюстрирующая физический смысл системы урав |
|
|
нений (2.51). |
Бесконечная система уравнений (2.51), как и ранее рассмотренная система (2.29), в общем неразрешима. Условия, при которых реальные фильтры можно рассматривать как идеальные, теперь имеют вид
I У К ) |
| Ф |
°° |
(2.56) |
при |
|
|
(2.57) |
п |
ел, |
|
|
а также |
|
|
(2.58 |
| Y (со„) / « |
со |
||
при |
|
|
|
пев, |
|
(2.59) |
34
где множества А и В определены точно так же, как в (2.35) |
и (2.37), |
и означают априорное ограничение решения в конечном виде: |
|
f.(0 = 2Re 2 / » е / в " ' |
(2.60) |
пел |
|
Это равнозначно предположению, что в количество независимых пар узлов на рис. 2.8 ограничивается числом, вытекающим из множества А. Все остальные пары узлов, для которых закон Кирхгофа для токов теряет свой смысл, становятся закороченными, а соответствующие уравнения системы (2.51) перестают быть справедливыми.
При допущениях (2.56)—(2.59) система уравнений (2.51) сводит
ся к конечному |
виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
-Л( |
У. • м, —м |
м, о |
Y- |
М, |
N |
|
м |
|
|
/ о |
Yo. |
• м |
Уо> о |
Yo, |
|
|
X |
и0 |
(2.61) |
|
|
|
|
||||||
IN А |
YN, |
_м |
Ум. |
Ум, |
N |
J |
|
UN |
\ |
и ее решение символически можно записать следующим образом: |
|||||||||
|
|
Я = |
{ [ Щ * + |
[УХ} |
|
U], |
|
|
(2.62) |
где индекс и означает, что приведение бесконечной |
матрицы [У с ] к ко |
нечному виду имеет место при коротком замыкании на нелинейной ем кости источников напряжений с частотами со„ с помощью внешней фильтрующей цепи Y(w) согласно (2.58). Выражение [Yc]u поэтому можно назвать «усеченной» матрицей проводимости для нелинейной емкости в случае короткого замыкания.
Исключая постоянные во времени внешние элементы, т. е. вычи
тая из |
отдельных |
уравнений |
(2.61) |
протекающие |
через F(co) |
токи |
и вводя |
в них амплитуды тока / с п , |
действующего |
на зажимах |
самой |
||
емкости |
(рис. 2.8), |
получаем |
|
|
|
|
|
|
Id |
= lYJuUl |
|
(2.63) |
Это уравнение однозначно описывает поведение линейной перио дически меняющейся емкости в стационарном режиме при условии, что она взаимодействует с внешней цепью, ограничивающей появление составляющих напряжения в соответствии с уравнением (2.60).
А далее, если использовать обратную величину матрицы • [Yc]u, неизвестные комплексные амплитуды напряжения на емкости можно обозначить как
U] = [Ус]йЧа] = [ZC]JC], (2.64)
где [Zc]u можно назвать «усеченной» матрицей импедансов переменной емкости для короткого замыкания.
В дальнейших рассуждениях будут использованы «усеченные»
матрицы иммитансов [Zs]u |
[Ys]u \У J u и, t Z j u . Однако следует помнить, |
что пользоваться этими |
матрицами можно лишь при рассмотрении |
2* |
35 |
селективных цепей, в которых размыкаются токи соответствующих частот, протекающие через нелинейную емкость, либо замыкаются напряжения соответствующих частот, действующие на нелинейной ем кости. Однако на практике паразитные элементы СВЧ корпуса, в ко тором помещен р-п переход, а также потери в материале самого перехо да приводят к тому, что идеализированные условия (2.36), (2.37), (2.58), (2.59) могут быть, самое большее, выполнены в некотором прибли жении.
Поэтому интересно и с практической точки зрения обоснованно обсудить другие методы решения уравнений (2.21) или (2.48), не тре бующих обязательного выполнения упомянутых идеализированных условий. Одним из них является метод возмущений, предложенный впервые без теоретического обоснования и примененный С. А. Щелкуновым для анализа волновых уравнений в средах с переменными в про странстве параметрами, приспособленный Заде 180] для анализа функ ции передачи четырехполюсника с переменными во времени парамет рами и развитый для произвольной параметрической цепи Ленковским 128, 46, 47]. Благодаря работам Квапиша [44] этот метод получил соответствующее математическое обоснование.
Для выяснения способа применения метода возмущений для ре шения обоих параметрических уравнений (2.21) и (2.48) приведем эти уравнения к одинаковому виду с помощью символической записи
L (х) = у, |
(2.65) |
где х — неизвестная функция времени (ток или напряжение), а у —
известное возбуждение (э. д. с. |
или отдача по току источника сигнала): |
||||
Символ |
L означает линейный |
интегро-дифференциальный |
оператор |
||
с переменными коэффициентами, который подчиняет току is |
(t), |
про |
|||
текающему в цепи рис. 2.4, напряжение us (t) на ее клеммах |
согласно |
||||
уравнению (2.21), либо напряжению us (t), действующему |
в |
цепи |
|||
рис. 2.6, |
ток is (t), втекающий в эту цепь согласно уравнению (2.48). |
||||
Идея метода возмущений состоит в отыскании решения уравнения |
|||||
(2.65) в |
виде ряда |
|
|
|
|
|
X |
= S |
A V |
|
(2.66) |
|
|
ц = 0 |
|
|
|
Нулевой член этого ряда находится из уравнения (2.65), в кото |
|||||
ром оператор L заменяется оператором L с усредненными коэффи |
|||||
циентами |
|
|
|
(2.67) |
|
|
L |
(х0) = |
у, |
|
а все остальные составляющие определяются из рекурентного урав нения также с постоянными коэффициентами:
L % = — ( L — Е ) * ц _ 1 = |
(2.68) |
Условием сходимости итерационного процесса является выполне |
|
ние неравенства |
|
r = | | L - 1 ( L - I ) | | < l , |
(2.69) |
36
причем скорость сходимости" ряда (2.66) для решения х не меньше, чем скорость сходимости геометрической прогрессии с знаменателем г (2.69) [42]. Оператор L - 1 есть величина, обратная оператору L с усредненными коэффициентами.
Отдельным этапам метода возмущений можно приписать некоторое физическое толкование [28]. Электрическая цепь с переменными во времени параметрами заменяется схемой с постоянными, усредненны ми параметрами. Фактически наблюдаемые изменения параметров учи тываются введением на каждом из очередных этапов итерации неко торых дополнительных источников у^, которые рассчитываются на ос нове уже известного решения i^—i предыдущего этапа.
При анализе и расчете параметрических систем с помощью мате матических вычислительных машин [1,48—54,18] особенно пригоден метод, заключающийся в преобразовании уравнений (2.21) и (2-48) в дифференциальные уравнения. Нормируя частоту относительно ча стоты накачки таким способом, чтобы
s k * ) = 2 S » e / V " ' |
< 2 J 0 ) |
П— —со
а также
П = — оо
легко видеть, что преобразование Фурье уравнения (2.21) сразу же приводит к дифференциальному уравнению
У |
., S n |
. 7(co - tt) + Z(co)/(co)=(7(co). |
(2.72) |
После выполнения такого же преобразования уравнение (2.48) |
|||
принимает вид |
|
|
|
ОО |
|
|
|
/со 2 |
CnU |
(со — п) + У (со)U (со) = / ( © ) . |
(2.73) |
Л = — |
ОО |
|
|
На практике для упрощения анализа неоднократно предполагают, что ряд Фурье для переменного эластанса либо емкости (2.70) и (2.71) конечный и тогда дифференциальные уравнения (2.72) и (2.79) имеют конечный порядок.
Для случая косинусоидально изменяющейся емкости Леон и Ан дерсон [54], а также Дезоер [18] приводят математические методы,
позволяющие решить |
дифференциальное уравнение (2.73) для |
п = |
|||
= ± 1 |
с произвольной |
точностью и оценить совершаемую при |
этом |
||
ошибку без предположения идеальной селективности |
цепи |
Y (со) |
|||
(рис. |
2.7). |
|
|
|
|
Метод анализа |
Леона и Андерсона основывается на введении пря |
||||
мых аналитических |
выражений для коэффициентов 1П в (2.60) (с бес- |
||||
1 J |
Норму оператора |
L определяем [56] как || L II = sup |
1|£(дс)1|. |
|
37
конечными пределами суммирования) в виде бесконечных цепных дробей, которые относительно просто можно аппроксимировать ко нечными выражениями с одновременной оценкой совершаемой при этом ошибки. Дезоер разработал итерационный метод решения урав нения (2.75) для я = ± 1 , в котором использовал аналогию математи ческого вида выражений для коэффициентов / п в (2.60) с видом выра жений для токов, протекающих в последовательно соединенных ячей ках некоторой бесконечной лестничной цепи, причем импедансы ячеек остаются в определенной связи с импедансом анализируемой парамет рической системы. Метод, разработанный на основе этой аналогии и вытекающих из нее физических предпосылок, дает возможность заменить бесконечную лестничную цепь конечной, состоящей из 2N + + 1 ячеек, где число ячеек тем больше, чем больше требуемая точ ность расчета произвольного / п - го коэффициента в уравнении (2.60). Характерными чертами обсуждаемого метода являются расчет экви валентного импеданса отброшенного бесконечного числа ячеек, а затем проведение стандартного анализа конечной лестничной цепи, который заканчивается вычислением импедансов. В результате этого анализа определяются токи ячеек, тесно связанные с комплексными амплиту дами /п (со) уравнения (2.60). К сожалению, расчеты при использо вании этого метода достаточно сложны, и, как правило, проводятся лишь с помощью цифровой вычислительной машины.
Из-за существенного ограничения обоих рассмотренных методов идеально косинусоидальным характером изменения емкости (недо стижимым для реальных полупроводниковых элементов с накачкой) эти методы, хотя и ценные с точки зрения общепознавательного вклада в сущность анализа линейных параметрических систем, к Со жалению, полностью не решают поставленную задачу с инженерной точки зрения. Поэтому в дальнейшем в основу анализа положим метод усеченных матриц иммитанса, принимая в зависимости от аналзируемой схемы идеализированные условия (2.36)—(2.37) или (2.58)—(2.59). Важно еще добавить, что до сих пор все рассмотренные методы основы вались на некоторых идеализированных предположениях относительно реально рассматриваемой системы. Насколько известно автору, пока еще нет работ, в которых бы сравнивались различные методы анализа с точки зрения наилучшего приближения выбранной модели к реаль ной системе1 1 . Напомним еще раз, что метод усеченных матриц проводимостей позволяет выбрать произвольный периодический закон изме нения дифференциальной емкости или эластанса и предполагает, что идеальные частотные фильтры ограничивают выделение мощности в системе-лишь на нескольких частотах. При использовании метода возмущений и метода дифференциальных уравнений (в обоих его ва риантах) необязательно предполагать селективность фильтров идеаль ной, в то же время требуется предполагать косинусоидальный (или си нусоидальный) характер изменения величины параметрического эле мента идеальным.
г ) К моменту издания книги на русском языке такие работы также неиз вестны. {Прим. -ред.)
38
2.2.ХАРАКТЕРИСТИКИ р-п ПЕРЕХОДА В УСЛОВИЯХ
ВОЗДЕЙСТВИЯ НАКАЧКИ [27]
Как уже упоминалось, усиление либо преобразование частоты в диодных параметрических системах происходит в результате изме нения емкости запертого р-п перехода, управляемого (накачиваемого) большой вспомогательной СВЧ мощностью. Специфике р-п переходов, используемых в варакторных диодах, посвящен ряд польских работ [2, 27, 40]. Применительно к «линейному этапу» представленной в § 2.1 теории параметрических систем займемся сейчас упрощенными метода ми отыскания характера функции s(a>J) дифференциального эластан-
са р-п перехода, а также нахождением коэффициентов Sn |
разложения |
|
в ряд Фурье (2.23) |
этой функции за период Тн = 2я/ю„ |
напряжения |
или тока накачки. |
|
|
2.2.1.СТАТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ р-п П Е Р Е Х О Д А
Типичный р-п переход, смещенный в обратном направлении и на качиваемый большим СВЧ сигналом, можно представить [21] с по мощью последовательно1 ' соединенных линейного сопротивления Rs и нелинейной емкости С п (рис. 2.1), которая является функцией на пряжения накачки. Изменения С п зависят от ширины потенциального барьера, который соответственно увеличивается или уменьшается в за висимости от того, растет или убывает напряжение смещения (в не проводящем направлении) на переходе.
Специфика параметрических систем (2.12), (2.20), (2.21) создает необходимость пользоваться понятием так называемого динамичес кого эластанса2 ' перехода [32, 77]:
s (и) = -%-, |
(2.74) |
dq |
|
где dq означает приращение заряда, вызванное приращением напря
жения |
да |
на |
переходе. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя формулу, выведенную Шокли [68] для р-п перехода, |
||||||||||||
получим |
следующую |
общую |
нелинейную зависимость |
для —Ф |
< |
|||||||
|
'пр- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s (и) = |
s (0) 1 + |
и |
|
|
(2.75) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
ф |
|
|
|
|
|
где s (0) — s (и — 0), |
Ф — контактная |
разность потенциалов; |
у — |
|||||||||
показатель степени, зависящий от типа |
р-п перехода; |
и — внешнее- |
||||||||||
напряжение, |
приложенное |
к переходу |
и рассматриваемое как |
поло- |
||||||||
1 1 |
Следует |
заметить |
(§ 2.1), что наличие |
линейного, не зависящего |
от |
час |
||||||
тоты сопротивления перехода Rs, |
соединенного |
последовательно |
с нелинейной |
|||||||||
емкостью |
С п ( и ) , |
предполагает |
целесообразность |
выбора |
последовательных, |
так |
||||||
называемых «ячеечных» методов анализа С В Ч диодных |
параметрических |
систем |
||||||||||
[26, 33, |
62]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2> |
Также называемого дифференциальным |
эластансом. |
|
|
|
39