книги из ГПНТБ / Баясанов, Д. Б. Автоматизированные системы управления трубопроводными объектами коммунального хозяйства

Смысл названий явной и неявной разностной схемы очеви­ ден. Формула (3.37) позволяет непосредственно вычислить

любое значение Р к, если известны P k, P h~lt Pft+1. Из

соотношения (3.38) этого таким простым способом сделать

этих условиях в предположении, что величины Р0 и Р п

известны. Это будет соответствовать случаю задания не­

смешанных граничных условий для уравнений (3.33). За­

даются значения Р при л: =- 0 и х = 1 как явные функции времени. Несколько преобразуем уравнение (3.38):

значение Pft_a в уравнения (3.39)

Сравнивая эти выражения для величины Р к с выражением

160

найдем:

vh =

(3.41)

« А =

Величины ух и их можно найти, используя первое гра­

Соотношения (3.41) дают возможность последовательного

по рекуррентным формулам при использовании одного из

граничных условий называют прямой прогонкой. Оно яв­

ляется первым этапом метода прогонки. Обратной прогон­

кой называют последовательное вычисление значений иско­ мой функции Р п-г ,..., Р х. На этом этапе, используя вто­

рое граничное условие — известное значение Р п и вычислен­ ные на первом этапе коэффициенты vh и uh — по формуле (3.40) последовательно справа налево, находим значения искомой функции.

Существует большое количестворазностных схем. Наи­

более распространенные из них широко используют на

практике. Неявные разностные схемы требуют значительно больше вычислительных операций, чем явные. Однако сле­

дует отметить, что они устойчивы при любых значениях

At и h. Необходимо иметь в виду, что сравнение различных разностных схем между, собой представляет очень трудную

задачу. Эффективность использования той или иной из них зависит от многих факторов самой конкретной решае­ мой задачи. Ниже дано описание модификации явной раз­ ностной схемы, которая обеспечивает устойчивость разно­ стных уравнений при любых значениях At и h, а также решение вопроса выбора способа моделирования граничных

условий в случае использования больших величин h.

Рассмотрим уравнение (3.31), решение которого нахо­

(3.31) не встречает принципиальных трудностей и легко может быть осуществлено тем или иным разностным мето­ дом. Однако это решение требует большого количества вы­

числений и занимает на современных цифровых вычисли­

тельных машинах значительное время, что является недо­

пустимым при выработке управляющих команд в АСУ. Не­

обходимость уменьшить время решения возникает и при мо­

делировании переходных процессов в сложных закольцо­

ванных газопроводных сетях, состоящих из десятков уча­

стков, для каждого из которых необходимо решить систему

системы:

(3.42)

a?__5Q dt дх

162

Оно легко получается исключением из уравнений системы

(3.42) переменной величины t. В дальнейшем нас будет

интересовать функция Я (1):

гдер=]/т-

Рассмотрим решение задачи, изложенной выше, методом

прямых. Если использовать метод сеток, то это будет соот­ ветствовать случаю, когда по времени шаг стремится к ну­ лю. Примем, что

и, заменяя частные производные по х их конечно-разност­ ными выражениями, приходим к системе:

dPn

dt = — (Qn—Qn-i),

где предполагается, что Qn = Q/X==l. Система (3.47) запи­

сана для граничных условий (3.43). Если искать решение

в виде:

то решение поставленной задачи приводит к решению сис­ темы алгебраических уравнений:

решение которых легко получи'ть методом прогонки.

Вначале ищем решение первых трех уравнений системы

(3.49) H h = H i, vh = v%, в предположении, что Я§ == О,

ио.= 1 » а затем определяем

Пренебрегая бесконечно малыми величинами более вы­ сокого порядка, получаем:

Разложение числителя и знаменателя правой части вы­

ражения (3.45) в ряды по степеням со позволяет записать аналитическое решение вышеизложенной задачи в виде:

Сравнение выражений (3.51) и (3.52) позволяет выбрать оставшийся пока произвольным коэффициента = 2. Такой

выбор можно сделать и непосредственно из разбиения урав­

нений (3.46). Однако использование односторонней разно­ сти только при моделировании граничных условий потре­

бовало приведенного выше доказательства. Часто строят

разностную схему при коэффициенте а, равном бесконеч­ ности. Исключая из системы (3.42) величину Q, приводят ее к уравнению теплопроводности:

дР _д2Р

(3.53)

dt дх2 ’

1G4

решение которого приближенно получают из системы обык­

новенных дифференциальных уравнений:

при представлении граничных условий по расходу в виде

что соответствует схеме, изложенной выше при величине а,

равной бесконечности.

Можно привести примеры использования такого метода

аппроксимации при решении подобных задач. Аппрокси­

мация граничных условий по расходу уравнением (3.55)

практически не влияет на точность расчетов, проводимых

с большим числом звеньев разбиения по оси Ох. Действи­

тельно, непосредственно из формулы (3.51) следует, что

Рассмотрим задачу моделирования точки разветвления

нескольких участков газопроводов по формулам (3.42).

Для каждого из участков, подходящих к такой Точке,

запишем уравнения движения в виде:

д Р (1)

=p ( 0 Q ( ' ) ;

провода, приходящего в точку разветвления. Ей соответст­

вуют координаты xW =

Для простоты изложения рассмотрим случай, когда все участки разбиты на п звеньев. Аналогично системе уравне­

ний (3.47) запишем для каждого из участков уравнения

прямых:

165

В самой точке разветвления должен выполняться закон

неразрывности потока газа, и давление должно быть общим

для всех участков:

Qnl) получаем вместо уравнений системы (3.57) равенство:

Складывая почленно левые и правые части выражений

шется первыми двумя уравнениями системы (3.57) и урав­

нением (3.60). Описанную методику решения без изменений

легко перенести на нелинейные уравнения (3.31). При этом заметно упрощается алгоритм расчета, так как здесь ис­

ключается алгебраическое соотношение (3.58). Если в не­

обыкновенных дифференциальных уравнений будет совпа­

нений. Выше был рассмотрен вопрос о выборе метода моде­ лирования граничных условий уравнения (3.31) в случае использования больших шагов разбиения по оси Ох. Пе­

реходя к анализу метода моделирования, будем предпола­ гать граничные условия заданными по давлению Р. Поэ­

тому рассмотрим уравнение:

166

в предположении, что 0 ^ х ^ 1. Простейшая явная раз­

ностная схема моделирования уравнения (3.61) имеет вид:

Она оказывается не всегда устойчивой. Достаточное усло­

вие устойчивости можно записать в виде:

Легко видеть, что последнее уравнение может нарушить­

ся только в одном из двух случаев: либо |Pft+1.— Ръ\ До­

статочно мало, либо P k+1 + P h достаточно велико. По­

скольку во всех задачах прикладного характера известна

верхняя грань значения P k, можно считать, что устойчи­

вость нарушится только при достаточно малой величине

\P k+1 — Ph I- Однако, если величина Р ^ + Ph тоже мала, то неустойчивость может и не появляться. Говоря

иначе, неустойчивость может появиться только при малых

расходах Q.

При моделировании сложных закольцованных газовых сетей не исключена возможность возникновения ситуации, когда на каком-то участке (или части участка) расход ока­ жется очень близким к нулевому. Поэтому рассмотрим не­

сколько измененный алгоритм счета. Пусть

Поэтому при достаточно больших расходах разностные

уравнения (3.64) совпадают с уравнениями (3.62) и превра­

щаются в разностную схему для линейного уравнения

167

(3.53) только в случае малых расходов и не на всем участке, а только на той его части, на которой не выполняется усло­

вие. (3.63). Устойчивость схемы (3.64) легко доказывается,

так как уравнение (3.64) удовлетворяет принципу максиму­ ма. То, что решение системы (3.64) стремится к решению

исходного уравнения (3.61) при At 0 и п -+■ 0, следует

из превращения схемыДЗ,64) в схему (3.62) при достаточно

малых величинах At и‘к для конкретных начальных и гра­

ничных условий. Использование уравнения (3.64) вместо

выражения (3.62) практически не усложняет программу

расчета и не увеличивает времени решения.

Для предварительной оценки возможности расчетов при

малом, значении п получим аналитическое решение уравне­

ния (3.41). Начальные и граничные условия будут сформули­

рованы позднее, а предварительно потребуем, чтобы реше­

где Т — некоторая постоянная, определяемая ниже.

Общее решение уравнения (3.66) легко получается в не-

С и C j—постоянные.

Теперь уже нетрудно сформулировать начальные и гра­ ничные условия для решения уравнения (3.61). Потребуем,

чтобы Р /х=о = Px=i = 0 , а за начальные условия при­

мем решение уравнения (3.67) на отрезке 0 < х < 0 , 5 ,

удовлетворяющее условиям:

168

В этом случае за полное начальное условие можно взять кривую:

Из соотношения (3.68) легко видеть, что определяются по­

стоянные C j, Си а. Важно определить величину Т, которая

представляет собой постоянную времени экспоненциально

уменьшающегося давления Р [решение уравнения (3.65) оп­

при различных величинах h и АС Результаты двух наиболее интересных вариантов (грубого и более точного) приведены в табл. 2 .

169