книги из ГПНТБ / Мирцхулава, Ц. Е. Надежность гидромелиоративных сооружений

ным камнем крупностью 250—300 мм. В процессе двухлетней эксплуатации наблюдалось сравнительно небольшое истирание водобоя. В период паводка 1948 г. поверхность водобоя покрылась кавернами и большими выбоинами глубиной до 25 мм. Значительные разрушения водобоя, а также повреждения крепления откосов нижнего бьефа произошли во время паводка 1951 г. с рас­

0,6 м, а плита водобоя была разрушена полностью. Другие пролеты' также получили большие повреждения.

Осмотр, произведенный в 1953 г., показал, что поверхность водобоя, по­ крытая листами котельной стали, находилась в удовлетворительном состоянии.

Бетон нижней части тоннеля плотины Андерсон Пенч диаметром 6 м и длиной 400 м был разрушен на глубину 7,5 см, когда он использовался для сброса строительных расходов со скоростью 9 м/с. В период половодья река несла большое количество ила, песка и гравия; после откачки воды из тон­ неля на обратном своде остался слой ила, песка и гравия толщиной 50—60 см. Износ бетона был совершенно однородным для всех типов заполнителя, а поврежденные поверхности крупного заполнителя большей частью были глад­ кими и ровными. Несколько «заплаток» из раствора 1 :2 были полностью разрушены, и вообще «заплаты» из раствора разрушались, сильнее, чем

каналу, между распределителями Р-12 и Р-13 началось выклинивание воды. Сильное увлажнение склона начального участка привело к оползневым яв­ лениям, а остальная часть склона, ранее занятая огородами, оказалась забо­ лоченной и выпала из освоения.

К началу 1965 г. оползень приблизился к каналу, чем поставил под угро­ зу устойчивость канала на подходе к быстротоку.

Такое положение определило необходимость применения противооползне­ вых мероприятий на этом участке.

Инженерно-геологические исследования, проведенные ГрузНИИГиМ, по­ казали, что участок канала на подходе к быстротоку находится в аварийном состоянии и должен быть облицован практически непроницаемой облицовкой. Участок канала после быстротока (заболоченный) в случае его сельскохозяй­ ственного освоения должен быть также облицован. Хотя потери воды из него незначительны, все же территория заболачивается. При выключении канала заболоченность исчезает.

Распределитель № 6 Соганлугской системы механического орошения (Грузинская ССР) проходил в загипсованных грунтах, под которыми на глу­ бине 1—2 м залегали галечники. Пуск воды в канал сопровождался интенсив­ ным развитием воронок и провалов, что привело к катастрофическому поло­ жению. Эти явления получили развитие также в конце работающей части магистрального’ канала (к 1938 г.). На поврежденных участках каналов в 1938 г. была осуществлена грунтовая облицовка, накоторой к 1941 г. начали

сованных грунтов (гипса до 70%) пришлось запроектировать противофильтрационную облицовку.

Одним из водопользователей Соганлугской системы в Грузинской ССР является Крцанисский» совхоз, земли которого подкомандны распределителю

20

Р-5. Верхняя 1—2-метровая толща территории сложена рыхлыми карбонатны­ ми и загипсованными суглинками, подстилаемыми сильнопроницаемым галеч­ ником. Полив ведется свободным напуском по полосам. Специальные наблю­

450м3/га).

За последние годы в Средней Азии, Закавказье, на Украине и в других

районах для целей ирригации широкое распространение получили железобетон­ ные лотки различной конструкции. Характерные повреждения их и мероприятия по устранению этих повреждений излагаются в работах [107, 641. В них в ча­ стности отмечается, что лотки выходят из строя иногда даже раньше чем через 5—7 лет эксплуатации. Преждевременные разрушения лотков каналов внутрихозяйственной сети оросительных систем происходят вследствие разно­

вышенно пластичные бетонные смеси. Высокая пластичность смеси при изго­ товлении лотков дном вверх приводит к сильному ее расслоению с оседани­ ем крупных фракций в бортах и сплыванию раствора в донной части.

Характерными разрушениями бетона лотков на каналах являются: ше­ лушение и отслаивание; местное (очаговое) разрушение, вызванное расслоени­ ем бетонной смеси при наличии неморозостойких зерен и комков глины в за­

Такое разрушение является следствием низкого качества изготовления и происходит в „основном в донной части и бортах в зоне переменного уровня

опор, а также к большим потерям поливной воды [381. Такие дефекты возни­

уменьшается опорная площадь лотков. При уменьшении опорной площади от чрезмерного перенапряжения в бетоне появляются трещины и микроразрывы в торцах, которые увеличиваются при воздействии мороза и температурных деформаций, что приводит к падению лотков с опор.

Причиной появления косых трещин в лотках у опор в процессе эксплуа­ тации, а также нарушения герметизации стыков часто является несовпадение очертаний опорной поверхности лотков и седел из-за неточности изготовле­ ния форм.

Надежность и долговечность лотковых каналов в значительной степени за- - висят от условий эксплуатации: своевременно не проводят необходимые про­ филактические мероприятия по уходу за каналами; не восстанавливают рас­ строенные стыки лотков, не устраняют механические повреждения сети, свое­ временно не проводят восстановление и ремонт при просадках и разрушениях

21

Г л а в а II

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ *

Теория вероятностей изучает приложение математического метода к нахождению численных закономерностей массовых слу­ чайных явлений. Она является одним из наиболее разработанных разделов современной математики и находит возрастающее при­ менение во многих областях науки.

В изучении и разработке основ теории вероятностей, в поста­ новке и решении задач принимали деятельное участие Галлилей, Кардано, Гюгене, Паскаль, Ферма, Яков Бернулли, Лаплас, Гаусс, Пуассон и др.

В развитии этой науки большую роль сыграли видные отече­ ственные ученые П. Л. Чебышев, А. М. Ляпунов, А. А. Марков, В. А. Буняковский, Л. Н. Лахтин, С. Н. Бернштейн, А. Я. Хинчин и др.

Выдающаяся роль в развитии теории вероятностей и ее при­ менении в различных областях науки принадлежит советской школе во главе с крупнейшим математиком современности А. Н. Колмогоровым. На протяжении многих лет крупнейшие ма­ тематики всего мира прилагали большие усилия на отыскание условий, в которых имеет место закон больших чисел, а удалось найти эти условия А. Н. Колмогорову в 1926 г.

Современный период развития теории вероятностей характе­ ризуется расширением области ее применения в различных об­ ластях науки и техники. Этот период связан с именами таких зарубежных ученых, как П. Леви, Р. Мизес, Н. Винер, В. Феллер, Дж. Дуб и др.

1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ,

Как в природе, так и в обществе встречаются процессы двух видов: единичные процессы (явления) и массовые процессы (яв­ ления) .

Теория вероятностей и математическая статистика изучают массовые процессы (явления).

Примеры единичных явлений: падение метеоритов, землетрясе­ ние, первый полет человека в космос.

23

Всякий факт, который может произойти или не произойти, в теории вероятностей называется событием. Всякое событие объ­ ясняется предшествующей ему причиной. Некоторые события яв­ ляются случайными. Случайное событие — это такое, которое за­ висит от многих причин, связь между которыми проследить не представляется возможным. Случайные события нельзя считать беспричинными. Если бы случайные события были беспричинны­ ми, то к ним нельзя было бы применить математического метода. Связь между осуществлением некоторого комплекса условий S и наступлением события А в естествознании можно описать с по­ мощью двух схем:

1) при каждом осуществлении комплекса условий S (при каж­ дом испытании) наступает событие А (детерминистическая схе-

ма ) ;

2)при осуществлении комплекса условий 5 событие А может

наступить или не наступить (стохастическая схема). Теория вероятностей связана со стохастической схемой.

Событие А, которое может произойти, а может и не произой­ ти при осуществлении некоторого комплекса условий S, называ­ ется случайным.

Основанием для применения к массовым случайным явлениям математических методов служит то обстоятельство, что при мно­ гократном осуществлении комплекса условий S наблюдается сле­ дующая закономерность: при большом числе повторных испыта­

ний отношение — , где т — число наступлений события А в

п

а независимых испытаниях, обнаруживает устойчивость относи­ тельно некоторой постоянной Р(А), которая называется вероят­ ностью наступления А и является количественной характеристи­ кой массовой операции.

Допустим в урне имеется 30 камней одинакового размера и качества. Из них 10 являются мечеными. Ставится вопрос: если многократно вынимать из урны и возвращать обратно произволь­ ный камень, то какой следует чаще ждать —• меченый или неме­ ченый. Если этот опыт повторить 1, 2, 3 раза, не исключена воз­ можность, что один, два или все вынутые камни окажутся или мечеными, или немечеными, но если опыт повторяется достаточ­ но много раз, вероятность того, что будет вынут меченый камень,

В приведенном примере число 30 — число всех возможных слу­ чаев, а 10 — число случаев, благоприятствующих данному собы­ тию. Каждое событие обладает той или иной степенью возмож­ ности. Для количественной оценки событий по степени их воз­ можности в •теории вероятностей введено понятие «вероятность события». Это численная мера объективной возможности осуще­ ствления данного события. Вероятность события связана с прак­ тическим понятием частоты события.

24

Событие, которое неизбежно наступает при каждом испыта­ нии, называется достоверным. Событие, которое заведомо не мо­ жет произойти при испытании, называется невозможным. При­ мер достоверного события: за днем следует ночь.

Такой класс событий, при котором одно из событий непре­ менно должно произойти при испытании, называется полной груп­ пой событий (единственно возможных событий при испытании).

События называются несовместимыми, если появление одного из них при данном испытании исключает появление остальных, События называются равновозможными, если при данном ис­ пытании нет основания ожидать предпочтительного появления

одного события перед другим.

В некоторых случаях неравновозможные события можно при­ вести к равновозможным; это возможно тогда, когда данные не­ равновозможные события могут быть разбиты на равновозмож­ ные, представляющие их частные виды.

Равновозможные события, на которые разбиваются неравно­ возможные, для удобства называют случаями. Те из этих случаев, которые состоят в появлении одного из неравновозможных собы­ тий, называются случаями, благоприятствующими этому событию.

На практике приходится иногда считать равновозможными та­ кие события, равновозможность которых несколько сомнительна. Допустим, что при некотором испытании могут появиться п един­ ственно возможных, несовместимых и равновозможных случаев. Обозначим через т число случаев, благоприятствующих некото­ рому событию А, а вероятность появления при испытании события

то есть вероятность наступления некоторого события равна отно­ шению числа случаев, благоприятствующих событию, к числу всех единственно возможных, несовместимых и равновозможных случаев, соответствующих вопросу, связанных с данным испыта­ нием.

Пример 1. На складе находится 80 железобетонных лотков, из них де­ фектных 30. Требуется найти вероятность того, что наугад взятый лоток ока­

Формула (1), так называемая классическая формула для определения вероятности, долгое время считалась как опреде­ ление вероятности. В настоящее время определение вероятностей объективно связывают с опытным понятием частоты, а формула

(1) считается формулой для непосредственного подсчета вероят­

25

ностей. Она пригодна лишь тогда, когда опыт сводится к схеме случаев, то есть обладает симметрией возможных исходов.

Теория вероятностей располагает многими способами, которые позволяют определить вероятность события косвенно, без опыта, через вероятность других событий, с ним связанных.

камней. Установим общее число возможных случаев п и число случаев т, бла­

Из приведенного определения вероятности следует, что веро­ ятность выражается рациональной дробью, лежащей между ну­ лем п единицей; это вытекает из того, что в формуле (1) ms^n. Единица и нуль — предельные величины вероятности. Вероятность, равная единице, есть вероятность события достоверного. Вероят­ ность, равная нулю, есть вероятность события невозможного. В са­ мом деле, из равенства (1) вытекает, что Р = 0 при т = 0.

Событие, вероятность которого не в точности равна нулю, но весьма близка к нему, называется практически невозможным.

Событие, вероятность которого не в точности равна единице, но весьма близка к ней, называется практически достоверным.

Если вероятность некоторого события А в данном опыте Е весьма мала, то можно быть практически уверенным в том, что при однократном выполнении опыта Е событие А не произойдет.

Вопреки сказанному, история знает примеры осуществления событий, вероятность которых чрезвычайно мала. Например, че­

Принцип практической достоверности не доказывается мате­ матическим средством, он подтверждается опытом человечества.

При пользовании выводами теории вероятностей на практи­ ке заранее указывают некоторую дробь, близкую к единице, на­ пример 0„999, которую и принимают приближенно за единицу, тогда всякую правильную дробь, большую принятой, считают за единицу; событие же, вероятность которого равна этой дроби, считают достоверным. Если вероятность какого-либо события близка к нулю, то такое событие считают невозможным.

26

Часто начальные данные бывают неизвестны. В таком случае для определения вероятности какого-либо- события прибегают к опыту.

Допустим из ящика, в котором имеются белые и черные ша­ ры, вынимаем шар и записываем его цвет; вынутый шар кладем обратно в ящик, шары в ящике тщательно перемешиваем, снова

белый шар. Это отношение называется частотой появления дан­ ного события. Опыт показывает, что при проведении большого количества опытов в одинаковых условиях частота некоторого со­ бытия обнаруживает свойство устойчивости.

Частоту события часто называют статистической вероятно­ стью. Вероятность же, вычисленную по начальным данным, на­ зывают математической вероятностью.

В дальнейшем статистическую вероятность мы будем называть

уклониться от вероятности. Уклонение частоты от вероятности ука­ зывает на ту погрешность, которую допускают, приняв частоту за вероятность. На возможности определить величину уклонения частоты от вероятности и основано практическое применение тео­ рии вероятностей к разным наукам.

Опытным путем можно показать, что уклонение частоты от вероятности тем меньше, чем больше опытов проделано для по­ лучения частоты. Это свойство уклонения уменьшаться по мере увеличения числа опытов носит название «закон больших чисел».

Одно из основных понятий теории вероятностей •— понятие о случайной величине.

Случайной величиной называется переменная величина, зна­ чения которой зависят от случая.

Случайная величина, которая может принимать только конеч­ ное или счетное множество значений, называется дискретной (прерывной) случайной величиной. Примером дискретных случай­ ных величин могут служить число дождевых дней в году, число аварий некоторого сооружения и др.

Непрерывной называется случайная величина, которая мо­ жет принимать любые значения в одном или нескольких заданных интервалах. Значения непрерывной случайной величины непрерыв­ но заполняют некоторый промежуток или несколько промежутков. Примерами непрерывных случайных величин могут служить: ско­

27

рость потока по вертикали, уровень реки, ошибка взвешивания тела на весах и др.

Очень часто для вычисления вероятностей события оказыва­ ется удобно связать это событие с какой-нибудь случайной вели­ чиной.

2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ

Теория вероятностей в основном изучает косвенные методы, которые позволяют свести необходимый эксперимент к миниму­ му. Для применения этих косвенных методов необходимо поль­ зоваться двумя основными теоремами теории вероятностей: тео­ ремой сложения вероятностей и теоремой умножения вероятно­ стей.

Для событий, сводящихся к схеме случаев, они могут быть доказаны, а для событий, не сводящихся к этой схеме, их прини­ мают аксиоматически, как принцип или постулат.

Для формулировки этих теорем необходимо определить сум­ мы событий и произведение событий. Суммой нескольких собы­ тий Ль Л2, ..., Ап называется событие А, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий. Если события Л1 , ..., Ап несов­ местимы, то сумму обозначаем как Л — Л1 + ...+ Л п, а если собы­

тия Ль ..., Ап совместимы, то Л —А ги А 2 U...LMn. Произведением нескольких событий Ль ..., Л„ называется со­

бытие Л, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Оно обозначается как A —Aif\A2ri--- nAn или Л = Л 1Л2...ЛП.

При доказательстве этих теорем будем предполагать, что все события можно разлагать на равновозможные.

Если события Л и В несовместимы, то вероятность того, что при испытании произойдет или событие Л, или событие В, равна сумме их вероятностей, то есть

Р ( А + В ) = Р ( А ) + Р ( В ) .

Два события А и Л называются противоположными, если их

сумма является достоверным событием, а произведение — невоз­ можным событием. Из теоремы сложения вероятностей следует, что Р (Л) -\-Р (А) = 1, то есть

Событие Л независимо от В, если условная вероятность собы­ тия Л, вычисленная при условии, что при осуществлении комплек­ са условий S произошло событие В, равно безусловной вероятно­ сти события Л (то есть вероятности, вычисленной без всяких ог­ раничений, кроме комплекса условий S).

Вероятность произведения двух независимых событий равня­ ется произведению вероятностей отдельных событий:

28

Если событие А является произведением п попарно независи­

Вероятность события А, вычисленная при условии, что про­ изошло другое событие В, называется условной вероятностью со­

ного осуществления событий А я В.

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условрую вероятность другого при условии, что первое произошло, то есть

Р( АВ) = Р( А) Р { А/ В) = Р( В) Р { В/ А) .

Если А независимо от В, то Р(А/В) — Р (А), и из предыдущей формулы следует, что Р ( В/ А) = Р( В) , то есть из независимости А от В следует независимость В от А. Если сложное событие состоит из нескольких простых событий, зависимых между собой, то вероятность сложного события будет равна вероятности пер­ вого события, умноженной на условную вероятность остальных простых событий, вычисленных в предположении, что предшест­ вующие простые события ,имели место.

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместимых А я В явлений равна сумме их вероятности минус рероятности совместимых появлений этих двух явлений:

Если события независимы, тогда

Р(Л ивиС ) = Р (Л )+ Р (Р )+ Р (С )+ Р (Л )Р (Б )Р (С )-

-Р ( А ) Р ( В ) - Р ( А ) Р ( С ) - Р ( В ) Р ( С ) . (8)

=0,4;

Д(Л+В+С)=0,4+0,2+0,4+0,4-0,2-0,4-0,4-0,2-0,4-0,4-0,2-0,4=0,712.

29