книги из ГПНТБ / Баясанов, Д. Б. Автоматизированные системы управления трубопроводными объектами коммунального хозяйства

а его корни

Отсюда решение системы уравнений (3.16) и (3.17) следую­

щее:

P(s, х)С1е ~ т , х + С2 е~*~т ‘ х,

где Cj иС2 — постоянные интегрирования, определяемые граничны­ ми условиями.

Выражение C2e+mzX характеризует процессы в газо­

проводе, связанные с движением отраженной волны давле­

ния от его конца к началу. Наличие отраженных волн дав­ ления в распределительных, газовых сетях может создать

сравнительно трудные условия для аппаратуры регулиро­

вания и управления. На всем диапазоне суточного газопот-

реблеиия наиболее вероятным моментом возникновения

отраженных волн является утренний скачок (пик) расхода газа, скорость нарастания которого может быть выражена

пик расхода газа; Qnp— предпиковый расход газа; Qcp. сут— среднесуточный расход газа); At — время нарастания пико­

вого расхода.

И. А. Чарным была решена задача о гидравлическом

ударе вязкой жидкости, аналитическое выражение которой

позволяет построить графики повышения давления во вре­

мени у регулирующего клапана.после гидравлического уда­ ра. Задача о гидравлическом ударе предусматривает мгно­

венное закрытие клапана в каком-либо сечении трубопро­

вода х = I, при этом в сечении х = 0 давление постоянно. Графики переходных процессов,построенные по аналити­ ческому выражению, полученному И. А. Чарным, показы­ вают, что уже при критерии а ^ я, вследствие значитель­ ного сопротивления трубопровода, влияние отраженной от конца линии волны на динамику процесса практически от­

сутствует, в результате чего имеет место апериодический монотонный режим повышения давления у клапана без ди­

намического заброса относительно нового установившегося

значения. Критерий а определяют следующим выраже­ нием:

Ы

а = —

с

150

где k и с — коэффициенты, аналогичные коэффициентам k и с систе­ мы уравнений (3.15); I — длина рассматриваемого участка газопро­ вода.

В АСУ предусматривается поддержание постоянного дав­

ления в определенных точках газораспределительной сети

коммунального хозяйства. Здесь при утреннем скачке (пике)

расхода газа имеет место сравнительно резкое повышение

выходных давлений газорегуляторных пунктов. Такое по­

вышение давления, вызванное пиковым расходом газа,

можно сравнить с критерием а, полученным при оценке пе­

реходного процесса для гидравлического удара вязкой жидкости. Так как эти задачи аналогичные, то начальные

(нулевые) и граничные условия в обоих случаях совпадают,

а численное значение критерия а обобщает геометрические

параметры трубопровода и режим течения газа.

Для применяемого метода линеаризации — осреднения скорости по длине газопровода — используют выражение, предложенное И. А. Чарным для определения средней ско­ рости:

Т & — абсолютная температура газа; R — газовая постоянная; F — площадь поперечного сечения трубы.

Анализ показывает, что критерий а > л . Следователь­ но, даже при пиковом расходе газа, сопровождающемся сравнительно резким ударом в линии — увеличением давле­

ния на выходе ГРП, отсутствует волновой характер дина­

мики процессов. А это соответствует условию, когда потери на трение превосходят силы инерции, т. е. изменение скоро­ сти потока или расхода газа во времени при неустановившемся режиме в системах газораспределения очень незна­ чительно по сравнению с потерей давления на трение. Пре­ небрежение изменением этой скоростью во времени соот­

ветствует отбрасыванию члена ^ jgr в системе уравнений

(3.14), и в этом случае, как будет показано ниже, последнее

приводится к уравнению теплопроводности. Исследования показали, что при скачке расхода газа пренебрежение чле-

ном Щ : в системе уравнений (3.14) вносит максимальную

151

погрешность до 12— 15% отклонений кривых переходных процессов с учетом и без учета инерционных свойств систе­

мы.

Описанное выше исследование характера переходных

процессов в системах газораспределения может быть сравне­

но с решением задачи о гидравлическом ударе вязкой жид­

кости, аналогией которого является наиболее тяжелый ре­ жим, имеющий место только при утреннем скачке расхода

газа. Необходимо иметь в виду также и то, что гидравли­ ческий удар предусматривает мгновенное закрытие клапана

в то время, когда даже пиковый расход газа нарастает при­

мерно 25—30 сек.

Изучение режимов часовой неравномерности газопотребления показывает, что кроме утреннего скачка расхода газа на всем диапазоне суточного газопотребления расходы ме­ няются плавно, а это приводит к еще большему затуханию волн давлений газа в системе, чем это имеет место при гид­

равлическом ударе. Таким образом, реальные режимы газо­

потребления плавно изменяют давления в газовых сетях,

что позволяет рассматривать систему уравнений (3.14) без

d (pv)

инерционного члена — или же в решении системы урав­

нений (3.16) и (3.17) не учитывать член Сге + т*х, который ха­

рактеризует процессы, связанные с движением отраженной

волны от ее конца к началу. В этом случае будем иметь:

Рассмотрим первоначально уравнение (3.18), когда k =

= 0, т. е. при полном пренебрежении сопротивлением в га­

152

заменив s = jсо, а т = | , где т — время пробега волны по

участку I, уравнение неустановившегося движения газа

(3.18), решенное операторным методом, можно представить

в виде

Это выражение по своей форме соответствует амплитуд­ но-фазовой характеристике звена с чистым запаздыванием.

График полученного выражения (3.19), так же как и график амплитудно-фазовой характеристики звена с чистым запаз-

Рис. 23. График ампли­ тудно-фазовой характе­ ристики с чистым запаз­ дыванием

дыванием при подаче на его вход периодических колебаний по закону Р (/со) = Р 0е'ш (рис. 23), будет представлять

собой кривую, навивающуюся на окружность г — 1. Гармонические колебания у клапана ГРП (х = I) в этом

случае изменяются по закону Р г (I, /со) = Р 0е1'а<-1~ х). Сле­

довательно, неустановившееся движение газа без учета фактора трения при отсутствии отраженных волн не харак­

теризует емкостные свойства газовой сети. При этом закон

что в реальных системах газоснабжения городов практи­

чески не наблюдается. В этой связи следует отметить, что в некоторых характерных случаях, когда трение в системе

мало, членом уравнения в исходной системе (3.14)

пренебрегают. При этом независимо от инерционных свойств объекта (имеется или отсутствует волновой характер газо-

передачи в системе) для сохранения физического смысла закона движения в первом уравнении системы (3.14) учи-

153

анализе режима городских газовых сетей среднего и высо­

кого давления опускают, то при рассмотрении режима рабо­

ты распределительной сети низкого давления, несмотря на

то что в этих сетях перепады давлений значительно меньше, чем в газопроводах среднего и высокого давления, член

имеются или отсутствуют отраженные волны в системе и

независимо от влияния количественных соотношений члена

жение передаточной функции и амплитудно-фазовой харак­ теристики газораспределительной сети низкого давления, как основы системы газоснабжения города:

Преобразуем изменяемую от частоты часть корня харак­

со

По формуле Муавра дляизвлечения корней комплексных чисел справедливо равенство:

154

Подставляя выражение (3.23) в выражение (3.20) и прини­

мая во внимание, что в у s2 + ks оператор s заменен на

/0 1 , получим амплитудно-фазовую характеристику распре­

(3.24)

Рис. 24. Характеристики

а — амплитудно-частотные; б — фазо-частотные

После преобразования (3.24) получим окончательное выра­ жение для амплитудно-фазовой характеристики распреде­ лительной сети низкого давления в следующем виде:

Сравнение амплитудно-фазовых характеристик сети, т. е.

выражение (3.25) с (3.19), дает наглядную картинувлияния

фактора трения на их вид. На рис. 24 соответственно изоб­ ражены в полулогарифмических координатах амплитудно-

частотные и разностные фазо-частотные характеристики распределительной сети низкого давления для характерных параметров и режимов течения газа, когда k — 1,5 сек-1,

155

т = 2 сек (кривые /) и k — 2 сек-1, т = 6 сек (кривые 2).

Ординаты разностно-фазо-частотной характеристики яв­

ляются разностью между фазами выражений (3.25) с учетом трения и (3.19) без учета фактора трения при одних и тех же частотах. Кривые 1 и 2 (рис. 24) показывают влияние

параметров и режимов течения газа распределительной сети

низкого давления на амплитуду и фазу давлений при раз­

личных частотах типовых возмущений (неравномерность

газопотребления по часам суток), действующих на нее.

Анализ разностных фазо-частотных характеристик

(рис. 24) показывает, что вначале с ростом действующих частот типовых возмущений в системе сдвиг фаз между ха­

рактеристиками с учетом и без учета члена с трением уве­

личивается, достигая различных значений максимумов

при различных частотах в зависимости от значений 4 и г

распределительной сети низкого давления. Далее эта раз­

ность уменьшается и при определенных частотах типовых

возмущений, действующих на распределительную сеть,

влияние члена с трением на сдвиг фаз исчезает, т. е. при

этих частотах сдвиг фаз при наличии членов трения и без него в исходных уравнениях одинаков. Это можно показать

то при достаточно больших частотах типовых возмущений, действующих на распределительную сеть, амплитудно­ фазовая характеристика [выражение (3.25) ] будет соответ­ ствовать следующему виду:

Из этого следует, что график зависимости (3.26) при доста­

точно больших частотах со представляет собой кривую, на- zk

вивающуюся на окружность с радиусом, равным е 2.

156

В связи с этим существенным является знание частот­

ных характеристик типовых возмущений, действующих

на распределительную сеть низкого давления. Спектр час­ тот со = 0—22 мин-1, действующий на эту сеть, определяет возможную область колебаний частот регулируемой вели­ чины давления и характеризует динамические свойства распределительной сети низкого давления. В пределах этого спектра частот импульс давления по распределитель­

ной сети передается почти без искажения. Однако картина

резко меняется, если рассматривать аналогичные явления

в газораспределительных сетях среднего и высокого дав­

ления, где пренебрежение инерционным членом в исход­ ной системе уравнений вполне допустимо.

Перейдем теперь к вопросу программирования постав­ ленных задач на ЭЦВМ. Прежде чем обратиться к изложе­ нию методов расчетов переходных режимов в газопроводах с помощью ЭЦВМ, еще раз приведем дифференциальные

уравнения газопередачи в этих системах и преобразуем их

к виду, наиболее удобному для решения конкретных задач

управления в АСУ. Эти уравнения без учета инерционного

члена можно записать в следующем виде (аналогично может

быть постановлен вопрос при неучете и конвективного

члена в уравнениях):

д Р Xpw2

При практических расчетах обычно имеют дело с давлением и

расходом газа. Произведем замену в системе уравнений (3.27) и (3.28) с учетом равенства:

На практике обычно расход газа измеряют его объемом,

проходящим через поперечное сечение трубы в единицу

времени, приведенным к условиям: давлению 1 ата и тем­

пературе 20° С. Условимся буквой Q обозначать расход

газа, измеряемый в тыс. м3/ч:

RTо s

157

где р0 = 1 эта; То = 293° К; s — площадь поперечного сечения тру­ бы, л2.

Переходя при измерении давления от кГ/м2 к ата, мож­

но привести систему уравнений (3.27) и (3.28) к следующе­ му виду. Первое уравнение системы (3.27) умножаем на р = рgRT. В результате имеем:

Однако для учета направления движения газа вместо вели­

чины Q*2 записываем величину Q* |Q*|, что позволяет рас­ сматривать движение газа по трубе в обоих направлениях.

•Таким образом, в системе уравнений (3.31) давление Р измеряется в ата, расход газа — в тыс. м3/ч. Следует отме­ тить, что при расчете коэффициентов а и Ь необходимо ис­

пользовать размерности, указанные в начале. В тех слу­ чаях, когда участок газопровода состоит из нескольких па­ раллельных (га) ветвей, очевидно, что перепад давления определяется потоком газа в одной нитке, составляющим 1/га части общего потока газа на участке. Поэтому зна­ чения коэффициентов а и Ь для участка, состоящего из га па­ раллельных ветвей, определяют формулами:

%__1__

В случае линеаризированных уравнений, независимо от

способа их линеаризации, эти соотношения можно записать так:

дР „

—— =aQ;

дх

(3.32)

д Р _ dQ

dt дх

158

Для простоты рассуждения, исключая из уравнений (3.32) расход Q, ограничимся анализом уравнения теплопровод­

ности. При этом полагаем также, что произведена замена переменных Р, t, х в таком аспекте, что коэффициент при.

д 2Р оказывается равным единице. При этом уравнение

теплопроводности будет иметь вид:

х = kh в момент времени t, a P h — то же значение в момент

Используя конечно-разностные выражения, можно ле­

вую и правую части уравнения (3.33) записать приближен­

но так:

Выражение (3.34) можно рассматривать в качестве ап­

проксимации частной производной по величине t как в мо­ мент времени t, так и в момент времени t + At. Для ясности

назовем их для этих двух случаев конечными разностями,

взятыми «вперед» и «назад». В первом предположении, при­ равнивая правые части выражений (3.34) и (3.35), получаем так называемую явную разностную схему счета:

Во втором же случае, используя соотношения (3.34) и (3.36), получаем неявную разностную схему:

159