книги из ГПНТБ / Лавренко, В. А. Рекомбинация атомов водорода на поверхностях твердых тел
.pdfпрохождении газа над платинированным асбестом и через раска ленную медную трубку, в других — через палладиевый капилляр . При использовании водорода без дополнительной очистки (~99,9% Н2 ) получали данные, приводящие к значениям коэффициентов ре
комбинации, совпадающим с таковыми в случае указанной |
очистки |
(в пределах ошибки опыта). Атомы водорода создавались в |
разряд |
ной трубке в плазме высокочастотного разряда, осуществляемого при помощи генератора, работающего на частоте 7,5 мггц и имеющего максимальный уровень выходной мощности 120 вт. Индуктор генератора в виде медной трубки диаметром 4 мм охватывает верх нюю часть вертикальной кварцевой трубки. Количество атомов, генерируемых в разряде, можно было изменять плавной регулиров кой выходной мощности высокочастотного генератора.
Исследуемый образец, имеющий вид круглой пластинки диа метром 8 мм и толщиной 0,1—0,2 мм, помещали на специальной арматуре в конце диффузионной трубки. Температуру образца изме ряли прикрепленной к нему хромель-алюмелевой термопарой. Последнюю периодически градуировали по эталонам [221] и образ цовому платиновому термометру сопротивления. Точность измере ния температуры образца составляла ± 0 , 2 ° С. В установке пре дусмотрена возможность перемещения образца на различные фикси руемые расстояния до разрядной трубки. При этом «подвижную пробу» укрепляли вместе с ферритом, и передвижение ее осуществ ляли электромагнитом, который концентрически охватывает на ружную кварцевую трубку.
При измерении температуры дополнительная погрешность воз никает за счет нагрева поверхности боковой трубки, и, следователь но, изменения коэффициента рекомбинации на ее стенках вблизи концевой пробы. Д л я устранения этого нежелательного эффекта в большинстве опытов на боковую трубку в месте расположения концевой пробы надевали водяную охлаждающую рубашку.
Потенциометром |
Р-307 |
при |
использовании |
гальванометра |
|||
М 195/3 измеряли термо- э. д. с. термопары, возникающую |
в резуль |
||||||
тате разогрева пробы-катализатора. При этом |
измеряли |
величину |
|||||
Тс = AT, представляющую |
разность температур горячего |
и холод |
|||||
ного спая |
термопары. |
Измерения |
проводили после |
стационарного |
|||
разогрева, |
что достигалось |
в течение 3—5 мин |
после размещения |
образца на определенном расстоянии хс до источника атомов, кото рое устанавливалось с точностью ± 0 , 3 мм.
Постоянство концентрации атомов в «нулевом сечении» (х( = 0) контролировали с помощью тонкой золотой пластинки — контроль ной пробы, к которой также приваривали тщательно отградуиро ванную хромель-алюмелевую термопару диаметром 0,1 мм. Термо- э. д. с. была одинаковой ± 0 , 2 ° С.
Давление измеряли вакуумметром ВТ-2, для которого Хавкин [222] получил соответствующие градуировочные кривые и перевод ные коэффициенты (по манометру Мак-Леода), позволяющие ис пользовать прибор для измерения давления водорода. Степень
атомизации газа на входе в реакционную трубку определяли при
решении трехпараметрической задачи (7.1—7.8); она |
составляла |
||||||||||||||||
~15—20%. Во всех случаях соблюдалось условие диффузии к |
<£2R |
||||||||||||||||
(к — длина свободного |
пробега |
атома |
газа; R — радиус |
реакцион |
|||||||||||||
ной трубки). При этом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
% = |
-f^-, |
|
|
|
|
(7.11) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У 2 яоа р |
|
|
|
|
|
||
где |
k — постоянная |
Больцмаиа; |
Т — температура |
газа; |
|
а — |
|||||||||||
2,7 • Ю - 8 |
см — сечение столкновения |
атом — молекула для водоро |
|||||||||||||||
да; |
р — давление |
газа, |
дн |
• |
|
смГ2- |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
При давлении |
р = |
1 мм |
pm. ст. |
и температуре |
Т = |
|
300° |
К |
||||||||
к = 0,0096 см; при р = |
0,2 мм и Т = |
300° К к = 0,048 см. При 2R |
= |
||||||||||||||
= |
1 см длина |
свободного |
пробега |
приблизительно в 25 раз меньше |
|||||||||||||
диаметра |
трубки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Значение |
коэффициента |
диффузии, необходимого |
для |
расчета |
||||||||||||
коэффициента рекомбинации у исходя из определяемых |
значений |
||||||||||||||||
параметра |
А, |
рассчитывали |
по формуле [223] |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
g |
_ |
2[ГЗ(М1 + |
М,)/2М 1 М 2 ] 1 /' |
|
|
|
( 7 1 2 ) |
||||||
где Mj и М 2 — молекулярный |
вес атомов и молекул газа |
соответст |
|||||||||||||||
венно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Всю кварцевую систему предварительно многократно промыва |
||||||||||||||||
ли |
концентрированной |
азотной |
кислотой, дистиллированной |
водой |
|||||||||||||
и насыщенным раствором буры N a 2 B 4 0 7 для отравления |
системы и |
||||||||||||||||
уменьшения |
вероятности гибели атомов на кварцевых |
стенках. |
|||||||||||||||
|
Исходя из измеренных значений Tt = / (хс) на ЭВМ осуществля |
||||||||||||||||
ли поиск истинных значений трех параметров — а, А и К, |
отвечаю |
||||||||||||||||
щих минимальному |
|
значению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
А = |
2 б?, |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
І=І |
- |
|
|
|
|
|
™ e |
|
|
|
|
|
|
б, |
= |
|
ТІ |
|
|
|
|
(7.13) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т ІХІ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Разработанную методику проиллюстрируем конкретными |
экспе |
|||||||||||||||
риментами, в частности приведем данные экспериментов, |
преследую |
щих цель выяснить влияние изменения истинной поверхности об разца на скорость процесса рекомбинации атомов водорода. Взяты два одинаковых образца бездислокационного монокристалла гер
мания (р = |
28,4 ом • см) с выведенной на поверхность кристалло |
||
графической |
плоскостью |
(100) и отполированы в химическом трави- |
|
теле. Один, |
из образцов |
подвергали механическому |
шлифованию, |
и его истинная поверхность увеличилась примерно на |
два порядка |
||
[224]. |
|
|
|
Опыты проводили при комнатной температуре и давлении 0,2 мм Hg, та к что диффузионное условие к <^ 2R выполнялось (к да да 0,05 см, R — 0,5 см).
6 |
2—2052 |
81 |
Значения Т? при различной обработке поверхности (шлифова нии, полировании) приведены в табл. 4.
Результаты расчета по соответствующим данным (табл. 4) та
ковы: |
у0 |
= 1,4 |
• |
Ю - 5 , |
7ии:„ф |
= |
(2,4 ± |
0,7) |
• 1 0 - 2 , |
уПОЛ11р |
= |
= (1,29 |
+ |
0,24) |
• |
Ю - 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
4 |
|
|
|
|
0 |
і |
|
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
Шлифование |
22,5 |
19,0 |
16,8 |
15,2 |
13,2 |
10,5 |
9,5 |
9,0 |
8,2 |
||
Полирование |
21,2 |
18,5 |
17,2 |
16,5 |
15,0 |
13,8 |
13,2 |
12,8 |
12,2 |
Относительно небольшое увеличение у при шлифовании моно кристалла объясняется, по-видимому, тем, что число соударений атомов с поверхностью образца не зависит от степени его шерохо ватости, если А. превышает характерный размер последней. Наличие шероховатости мало влияет также на среднее значение угла встре чи налетающего атома с поверхностью. В таком случае наблюдаемые изменения у можно приписать только влиянию дислокаций на по верхности шлифованного образца. Роль дислокаций изучалась спе циально (см. главу IV) .
§ 8. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОВОГО БАЛАНСА ОБРАЗЦА-ПРОБЫ С ТЕРМОПАРНЫМ ДАТЧИКОМ В ГАЗОВОЙ СРЕДЕ *
При изучении гетерогенной рекомбинации атомов и в других фи зических и химических процессах выделение тепла обычно опре деляют термопарными датчиками, помещенными в однородную среду. Измеряемой величиной в эксперименте является температура образца, а величиной, подлежащей определению,— количество
* Обозначения: Q — входящий в образец тепловой поток, дж/сек; t0 — тем пература стенок реакционного объема, °К; Т0 — превышение температуры образ ца над t0, град; R, р, г0— радиусы трубки, образца и цилиндра-моделн термопа ры соответственно, см; d — толщина образца, см; х — продольная координата
(0 |
в точке расположения образца); г—радиальная |
координата; |
Д = |
-~' |
8 = |
||||||||
= |
т) = p/R; X, |
А и А* — коэффициенты теплопроводности |
среды, |
матерна- |
|||||||||
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ла термопары и образца, дж/см |
• сек • град; |
t (х, г) —температурное поле в реак |
|||||||||||
ционном |
объеме: t = tx (х, |
г) — слева |
от |
образца, |
(х<^0, |
0 < г |
< |
R), |
/ = |
||||
= |
U (х, |
г) — справа |
в среде |
(х |
> 0, / " 0 - О |
=С R), і = |
'з (х< г ) — внутри модели |
||||||
рующего |
термопару |
цилиндра |
(х > 0, |
0 <^ г <І r0); |
а — коэффициент |
излуча- |
|||||||
тельной способности материала; о — универсальная |
постоянная Стефана;- Jn |
(г); |
|||||||||||
Кп |
(г), In (г) — общепринятые обозначения обычной и модифицированных |
цилинд |
рических функций порядка л; у — постоянная Эйлера; G — постоянная Каталаиа.
тепла, выделяющегося |
на нем. Особенно часто такая |
ситуация на |
|
блюдается при |
исследовании гетерогенного катализа, |
когда образец |
|
с укрепленной |
на нем |
термопарой помещают в газообразную среду |
и регистрируют нагрев образца, чтобы вычислить скорость соот ветствующей химической реакции. Если не позаботиться о доста точно выгодной геометрии реакционного объема и самого образца, то задача нахождения связи между температурой датчика Т и количеством тепла Q, сообщаемого образцу, практически неразреши ма. В этих случаях, а нередко и в случаях простой геометрии мно гие авторы, например [79, 94], опираясь на предположение о линейной зависимости между Т и Q, применяют такую методику экс перимента, где измеряется несколько различных значений Т( и отношение типа Q£/Q/ заменяется отношением ТУГ;.
В настоящем разделе определена зависимость Q (7) для исполь зуемого на практике и описанного в § 7 метода постановки экспе римента, когда образец в виде диска с прикрепленной к нему тер мопарой расположены коаксиально в цилиндрической трубке, заполненной газом. Установлено, что линейная зависимость между Q и Т часто не реализуется даже при не слишком высоких темпера турах. Сам факт нахождения функции Q (Т) позволяет в некоторых случаях определять константы скорости экзотермических химичес ких реакций на основе достаточно простой методики. Здесь удается получать значения абсолютной скорости реакции без дополнитель ных измерений, что недоступно для методов, в которых приходится прибегать к обработке экспериментальных данных с помощью отно шения температур.
Д л я решения поставленной задачи была принята определенная модель. В этой модели были введены следующие допущения.
1. Трубка, в которую помещен образец, имеет бесконечную дли ну. Случаю неограниченного пространства отвечает бесконечный радиус трубки.
2. |
Образец — диск с нулевой |
толщиной, термопара—однород |
||
ный |
круговой цилиндр, расположенный вдоль |
оси трубки |
справа |
|
от образца впритык к нему. |
|
|
|
|
3. |
Температура стенок трубки, |
ее бесконечно |
удаленных |
торцов |
и бесконечно удаленного вправо конца термопары одинаковы, что достигается за счет принудительного охлаждения.
4. Температура всей поверхности образца |
и, следовательно, |
левого присоединенного к образцу конца (спая) |
термопары одна и |
та же . |
|
5.Членами порядка г0/р пренебрегаем всюду, кроме тех случаев, когда при них стоит множитель порядка А/К, который может быть большим.
6.Поток тепла, входящий в термопару — цилиндр и выходящий
из нее за счет излучения, не принимаем во внимание. Последнее в значительной степени оправдывается быстрым убыванием темпера туры термопары по мере удаления ее от образца и самим поправоч ным характером излучения при не слишком высоких температурах,
6* |
83' |
с одной |
стороны, |
и |
теплового потока, |
уходящего |
по |
термопа |
||||
ре,— с другой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7. Конвективным теплообменом пренебрегаем. Однако свобод |
||||||||||
ную |
конвекцию можно учесть с помощью «кажущегося |
эквивалент |
||||||||
ного |
коэффициента |
|
теплопроводности» |
Ks |
[225, 226], |
но |
при |
|||
R~ |
1 см и давлениях, характерных для разряженных |
газов, значе |
||||||||
ния |
критериев Прандтля и Грасгофа таковы, |
что все способы |
учета |
|||||||
конвекции |
дают |
Я,5 |
« |
А,. |
|
|
|
|
|
|
Допущение 4 |
предполагает бесконечной |
теплопроводность |
ма |
териала образца. Покажем, что она хорошо выполняется в доста точно широком диапазоне реальных условий эксперимента. Д л я этого решим приближенно задачу о распределении температуры •внутри диска конечной толщины (d/p 1) в безграничной среде без
•учета |
излучения. Д л я простоты полагаем, что образец нагревается |
||||||
|
|
|
|
|
. * |
dt (х, г)' |
|
за счет генерации тепла в своем среднем сечении — Л* —дх^ 7 - L *=9 |
= |
||||||
= |
q = |
Q/яр2 , |
и температура |
образца описывается |
функцией |
|
|
t(x, |
г) |
= 7 |
0 ( l |
+ e - £ . ) ( l - e J L ) ; 0 < Г < р , |
А |
, |
|
где |
Т0, |
0, |
е — вариационные |
параметры. |
|
|
Температурное поле в среде определяют известным методом решения [211] дуальных интегральных уравнений с функциями
Бесселя при таких |
|
приближенных |
граничных |
условиях |
|
||||||||||
t ± ( 4 + О ) - г = 7 0 |
( і + Є ^ |
г |
) ( і + |
Є |
^ |
г ) , |
|
|
0 < г < р |
||||||
|
|
|
|
|
|
9і |
IV |
г |
|
2р |
|
|
|
||
|
dt(x, |
г) |
|
|
|
О, t(x, |
оо) = |
|
t{±oo, |
г) |
= |
0. |
|||
|
дх |
|
AT=±d/2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
'OP |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
результате |
несложных преобразований |
приходим |
к следую |
|||||||||||
щим |
соотношениям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й ' JL_ |
Х р |
' |
Р — |
4 |
х |
' |
|
т - |
Q |
• |
іл п |
|||
|
|
Зя |
|
A*d |
|
я |
Л* |
|
1 |
о ~ |
Щ |
( ° А ) |
Из (8.1) видно, что для большинства практических случаев ве личины 0 и є малы, т. е. Т0 (х, г) » const. Неучтенное здесь излу чение еще более выравнивает температуру образца, а помещение его в трубку, очевидно, сначала уменьшает 0 и лишь при ц, близких к 1, делает 0 отрицательным, ввиду всего этого с достаточно высокой точностью можно считать допущение 4 справедливым.
Краевые условия задачи имеют вид
ti (0, |
г) |
= |
t2 (0, |
г) = |
Го, |
0 < г < р |
| |
||
t3(0, |
г) |
= |
Т0, |
|
|
|
0 < / - < / - „ |
(8.2) |
|
iy{x, |
R) |
= |
t2 |
(— |
х, |
R), |
— o o < % < o j |
||
|
1,(0, |
|
r) |
= |
ta(0, |
г), |
0 < г < Я |
(8.3) |
|
к(x, |
r0) |
= |
ts(x, |
r 0 ), |
|
0 < x < |
со |
|
(8.5) |
|
|
Я 1 Г = Л ^ Г ' |
r = = r < » |
° < * < ° ° - |
|
(8 -6) |
||||||
Кроме того, выполняется уравнение теплового баланса |
|
||||||||||
Q = 2 я | rdrX |
|
_ |
2 я | |
rdrl |
'> |
_ |
|
||||
|
о |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
Га |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ 2л |
f rdrA |
д'я{£ |
г ) |
+ я |
(2р2 |
- r t ) |
aa |
[(Т0 |
+ д * - |
і40]. |
(8.7) |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Составляющая |
входящего |
в образец |
теплового |
потока |
aatt |
||||||
обусловлена |
излучением |
окружающих |
образец |
тел (стенок, |
если |
||||||
они абсолютно непрозрачные). |
|
|
|
|
|
|
|
Точное решение смешанной краевой задачи получить затрудни тельно/поэтому мы воспользуемся вариационным методом. Нужно
искать минимум |
функционала |
|
|
|
|
|
|
|||
Н |
0 |
|
|
|
|
ROO |
|
|
|
|
° - М П Ф ) , + ( * Л ^ + * Ш * № ) |
|
rdrdx + |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
О —оо |
|
|
|
|
г„ О |
|
|
|
||
|
|
|
|
о о |
|
|
|
|
|
|
где функция |
/ (х, г) обязана удовлетворять главным краевым усло |
|||||||||
виям (8.2, 8.3, |
8.5) |
(условия |
(8.4, 8.6) |
— естественные). |
Прежде |
|||||
всего сформулируем вспомогательную краевую задачу |
с |
условия |
||||||||
ми (8.2, |
8.3, |
8.5, |
8.6) |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
h (0, г) = t2 (0, г) = |
f (г). |
р < г < R, |
|
|
(8.8) |
|||
причем |
/ (г) |
временно считаем известной ограниченной диффе |
||||||||
ренцируемой функцией, подчиняющейся |
соотношениям |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
/(р) = |
Г 0 , |
f(R) |
= 0. |
|
|
(8.9) |
Класс функций / (г) содержит |
истинную функцию |
t (0,. г) |
(при |
|||||||
р -< г -< R), |
отвечающую точному решению основной задачи |
(8.2— |
||||||||
8.6). Задавая |
/ (г) в явном виде с помощью некоторого |
числа |
пара |
метров и выбирая в качестве пробных функций, входящих в функ
ционал Ф, решения вспомогательной краевой |
задачи (8.2, 8.3, 8.5, |
||||
8.6, 8.8, 8.9), |
можно выразить |
функционал |
Ф |
через параметры, |
|
определяющие |
/ (г), и найти экстремум |
Ф. Такая |
косвенная-реали- |
||
зация прямого |
вариационного |
метода |
будет |
использована нами. |
Пробные функции і (х, г) удовлетворяют |
уравнению Лапласа |
5 U + £ + ^ = 0 , |
, 8 , 0 ) |
что позволяет в результате некоторых преобразований с учетом краевых условий вспомогательной задачи переписать функционал в виде
Ф = фі(0, |
r ) ^ l r d r ~ X ^ t 2 ( 0 , |
r ) ^ ± r d r - |
||
0 |
Го |
r0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
- А р 3 ( 0 , г) |
г ) |
rdr. |
(8.11) |
|
6 |
|
|
_ |
Если предположить, что в (8.11) входит точная функция t |
(х, г) и |
вспомнить принятые ранее допущения, из сравнения (8.11) с |
(8.7) по |
|||
лучаем |
|
|
|
|
Q (Т0) = |
Ф + 2 я р 2 а а [(Г„ + t0f |
- ( 8 . |
1 |
2 ) |
Метод направлен |
на приближенный расчет |
функционала |
Ф, |
который является единственной неизвестной величиной в уравнении
теплового баланса (8.12). |
|
|
Рассмотрим |
решение вспомогательной |
краевой задачи. Дл я |
температурного |
поля слева решение задачи |
Дирихле (tt (х, г)) при |
х < 0 |
|
|
|
|
|
r ) = I ^ W ^ ^ - j e ^ , |
|
(8.13) |
||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д„ = — |
|
4 м |
J - i - ' - M * - |
|
|
|||
|
|
|
|
|
( 8 Л 4 ) |
||||
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
Общий вид решения |
t2 |
(х, г) |
|
|
|
|
|||
|
со |
|
|
|
л: |
со |
|
|
|
/2 (х, г) = |
£ |
bnJ0 |
L |
n |
- U е - " 4 " * + |
\ В (р) |
sin pxdp |
||
|
L |
(p, r) = /(„ {pr) /„ (pR) - |
K0 (pR) /„ (pr). |
|
(8.15) |
||||
Считывая |
допущение |
5, получаем |
для bn соотношение |
(8.14), |
|||||
так как а„ да Ьп. В точке г = г0 |
имеем |
|
|
|
|||||
U (л-, r 0 ) |
= |
J] Ъп е |
"Л + |
Г Б (р) sin pxdp, |
|
(8.16) |
|||
|
|
|
п=1 |
|
0 |
|
|
|
|
- ? g ( p ) p s i n p x ^ / О ( Р * ) + К , ( Р * ) М Р О |
Ф . |
( 8 1 7 ) |
|||||||
дг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача распределения тепла внутри термопары, если временно до
пустить, |
что |
t2 |
(х, |
г0) |
известно, |
представляет |
задачу |
Дирихле. |
||||||||||||
Ее решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
оо |
27V„ |
|i„ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
is (х, |
г) = |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
\c(k)p№{smkxdk, |
|
|
(8.18) |
||||||
где |
|
п—1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
(х> ro) = |
|' С (£) sin |
kxdk |
|
|
|
|
|
|||||||
Запишем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
(*. г0) |
|
^Ъ^ПГ° |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
dr |
|
|
|
+ \ |
с ^ |
' |
т Ж |
) к |
5 { п Ш |
к - |
|
( 8 Л 9 ) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
п=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Сравнивая |
(8.18) |
с |
(8.16) |
и |
(8.19) |
с (8.17) при учете (8.5, 8.6), |
||||||||||||||
приходим |
к |
системе |
уравнений |
для |
определения |
В (р) |
и |
С (k): |
||||||||||||
|
|
|
С (р) = |
В (р) + |
2р |
2 ап1 (р2 |
+ |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л=1 |
|
|
|
|
|
4Г„Л |
|
|||
W |
(р) [К, (рг0) |
/„ (pR) |
+ |
К0 (pR) U (р, |
г„)1 L - i (р, |
г0 ) = |
х |
|||||||||||||
|
|
Х |
I |
|
р * |
. [2-2 |
|
~ |
Л С (р) Л (рг0)/10 |
(рг0). |
|
|
(8.20) |
|||||||
Используя разложение Фурье — Бесселя |
[211], решение |
(8.20) |
мож |
|||||||||||||||||
но представить |
в |
виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
В(Р) = |
|
^ Л М р ^ / о - ' |
(рг 0 )Х |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
j- f - |
«fr [/Сі 0>r) + |
K0 |
(PR) |
/, |
(pr) /Q-1 |
(PR)] |
|
|
|
||||||||
Ь [К, (pr0) /„ (PR) + |
K0 |
(PR) /, (pr„)] I - |
' |
(P. г0) + |
Л/, (pr0) /J"1 (pr0) |
|||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.21) |
|
Решение |
вспомогательной |
краевой |
задачи |
можно |
считать |
закон |
||||||||||||||
ченным. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставим теперь найденную функцию t {х, г) в функционал |
||||||||||||||||||||
(8.11) |
и после громоздких |
преобразований |
с привлечением |
Д |
при |
|||||||||||||||
ходим |
к окончательному выражению |
для |
функционала |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
* |
? і |
- і |
... ^j і |
|
J, |
|ц „ |
|
rdr+ |
|
|
|
-p
+ 4 " J I х " |
^0 (k-o) + Л - |
(kr0) |
/„ (kr0) / Г 1 ( A r 0 ) l - 1 dk |
х |
X j |
- | - IK, (fe") + |
Ко (kR) |
Iг (kr) IT1 №)} rdr\ . |
(8.22) |
С помощью предельного перехода в (8.22) при R —у оо функцио нал для неограниченной области запишется
|
|
|
|
со |
г 0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф = 2К ^dk |
|
|
^JLj^krjrdr |
|
|
|||
|
|
+ |
Ь-'Ко |
|
|
|
|
/ 0 |
(£г0 ) / Г ' (Лго) |
—і |
|
|
|
(kro) + |
|
|
(К) |
X |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
X |
|
|
|
|
dk. |
|
|
(8.23) |
Коротко |
остановимся |
на технике |
|
расчета |
функционалов |
(8.22, |
|||||
8.23). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
R < |
оо. Вводим |
безразмерные |
переменные у = ~ , ц |
= |
||||||
= |
-^г- |
И (і/)- Функцию (.і (у) моделируем |
полиномом |
|
|
||||||
|
|
|
|
Р(У) = |
ау + |
Ьу* + |
с!?ъ |
|
(8.24) |
||
причем |
согласно (8.9) |
между |
а, Ь, |
с |
существует зависимость |
вида |
|||||
|
|
|
- | - (1 — -Л2) -И ^ - (1 — Л4) + |
(1 — -Пв)_= - 1 |
- |
(8-25) |
Функционал (8.22) в новых переменных приближенно можно переписать
I
Ф = 4 / № у ц Г У Г Ы
'+±wrl х
|
оо |
|
|
X |
с |
£ |
У ф , (8.26) |
|
|
2 |
In 2/YP6 J J |
где |
со = |
А6Ч2Х. |
|
Когда со достаточно мало (со < 0,01), влияние термопары незна чительно, единственная характеристика термопары — величина со, так как членом с логарифмом в (8.26) можно пренебречь. Однако даж» в тех случаях, когда это условие выполняется плохо, эффек-
тивность термопары приближенно может быть оценена через со. Ввиду того, что реальная термопара не является однородным ци линдрическим стержнем, это позволяет заменить ее последним и ввести эффективное значение сос р . В частности, когда термопара
состоит |
из двух |
проволочек с |
относительными радиусами |
= |
|||||
= 8j и |
= |
б2 |
и коэффициентами |
теплопроводности А± и Л 2 , |
по |
||||
ступали |
следующим |
образом: |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Ы с Р = |
2І |
' |
= |
1 + |
2 - |
|
Выбранная |
трехчленная форма |
и. (у) |
в виде |
(8.24) допускает точ |
ное вычисление внутренних интегралов, однако существующие таблицы (например, [227]) позволяют получить достаточно точные результаты только в случае численного интегрирования. Благода ря быстрому убыванию внутренних интегралов оказывается доста точным при интегрировании от 0 до оо ограничить верхний предел величиной р = 3 и прибегнуть к численному интегрированию при фиксированных значениях со и б.
Эти расчеты показали, что вклад термопары обычно довольно мал, поэтому при неограниченном пространстве, где относительное влияние термопары должно быть еще меньше, мы сразу прибегли к приближению (конечно, не обязательному) и отбросили первое
слагаемое знаменателя в (8.23), именно которое и порождает |
лога |
||||||||||
рифм |
в |
(8.26). |
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
R'= |
оо . Д л я этого случая |
также |
удобно обратиться к безраз- |
|||||||
мерным |
переменным |
у |
= —, |
|
= |
v |
(у). Функцию |
v (у) |
|||
удобно |
параметризовать |
следующим |
|
образом |
|
||||||
|
|
|
|
у{у) = |
аІуУут-Гї |
+ Ьу-2 + |
су-\ |
(8.27) |
|||
Из (8.9) |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
а - ^ + Ь + - f |
= |
- 1 . |
|
(8.28) |
|||
Такой выбор v (у) должен давать |
особенно |
хорошие результаты |
|||||||||
•при не очень большом влиянии термопары, так как форма |
(8.27, |
||||||||||
8.28) |
при |
г0 |
= О содержит точную |
функцию, когда Ь = с = 0 и |
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
в согласии |
с |
(8.28) а = |
|
— — . Решение |
задачи |
в этом случае |
может |
быть получено точно (см., например, [225]). В общем случае (8.27,
8.28) тоже, по-видимому, дают |
удачную аппроксимацию, косвенным |
||||
свидетельством чего является |
следующий |
факт: |
даже |
при |
а = О |
минимальное значение функционала (8.23) |
при |
г0 = 0 |
отличается |
||
от истинного только на 5%. |
|
|
|
|
|
Отбросив в соответствии со сказанным |
логарифмический |
член, |