книги из ГПНТБ / Мирцхулава, Ц. Е. Надежность гидромелиоративных сооружений

ванный метод

приемлем.

параметры для определения

допускаемых

Допустим,

заданы

следующие

(неразмывающих) скоростей течения

воды: С = 0,8

тс/м2.

Н=],0 м,

7ч=2,65 т с / м3,

/<=0,8,

d—0,004 м,

т = 1,

п = 4,0,

ас = 0,2 кгс/см2,

а ^ = 0 , 1 м.

ад-=0 ,2 ,

а = 0,01,

0^=0,001,

от =0,04.

а„ = 0 05.

dv.н.доп _

/

2 gm

\д е

7 r t z 1(1 ч - ю ) а + о , о т к с ] К

2,670 п

Н

/

8,8 Н \

2 gm

dvv

\ g ~

•0.0438Я

I2j670п

дС

„ Г

2 gm

2 1 /

— — [(7ч—7оМ+1.25-0.035А:С]

V

2 ,6 7 0 / 2

8,8 Н\

2gm

dv„

дК

У

2 gm

2 7 7 7 «тч —Го)<*+0.0«вЛ-С]

dv„

8 8Н \

2gm'd

g

d

J

2,670/г

^7ч

Г 2g"

[(Тч—То)^+0,0438/(С]

] /

2

,6 7 0 /г

dvu

,

8,8 Н ,

2g

l g —dГ ] 2 6 ^ Г

[(Тч-ТоМ+0,0438ЯС]

dm

У

2

[(7ч-7о)^+0,0438ЯС]

,

8,8H\ 2gm

[^ - ^ + 0 . 0 4 3 8 / ^ ]

Л'н.доп - 1^

- т ) 2^

dv,Н.ДОП l£"£

/~ 2рг7?2

cW

■ V

1 /

[(7Ч- ^ + 0 . 0 4 3 8#СС]

8 ,8Я \

2^/и

lg — ) 2~^Г

2 | /

l(l4~ lo)d+0,0438КС]

Среднеквадратическое отклонение допускаемой скорости, вызванное изме­

нением глубины потока,

устанавливается по выражению

“л

dv„

дН

Аналогично для

других

параметров:

а

=

^н.доп

ас-

,

I ^н.доп

С

дС

1 дк

а/Т» _

| ^^н.доп

<М

dvu

dvu

dm

дп

Значения параметров:

а' =0,011:

а’ =0,08 ; а '= 0,08;

/ 7

С

Л

=0,0005;

а ' = 0 ,0 2 ;

а ' =0,005;

а ' = 0 ,0 2 .

Тч

d

При этих данных суммарное среднеквадратическое

отклонение

av = /0 ,0 1 H-j-u,08a т-0,00052-!-0,022+ 0,U052+0,083+U,022 .

V=0,1172;

3^=11,7296.

Из решения задачи видно, что на изменчивость

допускаемой (неразмы­

вающей) скорости существенно влияет

сцепление

грунта, слагающего ложе, и

значение коэффициента однородности.

щей по абсолютной величине 6

мм, и

вероятность

того,

что .измеренная длина

не превзойдет истинной.

измерения

длины

обозначим через х.

Р е ш е н и е .

Суммарную ошибку

Систематическая

составляющая

х = —2 мм. Согласно

формуле (16),

X

t*

2

£ 2 dt;

ф(*)=

V 2

p(ixi<6)=p(-6>x<6)= у

^)i

Тогда

Ф(2)=0,9545;

Ф(1)=0,6827.

Р (|+|<6)=0.8186.

Вероятность

того, что

измеренная длина

не

превзойдет

истинной,

Р( — со < Х < 0 )= —

[Ф(0,5)+Ф(оо)] ;

Р ( о о ) = Н ш Ф(аг) = 1 ,

а

из таблицы приложения

10 находим Ф (0,5) =0,3829,

тогда

Р (—о о < Х < 0 ) =

=

0,6914.

Пример 55. При проектировании необходимо установить вероятность на­

хождения

размеров

швов

между

бетонными

облицовочными плитами в ин­

тервале от 0,05 мм до 1,2

мм и

от

0,5

до 1,2 мм при следующих условиях:

нормальная ширина шва в канале

0,5

мм;

среднеквадратическое отклонение

0,5 мм.

Используя

свойства

нормального

распределения

(16) для ве­

Р е ш е н и е .

роятности

нахождения размера швов

в

пределах

0,05

до 1,2 мм,

имеем:

а) Я (0,05<6<1,2)= - у

Ф / 1,2-0,5

\

_

/0,05—0,5 V

_

J_

{

0,5

)

"

Ф {

0,5

)_

~

=

. \

[Ф(1,4)+Ф(0,9)] =

[0,8385+0,6319] = 0,7352=73,52 %;

2

'0,5 —0,5 \

.

0,5

/

2

[Ф(1.4)—Ф(0)] =

2

0,8385=0,4192= 41,92 %

водка через 4 года.

свойства нормального распределения, имеем

Р е ш е н и е . Используя

P{t>A)=

0,68 = 0,34; Р=

2

ности. Задана площадь поперечного

сечения

со = 10 м2, среднеквадратическое

отклонение поперечного сечения ош=1,0 м2.

Допускаемая

(неразмывающая)

скорость

течения о = 1,0

м/с, среднеквадратическое

отклонение a v =0,15 м/с.

Коэффициент однородности

К = 0,8,

с+=0,1.

Коэффициент запаса для попе­

речного

сечения

и

допускаемых

скоростей

т = 1,1.

по

изменчивости попереч­

Р е ш е н и е

1.

Определим

вероятность

отказа

ного сечения:

_1_

Qi=

2

(1,1—1.0) ■1,0

Qi =

_L

1.0

2

Q i =

1

— —

Ф(1)=0,50—0,34=0,16 ;

Q1= 16%

2

2. Определим

вероятность

отказа

по действующим

скоростям течения

Ог— 2

1

( 1,1 — 1,0) - 1,0

J

_

2

0,15

’

<+,=0,50

— 0,49=0,255

Q2—25,5% .

2

3. Определим вероятность отказа по однородности материалов. Допустим

задано К — 0,8;

аК =0,1;

т =1,25.

Тогда

вышать расчетного с учетом коэффициента запаса т.

Когда

возникает

ситуация, грозящая аварией. Установить надежность

подмываемого

основания.

P { t^ - A t> m tp)--= \

\

( т - 1)£р

ф

где

tcp—At

2

d t .

Чх)= /2 7

о

— At— среднеквадратическое отклонение

фактических деформаций. Вероят­

коэффициент запаса принят

т= 1. Тогда вероятность повреждения Q= 0,5.

В этом

случае

фактические

размывы превзойдут допускаемые расчетные

в 50% случаев.

суммарного среднеквадратического отклонения (зависящего от

При

знании

тистической обработки экспериментальных наблюдений)

нетрудно установить про­

цент риска или надежность. Допустим,

ст=0,2£р и коэффициент запаса принят

« =

1,2,

тогда

. 0=

_

±

л [(1-2- 1>*р 1.

J ’

2

2

_

0,2£р

<2 =

_1_ - Y

0,6827 = 0,1587,

2

то

есть

риск Р = 16% , или

16 случаев

на 100.

Надежность P(t) = 1—Q при т — 1,2 будет

Р — 1—0,16 = 0,84.

Пример 60. На дно моря для

изучения

видов

вдольберегового передви­

Р _5_

50 < « J

>

0,9 .

200

N

На основании интегральной теории Муавра-Лапласа [18]

>0,9,

откуда

2аN

>1,65,

У N - 50

то есть

а >0,825 iLH.—Ё£_ ,

N

имеем:

следовательно с вероятностью, не меньшей 0,9,

33 У N — 50 < / / —2000 <33 /

/V - 5 0 .

Я|0 2 0 000|<

M l _

7000

20000 “ '

20 000 = 0,35.

Ж

150

_

Я |£>250|<

—

= 0 6.

250

250

пустим, среднее

количество

выпавших в течение года осадков в данном пункте

(случайная величина)

равно 55 см. Оценить вероятность того, что в этой местно­

сти осадки не превысят 80

см.

Чебышева определим

Р е ш е н и е .

По

первой

форме неравенства

Р(1> 80) < Ж

55

=

0,69,

то есть Я(£<80)>0,31 .

80

80

аппаратов оказалось, что 20 из

Пример 64.

При

испытании дождевальных

экспериментов.

Задачу будем

решать методом последовательных приближе--

Р е ш е н и е .

ний. Зная по проведенным

опытам

частоту

20

Р t = — = 0 ,8 , задаемся первым

приближением.

I

Положим, что

mi =50,

тогда

п .=

—

=

=

63; и1- т

1= 63 -5 0 = 1 3 .

1

Р,

0,8

тервал для

вероятности

0,89—0,67

при (3=0,95.

Второе приближение т2 = 100, тогда л2 =

1С0

125;

«2—т2= 125—100= 25.

0,8

Для ш2=100 доверительный интервал 0,87—0,73.

Третье

приближение

т2= 200,

200

тогда п2=

= 250 ; п2- г а 3=250 -200=50.

Для /тг2=200 доверительный

интервал

0,8

близко

к за­

будет 0,85—0,75, что

данному доверительному

интервалу

1—0,95 = 0,05.

Таким образом, ориентировоч­

ное необходимое число испытаний аппаратов должно быть 200.

системы,

Пример 65. Найти общую надежность работы водопроводящей

если задана вероятность исправного функционирования

насоса

Р н =

0,8,

тру­

бопровода

Р т =0,9, водозаборного

узла Ръ = 0,75,

подачи

электроэнергии

Рэ=

= 0,79.

Предполагая независимость

неисправной работы отдельных

Р е ш е н и е .

элементов

(при

последовательном

соединении),

общую

надежность

системы

-можно выразить

в виде"

Получаем

Р (0 = е-0 ’9+

0.9е_0,9=0,77.

Пример 67.

Имеется

дождевальный аппарат

со средним

сроком

службы

5 лет. Установить вероятность

того,

что

аппарат

прослужит

10 лет.

Р е ш е н и е .

Параметр

1

10

X

5

_1

_12

P {t> 10) = е 1

=е

5 = 0,1353.

Вероятность того, что аппарат прослужит 10

лет, Р — 13,53%.

Пример 68. В автомате есть два устройства с резервированным замеще­

нием. Каждое устройство

имеет интенсивность отказов

— ч

и не

восста-

навливается, пока не откажет

второе

устройство.

Закон

500

распределения отка­

резерва (п =

2,

т = 1). Известно,

что функция

распределения

времени

безотказ­

ной работы

F.(t)=e-Xi

и А=0,01 1/ч.

Необходимо уточнить, через сколько часов т следует замена насосов, если

заданный уровень отказа а=0,73.

таблице

биномиального

закона

значение

Р е ш е н и е . Устанавливаем

по

q q из уравнения

п

2

Сп *0 0

- ‘7о)(',-'°= «= С ^ (1 - q 0y>

К=т-{-1

и затем определяем искомое значение

т с помощью следующего уравнения:

р.=

E(Kz) = —-

или --------- v - — —- .

к = о

•

Когда т\ и щ велики, биномиальный закон можно аппроксимировать нор­

мальным и тогда просто вычислить

значение

q a .

Когда

и П\ велико,

тогда мс'кно считать, что число отказов системы

имеет распределение Пуас­

сона и для

нахождения qa

имеем

зависимость

о

£ (nq0)SS\

е-nqо= а .

т+1

Зная Гер,

можно

легко

установить

^ср^о2

2

Когда

/Wi<g/ii,

приближенно

можно установить

вероятность

безотказной

работы системы на К последовательных периодах

по

формуле

(1—а)^, так

как отказы на соседних периодах можно считать почти независимыми.

Вычислим

из

уравнения

п

т -\-1

ql =0,73;

7 0

=

0,85;

7“=0,85 .

£ ( * ■ 4 " = у

2

т т ■и

к=о

К=о

*

то есть

_

J_

1

1 - « 7 м

“

4%'

Отсюда устанавливаем, что замену

элементов необходимо производить

заций исправной работы (в

сутках):

1

2

3

4

9

4

5

4

7

13

10

13

И

i 3

19

19

21

25

27

29

31

31

37

41

59

59

79

77

105

119

135

147

181

145

176

Установить

закон распределения времени

безотказной работы.

данных

Р е ш е н и*е.

Составляем

таблицу 20

экспериментальных

закон.

Проверяем

согласие

экспериментального распределения с экспонен­

циальным. Для этого данные

испытания наносим

на полулогарифмическую

сетку. Получаем расположение точек, изображенное на рисунке 33.

Экспериментальные данные

испытания гидроузла приведены в таблице 20.

По

этим точкам

проводим

прямую линию таким

образом, чтобы отклоне­