книги из ГПНТБ / Мирцхулава, Ц. Е. Надежность гидромелиоративных сооружений

Пример 3 легко можно решить зависимостью (11):

Р (Л + В + С ) = 1 — (1—0,4) (1 -0 ,2 ) (1 -0 ,4 ) =0,712.

3.ПОЛНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ И ТЕОРЕМА ГИПОТЕЗ

Предположим, что событие Л может произойти с одним и

только с одним из п несовместимых и единственно возможных

П

событий # 1 , ..., Нп, то есть Л = ^ 41Я*. Тогда из теорем сложе- i=i

ния и умножения вероятностей получается формула для вычис­ ления вероятности события Л:

Формула полной вероятности указывает, что вероятность со­ бытия Л определяется как сумма произведений вероятности каж­ дой гипотезы Hi на условную вероятность события Л при усло­ вии Hi.

Поставим теперь следующую задачу. Пусть с опытом связаны п несовместимых и единственно возможных гипотез Ни ..., Нп,

которому событию Л вероятность P(A/Hi). Проведем опыт, в ко­ тором событие Л наступило. Это должно вызвать переоценку вероятностей гипотез Hi. Требуется найти условные вероятности гипотез Hi при условии, что событие Л наступило.

Ответ на поставленную задачу дает формула Байеса [18]

30

то есть вероятность гипотезы после испытания равна произведе­ нию вероятности гипотезы до испытания на соответствующую ей условную вероятность события, которое произошло при испыта­ нии, деленному на полную вероятность этого события.

Пример 4. Два завода изготавливают одинаковые детали. Первый завод

к оценке возможных значений случайных величин. Как было ука­ зано, случайной величиной называется величина, о которой за­ ранее неизвестно, какое значение она примет в результате опыта. В задачах гидротехники и мелиорации приходится оперировать как дискретными, так и непрерывными случайными величинами.

Для наглядного представления распределения вероятностей строят полигоны распределения вероятностей, которые имеют вид ломаных линий.

Если заменить полигональную ломаную линию плавной кри­ вой, которая возможно ближе выражала бы изучаемую ломаную линию, эта кривая будет называться кривой вероятностей.

Важно знать соотношение между возможными значениями слу­ чайной величины и их вероятностями, которое называется зако­ ном ,распределения случайной величины.

Йсчерпывающей характеристикой случайных величин является функция распределения F(x), которая для случайной величины х может быть записана так:

Помимо функции распределения, для дискретных случайных величин существуют другие формы законов распределения: ряд распределения и многоугольник распределения.

Зная функцию распределения, можно вычислить вероятность попадания случайной величины на заданный участок с границами а, р, которая равна приращению функции распределения на уча­

Если существует не отрицательная функция f(x), удовлетво­ ряющая при любом х равенству F'(x)=f(x), то f(x) называ­ ется плотностью распределения вероятностей случайной величи-

31

а

При решении многих практических задач можно ограничить­ ся лишь знанием математического ожидания и дисперсии, не учи­ тывая законов распределения.

Математическое ожидание тх случайной величины X для дис­ кретных случайных величин выражается формулой

32

для непрерывных случайных величин

оо

Дисперсия случайной величины характеризует ее рассеивание вокруг математического ожидания. Вместо дисперсии часто опе­ рируют среднеквадратическим отклонением, которое равно ариф­ метическому значению квадратного корня из величины диспер­ сии, то есть

Ох = V l T x.

На практике вместо термина «среднеквадратическое откло­ нение» чаще пользуются понятием «среднеквадратическая ошиб­ ка». В дальнейшем под среднеквадратической ошибкой будем понимать среднеквадратическое отклонение при условии, что систематические погрешности измерений отсутствуют.' При реше­ нии многих задач в практике необходимо дать количественную оценку большим погрешностям (более 2—3 среднеквадратических отклонений).

Может быть случай, что одна и та же случайная величина в разных диапазонах ее возможных значений может подчиняться различным законам распределения.

В связи с этим приведем краткую характеристику основных законов распределения случайных величин.

Биномиальное распределение

Если вероятность появления события А в каждом испытании постоянна и равна Р, то вероятность появления события А в п независимых испытаниях т раз может быть вычислена по фор­ муле Бернулли:

Такое распределение дискретной случайной величины X на­ зывается биномиальным.

Для биномиального распределения математическое ожидание числа появлений события будет тх—пр, а среднеквадратическое

Пример 5. На заводе имеется много дождевальных аппаратов. Исследова­ нием установлено, что из выпускаемых заводом изделий 5% оказываются де­

фектными. Необходимо установить, что из десяти взятых аппаратов два ока­ жутся дефектными.

Вероятность попадания в некоторый интервал для биноми­

Из-за громоздкости вычислений при больших значениях п часто пользуются следующими приближениями для биномиаль­ ного распределения. Если X — число наступлений события А в п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность этого события равна Р, 0 < ^ )< 1 , то при п-+-оо

Х - п Р

(26)

Y nPq

то есть при достаточно больших п и не очень малых Р биноми­ альное распределение можно заменить нормальным.

Если при п->оо вероятность наступления события А стремит­ ся к нулю так, йто а = пр остается постоянным, то биномиальное распределение стремится к пуассоновскому.

Распределение Пуассона

В теории вероятностей доказывается, что число появлений ред­ ких событий будет приближенно подчиняться закону Пуассона. Закон Пуассона независимо от вероятности события действует в тех случаях, когда эти события в ряде опытов распределяются с одинаковой средней плотностью независимо друг от друга и сов­ мещение двух или нескольких событий практически исключено.

Если математическое ожидание или среднее число событий, наблюдаемое на некотором промежутке, принимаемом за едини-

34

цу, равно К, то вероятность того, что на интервале / произойдет ровно К событий, может быть подсчитана по формуле (27) или по приложению 11.

тельные значения, включая нуль.

Произведение Х1=а представляет собой среднее число собы­ тий, наблюдаемых на отрезке длиной /, и называется параметром распределения. В теории вероятностей доказывается, что диспер­ сия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, равна ее математическому ожиданию XI.

Для распределения Пуассона математическое ожидание, сред­

Закон равномерной плотности

Распределение случайной величины будет описываться зако­ ном равномерной плотности (рис. 2), когда возможные значения этой случайной величины х лежат в определенном Интервале, в пределах которого все они имеют равную плотность.

В этом, случае график плотности вероятности имеет форму

да некоторая величина известна с ограниченной точностью, но она при изменении принимает непрерывное значение.

Для равномерного распределения математическое ожидание, среднеквадратическое отклонение и дисперсия будут:

Вероятность попадания случайной величины, имеющей равно­ мерное распределение, на участок (а, Р), представляющий собой часть интервала (а, Ь),

Нормальный закон распределения

Многие встречающиеся на практике, в том числе при решении задач гидротехники и мелиорации, случайные величины могут рассматриваться как сумма независимых между собой или мало зависимых частных ошибок, каждая из которых в этой сумме иг­ рает малую роль. В этом случае суммарная случайная величина будет подчиняться нормальному закону с плотностью распределе­ ния (рис. 3)

< *xV2v:

Классическое нормальное (Гауссово) распределение играет огромную роль в теории вероятностей и математической стати­ стике. В ряде случаев оно служит предельной формой для дру­ гих распределений.

Для нормального закона распределения математическое ожи­ дание, ереднеквадратическое отклонение, дисперсия будут:

Нормальный закон распределения (закон Гаусса) чаще дру­ гих применяется при решении практических задач, он является предельным, и к нему приближаются другие законы распреде­ ления. Опытами установлено, что нормальному закону подчиня­ ются как ошибки измерений, так и изменчивость физико-техни­ ческих показателей материала, турбулентные пульсации и др.

36

Вероятность попадания случайной величины X на участок (а, р) определяется или с помощью таблиц приведенной функции

Когда участок (а, р) расположен симметрично относительно центра рассеивания тх, то при длине участка 2Е вероятность попадания на него будет

Рис. 3. Характеристика кривой нормального распределения:

®— ср ед неквадратическое отклонение (стандартное отклонение).

37

Функция распределения E(x) случайной величины графически^ может быть построена с помощью соотношения

F (х) = Р (Х<.х) —Р (—о о < Х < х ) =

Среднеквадратические отклонения на практике часто исполь­ зуются для определения границы области отклонения случайной величины.

Если случайная величина подчиняется нормальному закону распределения, можно показать, что вероятность отклонения слу­ чайной величины от своего математического ожидания не более чем на а равна 62,27%, не более чем на 2а — 95,45%, не более чем на За — 99,73%, то есть

Р { \ Х - т х\ ^ За} =99,73% .

Близость к единице величины, соответствующей За (правило трех а), указывает, что нарушение этого правила наблюдается в одном случае из трехсот.

Логарифмически-нормальное распределение

Логарифмически-нормальное распределение широко использу­ ется в теории надежности для описания опытных данных о дли­ тельности безотказной работы различных элементов. Интенсив­ ность отказов (неисправности) элементов, подчиняющаяся этому распределению, вначале возрастает до некоторого максимального значения, а затем при t->-оо убывает до нуля. Данное распреде­ ление как и распределение Вейбулла применяется при описании усталостной прочности материалов. Этим распределением можно также описывать данные об отказах тех элементов, скорость из­ носа которых с течением времени уменьшается.

Если X случайная величина и lg(X —а) подчиняется нормаль­ ному закону распределения с математическим ожиданием тх и среднеквадратическим отклонением ох, то случайная величина имеет логарифмически-нормальное распределение с функцией плотности распределения:

l g [( x ~a ) ~m x Y2

38

Рис. 4. Плотность логарифмически-нормаль- ного закона распределения.

Параметры а, тх и ох этого распределения связаны соотно­

где ai и аг — первые два начальных момента логарифмическинормального распределения;

г]— действительный корень уравнения т]3+ З р —yi = О".

Кривая плотности логарифмически-нормального распределения с т ж= 0,46 и ох= 1 показана на рисунке 4. При х^.а функция плотности распределения равна нулю.

Экспоненциальное распределение

В практике расчетов надежности исключительное значение имеет экспоненциальное распределение.

Функция распределения непрерывной случайной величины, под­ чиненной показательному, или экспоненциальному, закону, имеет вид:

39