книги из ГПНТБ / Мирцхулава, Ц. Е. Надежность гидромелиоративных сооружений

где %— величина, обратная математическому ожиданию и сред­ неквадратическому отклонению случайной величины х, то есть

X

Широкоеприменение экспоненциального распределения отча­ сти объясняется тем, что все расчеты существенно упрощаются.

40

Вероятности

*

/

и др.

Когда эксперйментальные данные зависят от большого числа факторов, они могут быть представлены распределениями, пред­ ложенными Пирсоном (кривые Пирсона).

Приведем сравнительную характеристику некоторых из рас­ смотренных законов распределения. На рисунке 7 показана связь между значением случайной величины, выраженной в долях сред­ неквадратических отклонений, и периодом повторяемости. Из ри­ сунка следует, что для значений случайных величин, не превышаю­ щих 2ах, осе законы распределения характеризуются (примерно одинаковыми периодами повторяемости и не очень существенны­ ми различиями вероятностей небольших отклонений. Но для ве­ личин, достигающих значений 4ох и более, различия оказываются весьма значительными. Поэтому необходимо обязательно выяс­ нить закон распределения, которому подчиняются большие ошиб­ ки. Нормальный закон распределения дает наименьшую вероят­ ность больших отклонений. Большие отклонения следует ожидать при количественной оценке ошибок, полученных на основании экспоненциального распределения, которому при анализе больших погрешностей часто отдается предпочтение.

41

На практике часто встречаются случаи, когда случайные ве­ личины являются функциями других случайных величин. При этом плотность вероятности случайной величины, представляющей сум­ му нескольких случайных величин, может быть представлена ком­ позицией плотности вероятности слагаемых. В теории вероятно­ стей доказывается, что при нормальном распределении каждого слагаемого сумма любого числа слагаемых также имеет нормаль­ ное распределение, а также то, что композиция законов Пуассо­ на опять дает распределение Пуассона.

5.НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВЕДЕНИЯ

ОМЕТОДАХ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ ДАННЫХ НАБЛЮДЕНИИ

(ОЦЕНКА ВОЗМОЖНЫХ ОШИБОК)

При анализе величин, характеризующих процессы, наблюдае­ мые на гидромелиоративных объектах, имеют дело с так назы­ ваемыми выборочными данными. Из обследуемой генеральной статистической совокупности объемом N единиц делают случай­ ную выборку п, которая должна быть представительной (репре­ зентативной) и обеспечивать равновозможность для каждого чле­ на генеральной совокупности. Числовые характеристики признака вариационного ряда выборки служат приближенными значе­ ниями соответствующих характеристик генеральной статистиче­ ской совокупности.

Несмотря на простоту оценки возможных ошибок полученных результатов измерений, методы оценки недостаточно известны широкому кругу специалистов.

Под ошибками в данном случае подразумевается не погреш­ ности в вычислении тех или иных статистических показателей, а пределы возможных изменений их значений по отношению ко всей совокупности. Напомним, что ошибкой и погрешностью на­ зывается разница между точными и приближенными значениями измеряемой величины.

При измерении любых величин возникают ошибки, которые могут быть различного происхождения. Практика измерения по­ казывает, что нужно различать три вида ошибок: грубые, систе­ матические и случайные. Есть ошибки, которые можно устранить, и ошибки, которые устранить невозможно.

Грубые ошибки делятся на логические и промахи при вычис­ лении. Они являются результатом небрежности измерения или неожиданного воздействия на измерения. Промахи приводят обыч­ но к очень большим по абсолютной величине ошибкам. Следует принять меры, чтобы при выполнении измерений возможность про­ махов была полностью исключена. Если обнаружена грубая ошиб­ ка, следует ее исправить. Если это по какой-либо причине сде­ лать невозможно, грубая ошибка должна быть исключена из вариационного ряда. Исключение данных должно быть стати-

42

стически обосновано. Исключены должны быть те данные, веро­ ятность принадлежности которых к данной совокупности доста­ точно мала. Обычно рекомендуется отбрасывать измерения, если

того, что ошибка измерения превысит утроенную среднюю ошиб­ ку, равную 1—0,993075 = 0,00693, весьма мала. Наличие измере­ ния с ошибкой За (так называемое трехсигмовое значение) при­ водит к мысли, что мы имеем дело с промахом. Более точная методика предложена Гумбелем [22].

Систематические ошибки являются следствием влияющих на измерения эффектов, действие которых не распознано и не устра­ нено. Задача исследователя — обнаружить эти ошибки и свести их к пренебрежимому минимуму. Полное исключение системати­ ческих ошибок невозможно.

Случайные ошибки являются следствием причин, влияние ко­ торых практически невозможно или очень трудно учесть. Это причины изменчивости. Характерная особенность случайных оши­ бок— независимость результатов последовательных измерений друг от друга. То, что одинаковые ошибки этого рода при боль­ шом количестве измерений встречаются одинаково часто, означа­ ет, что сумма таких ошибок (отклонений в ту и другую сторону от истинного значения измеряемой величины) равна нулю. По­ этому наиболее вероятным (истинным) значением измеряемой величины можно считать среднеарифметическое всех результатов измерений.

Точность наших измерений как будто логично должна быть оценена средним значением отклонений, но оно оказывается рав­ ным нулю, так как суммы положительных и отрицательных от­ клонений от среднеарифметического равны друг другу.

Простое среднее отклонение представляет собой среднеариф­ метическое абсолютных значений отклонений вариантов от сред­ него и вычисляется по следующей формуле:

/=1

За меру ошибки величины х принимается либо величина А, либо абсолютная погрешность АХг = х—xt или, так как обычно неизвестно х, для определения погрешности используют формулу AXi—x—Xi. Часто используется и максимальное из всей серии значение \х—Xi |. Последнее часто называется предельной или максимальной ошибкой.

Качество результатов измерения удобно характеризовать не абсолютной величиной ошибки Ах, а ее отношением к измеряе-

43

Особенно примечательно, что даже если случайная величина не подчиняется нормальному закону распределения, то обычно ариф­ метические средние и дисперсии серии испытаний распределены приближенно нормально. Это обстоятельство широко использу­ ется при обработке данных наблюдений методом математиче­ ской статистики.

Закономерность Гаусса подвергалась неоднократным экспе­ риментальным проверкам, которые показали, что в той области, где ошибки измерений не слишком велики, она отлично подтверж­ дается опытом.

Гаусс предложил оценивать отклонение от среднего средне­

Теория статистических ошибок дает следующую формулу ос­ новной или среднеквадратичебкой ошибки среднеарифметиче­ ского:

Эту ошибку среднего можно рассматривать как среднеквад­ ратическое отклонение для вариационного ряда, составленного из многократных определений среднеарифметических на разных вы­ борках из одной и той же статистической совокупности. В обо­

значении от символ х обозначает среднеарифметическое х. Величина ошибки среднего дает те пределы, в которых может

заключаться истинное значение среднеарифметического изучае­ мой генеральной статистической совокупности. Таким образом,

полное выражение среднего с учетом ошибки будет х+от Следует подчеркнуть, что определение величины ошибки сред­

него имеет важное значение при оценке результатов наблюдений.

44

Иногда как критерий установления степени надежности сред-

него используют соотношение — . Если значение этого соот-

Ъх

ношения превышает 3 при большом числе .вариантов п, то зна­ чение среднего считается надежным. Когда это отношение мень­ ше или равно 3, найденное среднее нельзя считать надежным.

Как было отмечено, нормальное распределение имеет боль­ шое распространение при описании случайных величин измере­ ний. Бесконечное множество этих кривых, характеризующихся различными данными, удобно описывать отношением

Величина t называется нормированным отклонением и широ­ ко используется при обработке опытных данных приемами мате­ матической статистики.

Очевидно, что при отклонении х от х на + а величина / = 1; на —2а значение t = —2 и т. д.

Если принять всю площадь, заключенную между кривой рас­ пределения и осью абсцисс, за 1, то на долю площади, заклю­

и т. д.

Анализ показывает, что приведенные соотношения верны для совокупностей, содержащих большой объем данных. При малом количестве выборок (менее 30 наблюдений) нельзя непосредст­ венно воспользоваться нормальным законом. Для этих случаев Стьюдент [31] предложил заменить случайную величину х другой случайной величиной, которая зависит только от некото­ рого аргумента t и числа наблюдений п или v = n—1.

Табулированное значение функции t в зависимости от Р и степени свободы'приводится в таблице 1.

Таким образом, минимальное и максимальное значения гене­

45

Необходимая для расчета t вероятность Р определяется за­ дачами исследования. В ответственных случаях доверительная вероятность берется Р = 0,999; Р = 0,99. Когда исследуемые при­ знаки отличаются резкой неоднородностью, значение Р снижают

тельной вероятности 0,95. Естественно принимать те из двух пре­ делов, которые идут в запас расчета. Таким образом, для на­ грузок следует брать верхние, а для показателей прочности — нижние пределы.

Если распределение является нормальным, тогда доверитель­ ный интервал уменьшается пропорционально корню квадратному из числа наблюдений. Следовательно, для уменьшения ошибки в два раза количество наблюдений необходимо увеличить в че­ тыре раза.

При увеличении доверительной вероятности (то есть надеж­ ности) увеличивается ширина доверительного интервала, снижа­ ется точность измерения. Но это повышает уверенность в досто­ верности суждения (в его надежности). При сужении довери­ тельных пределов повышается точность, но понижается надеж­ ность и наоборот.

Следует помнить, что оптимальное значение доверительной вероятности нельзя установить теоретическим путем, расчетом; для его выбора используются данные исследования, опыт. При отсутствии этих данных могут быть использованы интуитивные рекомендации специалистов, опыт строительства сооружений в аналогичных условиях. Во многих расчетах в гидромелиорации наиболее часто используют доверительную вероятность 0,95.

/1ри обработке опытных данных используют коэффициент ва­ риации:

х

Если выразить предел возможных колебаний величин изучае­

дает возможность установить, на сколько процентов в ту или другую сторону от х, принятого за 100%, отклоняются отдельные значения изучаемого свойства с определенной вероятностью Р.

47

Точность опытов иногда характеризуется. значением ошибки среднего ах в процентах от х:

Правильнее оценивать точность опыта в зависимости от ве­ роятности Р, а значит, и от объема выборки. Таким образом, по­ казатель относительной вероятности ошибки будет иметь вид:

1 00 tts-

(64)

X

(65)

Величина Рр характеризует ту относительную ошибку, с ко­ торой устанавливается генеральная средняя по выборочному среднему. Этот показатель дает возможность оценить, на сколько процентов в ту или иную сторону от х, принятого за 100%, мо­ гут отклониться границы, в пределах которых находится истинная величина среднего х с заданной вероятностью Р.

Расчеты и анализ показывают, что число повторностей необ­ ходимых испытаний значительно влияет на точность полученных в результате исследований данных. Анализируя точность оценки среднего значения, можно решить, является ли она достаточной или требуется продолжение испытаний для того, чтобы вероят­ ность отклонения выборочной средней от генеральной средней бы­ ла очень малой. Для расчета необходимого числа повторностей можно воспользоваться формулой, выведенной на основе крите­ риев Стьюдента [31]:

Так как для установления количества необходимых испыта­ ний нужно знать дисперсию а2, то сначала берут небольшую проб­ ную выборку и находят грубо приближенно необходимые данные. Затем задаваясь а, вычисляют t и далее для этого значения t и принятой Р находят по таблице п. Затем последовательно эти результаты уточняют.

Влияние числа повторностей на точность измерения наглядно видно из следующего. Допустим, что десятикратное установле­

= 0,59 тс/м2. Снижение числа повторностей приводит к расши­ рению границ рассчитываемых параметров.

48

Допустим статистическая обработка 30-кратного установления сцепления грунта в водонасыщенном состоянии дала значение:

С = х = 0 ,3 0 кгс/см2 и а=0,025 кгс/см2.

0,30—2,8 ■0,025=0,23 кгс/см2.

Следовательно, истинное значение сцепления грунта в водо­ насыщенном состоянии с вероятностью 99% находится в преде­ лах 0,37—0,23 кгс/см2.

Число испытаний можно существенно сократить, если по ме­ ре получения каждого нового результата проводить последова­ тельный статистический анализ имеющегося материала методом Вальды. Этот метод в последнее время с успехом применяется при инженерно-геологических исследованиях.

Пример 6. Для установления сил сцепления проведено 53 измерения. Ре­ зультаты измерений сведены в таблицу 2. Требуется установить среднеквад­ ратическую ошибку среднего арифметического, минимальные и максимальные

значения генеральной х с вероятностью Р=0,95, показатель относительной вероятной погрешности.

По значениям измерений составляют вариационный ряд, в результате об­ работки которого по известным методам [311, получают необходимые данные (табл, 3) для среднего арифметического значения и среднего квадратиче­ ского отклонения.