книги из ГПНТБ / Баясанов, Д. Б. Автоматизированные системы управления трубопроводными объектами коммунального хозяйства

где max — максимум, взятый по тем точкам сетки, по которым сум

д

мировались уравнения (3.8).

Итак,

вым для значений uh в точках сетки, не лежащих на оси t. Это неравенство означает устойчивость разностного урав­

малое изменение решения uh.

Можно сказать, что неравенство типа (3.10) сохраняется, если т < ih , т. е. устойчивость разностного уравнения (3.6) имеется и в этом случае. Рассмотрим теперь сходимость

разностного уравнения как следствие его устойчивости. До­

кажем, что при т — h решение uh из уравнений (3.6) и (3.7)

стремится к решению щ из уравнений (3.4) и (3.5). При этом

используется только равенство (3.10), т. е. устойчивость

условиям), имеющие место для всякой гладкой функции, —

аппроксимация дифференциального уравнения (3.4) и на­

чальных условий (3.5) разностным уравнением (3.6) и на­

Bj (х, h). Из неравенства (3.10), примененного к функции

140

решения функции ut из уравнений (3.6) и (3.5) не имеет мес­ та. Это указывает на неустойчивость разностного уравне­

ния (3.6) при любых значениях г > 1. При величине г,

з

равной ^ , неустойчивость уравнения (3.6) установлена выше.

Таким образом, неустойчивое разностное уравнение

может оказаться и непригодным для численного решения

дифференциального уравнения не только из-за сильного

влияния ошибок округления, о чем подробно говорилось

вначале, но и из-за отсутствия сходимости решения uh раз­

ностного уравнения к решению щ дифференциального урав­

нения при измельчении сетки. Сущность установленной

связи между устойчивостью и сходимостью легко усмотреть

из доказательства следующей теоремы.

раниченные в совокупности: для любой функции f из пространства

ния правой части. Тогда решение ип уравнения А п ип = f стремится к решению уравнения А и = /: lim || и — u n \\ v = 0*.

П-+0О

Этим ограничим краткое изложение некоторых матема­

тических методов решения задач управления системами, описываемыми линейными и нелинейными уравнениями в ча­ стных производных, которые получили распространение

впрактике численных исследований прикладных инженер­ ных задач. Эти методы позволяют сравнительно просто пе­ рейти к использованию ЭЦВМ для решения вышеуказанных

задач в автоматизированных системах управления комму­ нальными хозяйствами, в составе которых имеются объек­

ты с распределенными параметрами.

*Доказательство приведенной теоремы читатели могут найти

вкниге «Об устойчивости разностных уравнений» (В. С. Рябенький,

А. Ф. Филиппов. М., Гос. издат. технико-теоретич. литературы.

1956).

141

§ 3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ ЭЦВМ

Различные задачи управления, связанные с динами­

ческими процессами в контролируемых АСУ объектах, целе­ сообразно решать расчетным путем при помощи вычисли­ тельных устройств, использование которых для моделиро­

вания этих режимов не встречает заметных трудностей.

Для этих целей могут быть применены как ЭЦВМ, так и

ЭВМ аналогового непрерывного действия. Использование

ЭЦВМ для решения вышеуказанных задач относится к об­

ласти математического моделирования. Математические

модели состоят из элементов, которые имеют математическое описание, аналогичное описанию реальных систем, и по­

зволяют моделировать последние по частям, что нередко

облегчает решение поставленной задачи. Быстродействие,

широкий диапазон области применения, сравнительная

легкость перехода от решения одних задач к другим, высо­

кая точность обеспечилиметодам математического модели­ рования широкое распространение в различных отраслях науки и техники, включая и АСУ трубопроводных хозяйств.

Как уже отмечалось выше, математические модели можно рассматривать как различные варианты вычислительных операций, в которых исходные математические зависимости, описывающие моделируемый процесс, заменяются соответ­

ствующими зависимостями между так называемыми машин­

ными переменными. По представлению переменных вели­

чин вычислительные машины можно подразделить на два

класса: цифровые и непрерывного действия. ЭЦВМ и пред­

ставляют собой моделирующие дискретные (цифровые)

том применения их для расчета и моделирования процес­ сов в сложных больших системах, следующие. Цифровые вычислительные устройства обладают большой памятью

и неограниченно высокой точностью. Непрерывные величи­

ны здесь облегаются в дискретную форму, что иногда бы­ вает неудобным. Цифровые машины обычно намного слож­

нее аналоговых. Быстродействие и большая память ЭЦВМ,

позволяющие во многих случаях переходить к решению, весьма сложных задач, служат основой их использования

в АСУ. Именно быстродействие ЭЦВМ дает возможность за

приемлемое время производить сравнительно большое чис­ ло весьма сложных расчетов задач управления в АСУ.

142

Универсальность ЭЦВМ позволяет автоматизировать до

некоторой степени любой мыслимый процесс построения

ианализа возможных вариантов моделей технологических

ипроизводственных процессов.

Все эти преимущества ЭЦВМ послужили тому, что они

получили самое широкое применение в АСУ различных от­

раслей народного хозяйства, и в частности отраслей ком­

мунальных систем. Учитывая, что методика расчета и моде­

лирования нестационарных процессов в трубопроводах

является основой для решения задач управления й оптими­

зации трубопроводным хозяйством в коммунальных ком­

плексах, ниже рассмотрены и описаны математические

иприкладные аспекты проблемы расчета и моделирования этих объектов в АСУ с применением ЭЦВМ.

Задачи расчета и моделирования нестационарных про­

цессов в трубопроводах являются довольно сложной вы­ числительной проблемой даже на сегодняшний день, когда

вАСУ получили широкое применение быстродействующие

ЭЦВМ, которые намного расширили рамки применимости

иреализации математических методов в этой области ком­

мунальных хозяйств. С самого начала следует отметить,

что сложность решения затронутой проблемы заключается

не только в большой трудоемкости самих расчетов, но и в от­

носительной сложности самого математического аппарата,

используемого для анализа. Почти всегда требуется оценка еще и точности получаемых выбранным математическим методом результатов расчетов задачи,-Анализ погрешности численных решений является одним из актуальнейших направлений развития вычислительной математики.

Общие аналитические оценки погрешности того или иного численного метода решения нередко являются сильно

завышенными для практического применения принятого

метода. Обычно их рассчитывают, как правило, для очень широкого класса задач, а решить ту или иную конкретную проблему можно с требуемой точностью при использовании намного более грубых схем, чем это требуют точные оценки погрешностей принятого метода. ЭЦВМ сокращает при этом

время операции на машине в сотни раз. Поэтому весьма ши­

рокое распространение получил машинный эксперимент,

когда одна и та же-прикладная задача решается численным

методом несколько раз с различной величиной шага вы­ числений, а точность расчета оценивают путем сравнения

различных решений между собой и с результатами данных машинного эксперимента. Строгого математического обо­

143

снования используемых приемов сравнения для большинст­ ва задач пока не существует, и достоверность оценки по­ грешности часто зависит от опытности экспериментатора,

производящего расчет, точнее, от его интуиции. Поэтому

инженеру, производящему расчет той или иной задачи

управления в АСУ на ЭЦВМ, необходимо не только зна­

ние способа расчета, но и глубокое понимание сути исполь­

зуемого числового метода.

Как уже отмечалось выше, современные трубопровод­ ные системы коммунальных хозяйств представляют собой

сложные структуры, состоящие из многочисленных взаимо­

связанных звеньев. Объединение этих трубопроводов соз­

дает лучшие предпосылки для оперативного снабжения

холодной и горячей водой, паром и газом отдельных райо­

нов городов, хотя и значительно усложняет процесс управ­ ления, даже с учетом внедрения АСУ, такой системой, где

в первую очередь ставятся задачи технико-экономического обоснования эксплуатации этих комплексов на оптималь­ ных производственных и технологических режимах. Это

и выдвигает требования моделирования, расчета и оптими­

зации как статических, так и (в большей степени) динами­ ческих режимов трубопроводов. Учитывая, что любая тру­ бопроводная система — это прежде всего динамический объект с нестационарными процессами, для получения бо­ лее реальных и точных информационных данных об этих

режимах здесь необходимо учитывать их динамику. Осно­ вой этих моментов и являются различные численные методы расчета гидравлических параметров описываемых систем.

Известно, что расчет и моделирование таких режимов

в трубопроводах требует большого количества вычислений,

а точность выбора лучших технико-экономических показа­ телей определяется числом рассмотренных вариантов. Оп­ тимизация же работы трубопроводов при управлении не­ стационарными режимами в них при наличии АСУ пред­ ставляет собой серьезную и трудоемкую научную, инженер­

ную и технико-экономическую математизированную про­ блему.

Теория и практика расчетов и управления стационарными

установившимися режимами в гидравлических системах ком­ мунальных хозяйств разработаны весьма полно и для оди­

ночных трубопроводов с успехом применяется в практике.

Эти задачи, однако, весьма усложняются, когда сталкиваем­

ся с необходимостью их решения применительно к слож­

ным закольцованным трубопроводным системам. Именно

144

здесь и возникает необходимость применения для модели­

рования реальных производственных и технологических

процессов с целью решения задач оптимального управления

в АСУ быстродействующих электронно-цифровых вычисли­ тельных машин. Для этого уже разработаны алгоритмы

и типовые программы, создана база математического обеспе­

чения АСУ, позволяющая решать задачи управления с по­

мощью методов математической теории оптимальных реше­ ний, обеспечивающих оптимизацию вышеуказанных про­

цессов на ЭЦВМ. Это новое направление в математике объе­

диняет различные виды программирований (линейного, вы­

пуклого, динамического, эвристического и геометриче­

ского), теорий оптимальных процессов, игр, статистических

решений, методы Монте-Карло, положения теории исследо­

вания операций и операционных систем и т. п. Продолжают­

ся поиски новых решений для вышеуказанных задач, кото­

рые в максимальной степени учитывали бы их специфику

и полностью охватывались бы этими новыми методами.

Данные результатов гидравлических расчетов и модели­ рования стационарных процессов в трубопроводных систе­ мах весьма важны. Однако разработка новых методик, ал­ горитмов и программ решения этих задач в сложных трубо­ проводных системах при помощи ЭЦВМ является лишь составной частью обширной программы создания матема­

тического обеспечения АСУ коммунальных хозяйств. Учи­ тывая неизбежность неточностей в задании исходных дан­ ных информации, а также нестационарность реальных про­ цессов в трубопроводах, можно считать, что получаемые решения и моделирование стационарных задач на ЭЦВМ имеют ценность как начальные эталонные, т. е. отправные

для дальнейших расчетов и моделирования сложных ком­

плексов. Для решения поставленных задач в целом необхо­ димо учитывать и динамические особенности гидравли­

ческих режимов в трубопроводах.

Как уже отмечалось в предыдущих параграфах, при­ ходится сталкиваться с определенными трудностями, свя­

занными с отсутствием общепринятых законченных поло­ жений и методики расчета и моделирования неустановив-

шихся гидравлических процессов в трубопроводах, пригод­

ных для решения реальных технических задач управления

в АСУ. Дело в том, что, как уже отмечалось выше, общих решений систем нелинейных дифференциальных уравнений,

описывающих нестационарные процессы в гидравлических

трубопроводных системах, пока не разработано. Сущест-

145

вующйе приближенные аналитические методы решения этих

уравнений не могут претендовать на универсальность и при­

годность для анализа всех возникающих задач, связанных с вопросами управления закольцованных и взаимосвязан­ ных трубопроводов.

Динамические особенности гидравлических процессов в трубопроводах в принципе можно оценить при помощи

физического эксперимента на реальных объектах. Но это

сопряжено с большими трудностями, и не всегда возможно,

учитывая то, что рассматриваемые продуктовые системы

коммунальных хозяйств являются строго режимными соо­

ружениями, нарушения в работе которых недопустимы.

Кроме того, повышающаяся сложность закольцованных

трубопроводных систем в большинстве своем не позволяет

однозначно установить роль и влияние того или иного фак­

тора и параметра на общий переходный процесс в системе. Поэтому здесь еще больше возрастает роль математического моделирования описываемых объектов на ЭЦВМ.

Следовательно, дальнейшее изложение материала по­ строим в этом аспекте и, в связи с небольшим объемом моно­ графии, в качестве примера для описания возьмем только

систему городских газопроводов. Наиболее эффективное

решение вопросов управления режимами газоснабжения

может быть достигнуто при полной информации об основ­ ном управляемом процессе — неустановившемся движении газа в распределительных газопроводах низкого, среднего и высокого давлений. Этот процесс обусловливается часо­ вой неравномерностью газопотребления, а также изменения­ ми давлений газа на входе системы. Режим неустановившегося течения газа характеризуется изменением во времени

основных параметров его в газопроводе: скорости, давления,

плотности.

Известно, что уравнения, описывающие одномерное

неустановившееся течение газа по горизонтальному трубо­

проводу, составленные из предположения наличия условий

постоянства распределения скоростей потоков и давлений

по сечению газопровода, имеют следующий вид:

146

где х —'координата длины; t — координата времени; с2 = ^ —

квадрат скорости звука в газе; Р — давление газа; g — ускорение силы тяжести; Z — коэффициент сжимаемости; R —• газовая по­ стоянная; Т — абсолютная температура; i — энтальпия (теплосо­ держание); А — термический эквивалент работы; X — коэффициент гидравлического сопротивления; р — плотность газа; v — скорость движения газа в газопроводе; D — диаметр газопровода.

Первое равенство (3.11) называется уравнением Движения

d(pv)

газа, член которого ^ у показывает изменение расхода

в динамике и характеризует силы инерции движущегося

газа. Член определяет уменьшение давления от трения

по длине газопровода в статике и в динамике. Второе урав­ нение системы (3.11) является уравнением неразрывности газового потока для одномерного течения газа, и его выво­ дят на основании закона сохранения массы для сжимаемой

среды. Третье и четвертое равенства системы соответственно

являются уравнениями состояния и энергии. Из системы

уравнений (3.11) в принципе и определяют величины Р,

р, v и Т.

' Рассмотрим систему неустановившегося течения газа, определяемую Р и pv для малых изменений температуры, которыми можно пренебречь и считать движение изотерми­ ческим, т. е. Т = const. Для этого случая будет справедли­ ва следующая система уравнений:

Система уравнений (3.12) является сложной нелинейной системой дифференциальных уравнений в частных произ­

водных. Она нелинейна из-за наличия нелинейного члена

Линейной она будет только тогда, когда течение газа

ламинарно, для которого потери напора пропорциональны первой степени скорости. Решение нелинейных уравнений

в частных производных является в принципе выполнимым,

но очень трудным процессом. Здесь возможны решения для отдельных частных случаев методами численного инте­

грирования. В общем виде эту систему не решают. Для реше­

ния системы уравнений (3.12) используют различные спо­ собы их упрощения. Наибольшее распространение получи-

147

ли методы усреднения по скорости, пренебрежения скорост­ ным напором и его производными по длине, усреднения по

плотности. Необходимо отметить, что для газопроводов

низкого давления, где имеются сравнительно небольшие пе­

репады давления, для решения задач неустановившегося течения газа может быть применен метод линеаризации ос­ реднением скорости по длине газопровода, предложенный И. А. Чарным. Следуя этому методу, можно принять мно-

Xv

житель -=- постоянным и равным его среднему значению по

длине и времени,т. е.

В результате такой линеаризации получают следующую си­

стему линейных дифференциальных уравнений в частных производных:

Такая линеаризация допустима только для решения задач

при условиях течения со скоростью не более 100— 150 м/сек и меньше. Обычно в городских газопроводах такие скорости

не достигаются.

Систему уравнений (3.14) в настоящее время интегри­ руют следующими способами: модификациями классичес­

ких методов Фурье-Бернулли, методами операционным

и контурного интегрирования в плоскости комплексного

переменного частоты со. Успех интегрирования системы

уравнений (3.14) тем или иным способом зависит от поста­ новки задачи, т. е. от вида начальных и граничных условий. Так, один из наиболее простых способов — операционный метод — позволяет реализовать решение задач в тех слу­ чаях, когда получаемые изображения имеются среди таблич­

ных данных. Если же получаемые изображения не находятся

среди табличных данных, то переход к оригиналам может явиться самостоятельной математической задачей, требую­

щей специального метода решения.

Проанализируем систему (3.14) частотным методом, ши­

роко применяемым в теории автоматического управления и регулирования. Здесь для оценки влияния параметров

148

газопроводов и режимов течения газа на динамику процес--

сов нет необходимости располагать решением системы урав­ нений (3.14). Исходным материалом для анализа линейной

системы уравнений (3.14) частотным методом служит ее частотная характеристика.

Учитывая, что расход газа по массе в любом рассматри­

ваемом сечении газопровода по его длине G = vpgF, из

системы уравнений (3.14) получим:

этого продифференцируем уравнение (3.16) и подставим

значение — ^ —- в уравнение (3.17). В результате получим равенство:

откуда

Это дифференциальное уравнение второго порядка для дав-

ленйя Р по неизвестной переменной х. Характеристическое

уравнение для этого дифференциального уравнения будет иметь вид:

149