книги из ГПНТБ / Баясанов, Д. Б. Автоматизированные системы управления трубопроводными объектами коммунального хозяйства
.pdfСогласно рассмотренному выше алгоритму можно сформули ровать следующие основные этапы вычислительного про
цесса:
1) |
по формуле |
(3.93),Ч используя |
соотношения (3.94) |
||||||||
в качестве |
начальных, |
у определяем |
а г+1, |
|Зг+1 |
(i = |
||||||
= 1 . 2 , ......... |
п х— 1 ); |
|
|
используя |
соотношение (3.110) |
||||||
2) |
из уравнения (3.96), |
||||||||||
в качестве |
начального соотношения, определяем a/_pi |
(5)+i |
|||||||||
(i = |
1 , 2 , ...... , п 2 — 1); |
|
|
|
|
|
|
||||
3) |
по формуле |
(3.105), |
используя |
(3.113) |
в |
качестве |
|||||
начального соотношения,^определяем (U 2)^ h+1 (/ |
= |
п 2 — 1 , |
|||||||||
п2— |
2, ... |
2, |
1, |
0); |
|
|
|
|
|
|
|
4) используя {U x)nt, fe+1 |
= |
(U 2)0i ft+1 |
в качестве |
началь |
|||||||
ного соотношения, |
из |
уравнения (3.102) находим (U x)it h+1 |
|||||||||
(i = |
п х — |
1 , |
— 2 , |
..., |
2 , |
1 , 0 ). |
|
|
|
|
|
|
§ 5. ПРОБЛЕМА ФУНКЦИОНАЛА В ЗАДАЧЕ |
|
|
|
|||||||
|
АВТОМАТИЗИРОВАННОГО УПРАВЛЕНИЯ |
|
|
|
|||||||
|
Для |
структуры |
типа |
автоматизированной |
системы |
управления трубопроводными предприятиями коммуналь
ных хозяйств характерны многомерность, многосвязанность,
взаимообусловленность, сочетание подструктур автомати
зированного и автоматического действий (как во всякой
человеко-машинной системе), наличие неформализованных
подструктур и элементов с остаточной неопределенностью, иерархический принцип организации подструктур и т. п.
Будучи многомерными, анализируемая система АСУ и
процессы в ней могут быть описаны при помощи векторных
временных числовых последовательностей £1( £2, |
..... , l h или |
|
же векторных функций времени £ (t) — |
(t), |
g 2 (t), ..., |
•••,} и операторно-матричных соотношений между ними.
Это значит, что если на входе i-й подструктуры по I-му виду
работ в /-й структуре 6 -й подсистемы описываемой системы
АСУ (в дальнейшем такой элемент |
будем |
называть [ i — |
|
— l — j — & 1-элемент) действует конечной |
длины векторная |
||
функция времени 1 (t) = {gx (i), |
(t), |
..., |
lN (t)} и в ре |
зультате функционирования элемента возникает вектор
выходных координат ф (t) = {фх (t), ф2 (i), ...... , |
ф^ (t)} |
|
длины |
М, совпадающей и отличающейся от размерности |
|
N, то |
оператор-матрица [i — I — / — 61-элемента |
будет: |
|
q ( t ) = A t ¥ (t), |
(3.114) |
190
где A t= \ A t t, A u , ... , A , J ,
Ы * ) = А и 1т(1);
4>* |
( t ) = A tt | r (0; |
(3.115) |
|
|
yM(t)=Ath l T (/).
Конкретный вид оператора ф (t) отражает свойства многосвязанности и взаимообусловленности элементов системы,
а также наличие в ее составе независимых, иначе, авто
номных структур, описываемых блочными операторами (рис. 28). Так, например, рассматривая комплекс вычисли
тельных работ, обеспечивающих формирование многоднев
ных прогнозов в подсистеме оперативного управления АСУ
трубопроводным хозяйством, вектор входных координат
подсистемы формируется на основе анализируемых отклоне
ний от плана тех или иных процессов и учитывает действие
на эти процессы многих факторов, а оператор-матрица А является здесь набором операторов экстраполяции. Век
тор на выходе U — I — j — k ]-элемента имеет составля
ющими прогнозируемые значения отклонений от плана про
цесса на определяемом интервале времени в пределах теку
щего и планового периодов.
Наличие в описываемой системе АСУ неформализован
ных подструктур обусловливает постановку задач иденти
фикации, иначе — математического моделирования та ких подструктур и их элементов. При решении этого ком
плекса задач не только определяются или уточняются па
раметры системы, но и моделируются на основе принятия
некоторых гипотез относительно применяемого класса мо
делей самих подструктур системы АСУ. На самом деле, ана лиз объектов городских коммунальных хозяйств в реаль ных условиях достаточно часто сталкивается с ситуацией, когда требуется определить динамические характеристики конкретного производственного объекта, составить его
математическую модель, а структура взаимосвязей этого
объекта неизвестна или труднодоступна. О ней лишь можно делать в большей или меньшей степени достоверные пред
положения. Доступными для наблюдений и регистрации
данных являются некоторые отдельные точки структуры, например входы и выходы скалярные или векторные. Тогда
требуется идентифицировать изучаемую производственную
191
структуру или часть ее, в предположении, что на вход ее поступает некоторое изменяющееся во времени воздействие X (t), а на выходе регистрируется совокупность координат, т. е. векторная функция времени Y (t). Понятия «входа» и «выхода» в системах АСУ сохраняют многие основные черты этих определений, принятых в общей теории больших
Г
?,(t) У *)
V * )
У *)
Рис. 28. Структурная композиция (£—I—j — k) -элемента
систем. В дополнение можно лишь отметить, что этим си стемам в большей степени свойствен характер комбинирова
ния, проявляющийся в том, что пары «вход — выход» могут
оказываться самых разнообразных типов, например: чис ло — число, число — числовой вектор, числовой вектор — числовой вектор, набор векторов — набор векторов иной размерности, векторная временная функция — векторная временная функция иной размерности и т. д. В конкретных условиях возможны многие другие комбинации.
Итак,^ пусть требуется идентифицировать некоторый
входящий в структуру АСУ [i — I — / — k] |
- элемент |
как динамическую систему, на входах и выходах |
которого |
регистрируются процессы соответственно X (t) |
и Y (t). |
Оба процесса таковы, что почти все выборочные функции х (со, /), у (со, t) и (со, t) £ R х Т принадлежат гильберто
ву пространству L 2 действительных, интегрируемых в квад
192
рате функций и = и (/) от t £ T со скалярным произведе
нием (и, v) — J и (0 v (t) dt. Очевидно, что для выполнения
т
этого условия достаточно ограниченности интегралов квад ратов этих функций. Если искомый оператор [i — I —
/ — &]-элемента. линеаризуется:
Y ( t ) = j H ( t , T)X(T)'dT, |
(3.116) |
то для его определения могут быть применены некоторые
полные ортонормированные системы собственных функций самосопряженных операторов. Тогда в выражении (3.116)
интегральные ядра Н (t, т) могут быть представлены двумя
параметрическими интегралами, каждый из которых зави
сит от одного из процессов X (t) или Y (t) и от координат
ного базиса {кН (t, т)} оо.
Один из частных способов решения в классе. штурм-
лиувиллевских моделей имеет следующий вид. Пусть для
процессов X (t) и Y (t) с вероятностью, равной единице,
выполняется |
условие интегрируемости в |
квадрате на |
||
t£ |
[0, оо]. |
Кроме того, пусть задан дифференциальный |
||
оператор Штурм — Лиувилля: |
|
|
||
|
|
/ (L)— —L " + 9 ( 0 |
L, ^£[0, со] |
(3.117) |
с |
краевыми |
условиями: — L ' |
(0) — 0L (0) = |
0, q (t) — |
непрерывна. Тогда с вероятностью, равной единице, су ществует представление Х г (/) в виде суммы обобщенного ряда по собственным функциям ф (t, Xk) приведенного опе ратора I (Z) = XL при тех же краевых условиях:
оо |
|
^1 ( 0 = 2 j X i ( s)'P (s >Xh)ds<p (t,Xh)- |
(3.118) |
к о |
|
Необходимые выражения для системы интегральных пре
образований {кН (t, т))5° получаются с использованием тождественного по отношению к записи обобщенного ряда соотношения
(3.119)
и преобразований, сводящихся к следующему. Определяют
ся функции k x (t, т), называемые М. А. Неймарком ортогонализирующими ядрами и имеющие непрерывные произ
7 Зак. 665 |
193 |
водные до второго порядка включительно и являющиеся решением параболического дифференциального уравнения
д2 h (/, т) |
(Л т) - |
д2 (<, т) |
+ q (т) |
(3.120) |
|
dt2 |
|
5т2 |
при условиях
(3.121)
и
(3.122)
Получающийся результат позволяет воспользоваться вы ражениями координатных функций kX (t) через собствен
ные функции cp ( t , X k) дифференциального оператора (3.117)
для четных номеров, имеющих вид:
|
|
X ( t ) = f аА-1Я (/, |
% ) X 1 (x )dr = |
|
оо |
О |
|
|
t |
|
|
hh-i |
f |
[ Ф («. hk -i) V (r> Kh-i) |
du d s X x (r) d r |
о |
о |
|
|
и тогда |
|
|
|
(3.123)
Sl
для нечетных номеров:
оо
х| ф (S, Я2Й) ф (и, X2k) Х х (и) duds
о
и тогда
1 i
2 k H( t , T ) = ~ U J [б (/— e )_ * i(/, 5) ф ( 5Д 2й) ф ( т Д 2й) а 8. (3.124)
о
После определения системы интегральных преобразований {кН (t, x )}f решение задачи идентификации и статисти
194
ческого моделирования, в частности, достигается примене нием формул (3.116).
... Сочетание в изучаемой системе подструктур автоматизи
рованного и автоматического действия является определя ющим фактором в вопросах формирования критериев опти
мизации. Запись критерия J (х, и, /), где и — оптимизи
рующее воздействие, например, среднеквадратичного дей
ствия
7 = у j' [ x r (t) p x ( t ) + U T ( t ) Q u ( i ) ] d t - |
(3.125) |
для многомерной системы с автоматическим принципом
управления, движение которой возможно описать системой
дифференциальных уравнений:
х = А х + В и , х (t 0) = x 0 ; |
|
y = Gy, y ( t 0) = y0, |
(3.126) |
как правило, исходит из предположения, что процесс опти
мизации будет осуществимым и автономным. В системе же
типа АСУ коммунальных хозяйств при любой степени де
тальности математического моделирования сохраняются
неформализованные элементы и подструктуры, и гипотеза
автономности процесса оптимизации использована быть не
может. Здесь действует правило семантического прерыва ния оптимизируемых траекторий, причем оно может прои зойти как в результате функционирования внутренних эле
ментов данной подсистемы, так и в результате воздействия
перекрестных связей в АСУ. В частном примере, если в под
системе оперативного управления АСУ в качестве основного
принимают вектор целевых функционалов:
А)у = №оуг > Jo v z ’ • ■ • >^02/ж ) > |
(3.127) |
то физически реализуемым оказывается соответствующий семантический вектор-функционал:
= {[■ S*7]oy1, [>S*/]0y2, ... ,[5 у ] 0уж } . . . |
(3.128) |
Таким образом, семантический критерий
S * J |
к экстремуму |
(3.129) |
является совокупностью математической формулировки
цели J , достигаемой подсистемой, и правила S семантиче ских прерываний процесса оптимизации. При решении ча
7* |
195 |
стной задачи многодневных прогнозов в подсистеме опера
тивного управления оказываются полезными следующие
функционалы, минизирующие величину ошибки экстра
поляции:
в детерминированной модели экстраполяции:
1 |
т |
(3.130) |
J*.Дет (*, В, t) = — |
J Fr (/) Ре (0 dt, |
о
где е (/) — ошибка прогнозов;
в экстраполирующей модели, использующей сглаживающие
алгоритмы:
•Л>.сгл(*. м. *) = — | {[*(0 —x(0 ]r QU( 0 — *Wl + P«2 (0 ^,
о
(3.131)
где х (t) — процесс в предыстории; х (t) — оценка; Q — постоянная симметричная, положительно полуопределенная матрица; р — по стоянное число.
в статистической модели экстраполяции:
•й).стат (-Г, к, t ) = M j j ( х т Q x + u TR u ) rf/j, |
(3.132) |
где M — оператор математического фкидания.
Семантические прерывания учитывают многие факторы,
например, такие, как изменение требуемой точности экст
раполяции в зависимости от типов документов, в которых используются данные прогнозов, влияние на вычислитель ные операторы периодически возникающих корректиру ющих воздействий, связанных с изменением размеров и форм входных числовых последовательностей, а также
диапазонов определения настраиваемых параметров и др.,
учет поступлений запросов справочного характера, каса
ющихся прогнозов, и т. п.
Минимизация семантического функционала S^J осу
ществляется таким образом, что оптимизирующее воздей
ствие и (t) в течение всего времени оптимизации |
t0 ^ |
t ^ |
|||
^ tf |
может оказаться |
варьируемым |
между состоянием |
||
|
и1 = |
и (t) £ U (/), |
|
|
|
где U |
— некоторая заданная |
область включения, и и2 = |
и (t) |
:= 0. |
196
Интервал времени [/0, /,-I может быть случайным, когда tf = min (ть т2), Tj > t0 — фиксировано, а т2 = min X
X {И Х (t) (£ X } — случайно.
Следует отметить, что правило семантических прерыва
ний имеет существенное отличие от ограничений, имеющих
ся в постановке задачи оптимизации. Это правило не может
быть реализовано методами и средствами решения опти
мальных задач при наличии ограничений, когда процесс
оптимизации является автономным и осуществляется до конца без перерыва.
Учет нелинейностей в изучаемой системе приводит
к необходимости записей нелинейных критериев оптимиза
ции, имеющих для многих случаев вид
J = Y \ f (x - H y ) d t . |
(3.133) |
о
где Я — постоянная преобразующая матрица; f — сумма положи тельно полуопределенных однородных полиномиальных форм от разностного аргумента.
Хорошими вычислительными свойствами обладает так
же нелинейный критерий, в котором нелинейная функция
f (х, и, t) линейно |
разделима, т. е. представима в виде |
|||||||
fi (х, /) х + / 2 ( 0 |
и. |
|
|
|
|
|
||
|
В записи критерия оптимизации в сингулярной форме |
|||||||
помимо изменений целевого функционала |
на оптимизиру |
|||||||
ющей траектории учитывается также его |
состояние F на |
|||||||
границе области: |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Ч |
|
|
|
|
|
|
|
J |
= j |
L |
(х, |
и, t ) d t + F ( x (t/), tf ) , |
(3.134) |
|
|
|
|
^0 |
|
|
|
|
|
где |
|| и (О II |
< 1 , |
V t |
£ |
[to, |
tf\. |
|
|
|
Ограничивающие условия в задаче оптимизации, как |
|||||||
правило, имеют тип включений, когдах (t) £ X |
(t) и и (t)x |
|||||||
X |
£ U (t). |
Часто применяется также интегральный тип |
||||||
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
ограничений, когда |
f f [q (t), и (()] dt — |
k, в |
алгебраиче- |
|||||
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
ских моделях преобразуемый в матричную форму.
Большинство приведенных здесь записей функционалов является /-частями семантических критериев оптимизации
для систем типа АСУ коммунальных хозяйств. При пост роении вычислительных алгоритмов остаются пригодны-
197
ми многие модификации традиционных способов оптими зации (вычисление вариаций,- принцип максимума, мате
матическое программирование и др.).
Другим, не менее важным аспектом оптимального проек тирования-системы АСУ является учет остаточной неопре
деленности в системе. Технологические линии сбора, обра
ботки и анализа всех видов информации (числовой, тексто вой, справочной и т. п.) в системе АСУ характеризуются, с одной стороны, ограниченностью перерабатываемых объ
емов информации, с другой — эти линии контактируют
со звеньями, не поддающимися формализованному описа
нию, причем такие звенья имеются на любых, в том числе и
на верхнем, уровнях управления АСУ.
При таком рассмотрении критерии оптимизации стано
вятся стохастическими функционалами. Это происходит
от того, что координата х и оптимизирующее воздействие
и, входящие в выражение целевых функционалов, являют ся случайными процессами. В частности, достаточно часто
одно из слагаемых в схеме вычисления оптимизирующего
воздействия принимается случайным процессом, формиру
емым из «белого шума» при помощи линейного нестационар
ного обыкновенного дифференциального оператора. Кри
терии здесь могут вычисляться как математические ожида
ния от квадратических случайных функционалов.
Стохастические системы оптимизации во многих слу
чаях оказываются более экономичными, нежели соответ ствующие системы детерминированного типа, прежде всего потому, что сверхбольшие объемы перерабатываемой ин формации при расчетах в полностью взаимообусловленной системе оказываются просто неосуществимыми в требуемые сроки и с заданными уровнями затрат на работы по програм
мированию и на машинное время. Приближенные решения
стохастических задач оптимизации в системе АСУ объектов коммунальных хозяйств могут реформулироваться на эк вивалентной детерминистской основе. Это осуществляется путем раскрытия исходных записей целевых стохастических функционалов введением ковариационных членов и пере ходом от стохастических уравнений к уравнениям для первого и второго моментов. Причем если математическая
модель [i — I — ] — ^(-элемента является линейной и все
параметры независимы между собой и некоррелированы с входными и выходными последовательностями данных, то
форма исходного дифференциального уравнения сохраняет
ся и для математических ожиданий.
198
§ 6. ВЫБОР ЛОКАЛЬНЫХ КРИТЕРИЕВ УПРАВЛЕНИЯ В АСУ
Если рассматривать вопросы газоснабжения вообще
и в коммунальных хозяйствах городов в частности, то следует отметить, что возрастающие масштабы добычи,
транспортирования и распределения газа и задачи их прог
нозирования, ввиду большой эффективности использова
ния газа как топлива и сырья в народном хозяйстве, требуют обоснования критериев оптимального планирования и
управления сложными объектами газоснабжения. Опытра-
Рис. 29. Примерная структурная схема управления газоснабже нием
боты предприятий газовой промышленности и коммунальных хозяйств городов по новой системе планирования и эконо
мического стимулирования в условиях внедрения АСУ показал возможность значительного улучшения технико
экономических показателей процессов газоснабжения.
Автоматизированную систему управления здесь можно
рассматривать и как комплекс иерархически взаимосвязан
ных на основе глобального критерия общей сложной боль шой системы газоснабжения объектов с локальными крите риями функционирования подсистем. Рассмотрим возмож ную структурную схему управления газоснабжением (рис. 29). На высшей ступени управления системами газо снабжения должны быть решены задачи, связанные с топ ливно-экономическим балансом страны и установкой пла новых заданий по добыче, транспортированию и распреде лению газа в отдельных системах газоснабжения коммуналь ных хозяйств городов, уточнены характеристики террито
риальных связей между ними, оценены эффективность
географии добычи, трубопроводного транспорта и распреде
ления газа, составлены планы на разработку важнейших научно-технических проблем, определяющих технический