книги из ГПНТБ / Баясанов, Д. Б. Автоматизированные системы управления трубопроводными объектами коммунального хозяйства
.pdfТ а б л и ц а 1
ki |
mi ■ |
|
p i |
(mi - nPi)2 |
|
nPi |
|||
|
|
|
|
|
0 -1 |
15 |
0,109 |
0,179 |
3,38 |
1 -2 |
27 |
0,195 |
0,147 |
2,21 |
2 - 3 |
15 |
0,109 |
0,121 |
0,15 |
3 - 4 |
20 |
0,145 |
0,099 |
3,02 |
4 - 5 |
9 |
0,065 |
0,081 |
0,428 |
5 - 6 |
11 |
0,079 |
0,066 |
0,396 |
6 - 7 |
5 |
0,036 |
0,055 |
0,88 |
7 - 8 |
6 |
0,043 |
0,044 |
0,0007 |
8 - 9 |
6 |
0,043 |
0,037 |
0,178 |
9 -1 0 |
3 |
0,022 |
0,031 |
0,384 |
10—11 |
5 |
0,036 |
0,024 |
0,77 |
11-12 |
5 |
0,036 |
0,02 |
1,37 |
12—13 |
1 |
0,007 |
0,017 |
0,77 |
13—14 |
1 |
0,007 |
0,013 |
0,32 |
14-15 |
2 |
0,0145 |
0,0119 |
0,079 |
15-16 |
1 |
0,0072 |
0,0091 |
0,5 |
17-18 |
2 |
0,0145 |
0,0065 |
1,37 |
18-19 |
i |
0,0072 |
0,0047 |
0,187 |
19—20 |
i |
0,0072 |
0,0044 |
0,264 |
22—23 |
i |
0,0072 |
0,0024 |
1,36 |
На основе данных этой таблицы |
k — |
20; т* — 5,056; |
|
k |
rni — 138. Известно, что Я = |
I |
|
п = S |
—s — параметр вы- |
||
i = |
1 |
mt |
— плотность |
бранного закона распределения; / (i) |
= |
вероятности предполагаемого (экспоненциального) закона
распределения. В результате расчета окончательно получим
/2 = |
17,976. При уровне значимости q = 0,001 и г = 1 |
/ o,ooi |
= 42,3. |
Так как /2 < /о,ооь то гипотеза подчиненности случай
ной величины времени обработки сообщений в АСУ экспо ненциальному закону не противоречит экспериментальным данным и выводам.
§4. МЕТОДЫ РАЦИОНАЛЬНОГО СБОРА
ИСТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ
Большинство технологических и некоторых произ
водственных показателей процессов в отраслях коммуналь ных хозяйств могут быть подвергнуты статистическому
90
контролю и анализу. При разработке информационного
обеспечения АСУ^ весьма ^существенное значение имеют методы рационального сбора и статистической обработки
этой информации, определения длительности и периодич ности измерений контролируемых параметров в системе.
Известно, что к решению задач применимы различные подходы и методы их реализации. Большое распростране ние здесь получил способ определения интегральных зна чений случайных функций, основанный на применении из
вестной теоремы В. А. Котельникова, которая указывает
путь и возможность приближенной замены функции непре
рывного аргумента функцией дискретного аргумента, В ре
зультате раскрывается возможный переход от непрерывной
функции f (t) к некоторой совокупности мгновенных дис
кретных значений / |
(tk) |
в точках через некоторые интерва |
лы времени At; при 1 |
^ |
k < оо. Я. И. Хургин и В. П. Яков |
лев несколько расширили возможности применения теоре
мы о замене непрерывных функций дискретными значениями,
распространив эти идеи и на случайные стационарные про цессы. Ими были показаны возможности дискретизации
случайных стационарных процессов при ограниченном
спектре и на определенном отрезке времени с помощью конеч ного числа членов ряда Котельникова. Передавая конечное число дискретных отсчетов N + 1, определенное по теореме В. А. Котельникова, в информационной модели через час
тоту среза (о0 спектральной плотности случайного стацио нарного процесса, можно получить интегральное значение функции за определенное время Т. Положения теоремы В. А. Котельникова получили сравнительно широкое рас
пространение в различных областях науки и техники для
определения характеристик параметров технологических процессов. Однако их применимость для установления пе риодичности контрольных операций по определению неко торых параметров ограничивается в связи со следующими моментами. Аппроксимация измеряемого сигнала с помощью тригонометрических суммирующих рядов требует сложных расчетов для каждой точки анализа и для многих сигналов
сложной формы приводит к тригонометрическому ряду,
весьма медленно сходящемуся.
Следует отметить, что неопределенность собственно слу
чайной функции всегда больше неопределенности ее средне
го интегрального значения и поэтому для ее определения
нет необходимости в полных сведениях о ходе изменения
функции. Это обстоятельство указывает на возможные пути
91
организации более эффективных способов сбора сведений в информационной сети. К ним следует отнести методику,
предложенную Б. М. Гешелиным, который, полагая, что поведение некоторых технологических параметров можно представить в виде суммы полезного процесса и высокочас тотного шума y ( t ) , предлагает установить длину интервала
усреднения Т, обеспечивающего минимальную среднеквад
ратичную ошибку в определении полезного процесса х (/)
для произвольной точки /г. При этом статистическая обра ботка информации базируется на предположениях о том, что
анализируемый случайный процесс представляет собой
сумму низкочастотного сигнала и сравнительно высокочас
тотного шума, искажающего эту информацию. Полезный
сигнал, в силу ряда причин, на достаточно больших про
межутках времени, в первом приближении, может считаться,
постоянным или изменяющимся по линейному закону. По
лезный процесс и шум являются статистически независимы
ми процессами.
При этом необходимая продолжительность непрерывных
измерений, гарантирующая выделение полезного сообще
ния с точностью е% и вероятностью р, |
может быть опреде |
|||
лена из уравнения |
|
|
|
|
' Re % |
т |
|
|
|
т ) |
|
( 2. 11) |
||
100/ |
ky{x)dx’ |
|||
|
о
где ky (т) — автокорреляционная функция шума; R — максималь ное значение шкалы измерительного прибора.
Если сообщения поступают в виде дискретных значений,
передаваемых через промежутки времени At, то можно ис
пользовать формулу для определения N
' R e % |
Р у |
N — 1 |
_2_ |
100/ |
> N + N 2 |
' - f *■ <**> |
( 2. 12) |
|
k — о |
|
|
Отсюда продолжительность контроля при Т = NAt.
С. Я. Виленкиным предложена несколько иная формула для определения е2:
е2 = М Х ( 0 ) — ~ J z ( x ) d % |
= а\ |
—т ■ |
- |
92
_1_ |
т |
|
|
|
kx С1') |
2 |
2 |
(2.13) |
|
т |
“Ь Qmx+ |
Gmy, |
||
|
|
|
|
где a fm и Gm//—дисперсии оценки математического ожидания полез ного сообщения и шума, определяемые по формуле:
2 г
°™ = 2k
•О
Продифференцировав уравнение (2.14), можно получить
соотношение для определения оптимальной длины интер вала усреднения Т
|
т |
2 т |
|
Y |
j k x (х) dx - 2kx (Г ) = |
j ( Т - т ) kv (t ) d t . |
(2.15) |
|
о |
о |
|
Для подавляющего большинства производственных и тех
нологических процессов корреляционные функции полез
ных сигналов и шумов имеют, как правило, стандартный
вид: для полезного низкочастотного сообщения — типа
затухающей экспоненты; для высокочастотного шума —
типа экспоненциально затухающего косинуса. Последние функции могут быть аппроксимированы следующими зави симостями:
кх ( т ) = а х |
е - с | т | ; |
(2.16) |
k,j(x)=ale |
а 1т ! cos Рт. |
(2.17) |
Подставив равенства (2.16) и (2.17) в уравнение (2.15),
можно получить выражение
|
в - |
2еГ- |
1 |
1 о„ — СТ |
„— 2сТ ' |
|
|
|
|||
|
|
с2 Г 2 |
сТ |
|
|
\ |
а |
|
а2 —Р2 |
0— 2аТ |
|
|
X |
||||
= o l |
|
|
|
|
|
| Т ( a 2 -J- Р2) "г Т 2 ( |
|
|
|||
|
X |
а Т |
— |
- ' j cos 2РТ |
|
|
2сф |
а 2 + |
р2 / |
|
|
|
РГ ) |
sin 2РГ |
(2.18) |
||
|
а 2 + |
132 |
|||
|
|
|
|
Анализ выражения (2.18) позволяет сделать вывод о том,
что оптимальная продолжительность контроля (измерения)
Т является функцией ряда аргументов: отношения диспер
93
сии полезного сигнала к шуму, характеристик корреля ционных функций. Продолжительность времени контроля
Т может быть легко определена с учетом этих аргументов графическим путем.
В. П. Фадеевым для оперативного контроля параметров
некоторых технологических процессов при определении
продолжительности измерений была предложена следующая формула:
|
2s |
2s |
(2.19) |
|
in |
Г |
|
|
|
||
где |
а2 — дисперсия случайной |
функции |
параметра; s — площадь |
под |
кривой корреляционной функции; |
От = а | — of — отклоне |
ние средней величины за время замера от среднесуточного значения
функции ■ при условии |
их некоррелированности. |
|||||
Величина апг может быть задана |
как |
|
||||
|
|
S3 /П |
|
|
|
|
где о3 — погрешность |
определения |
среднего значения; m — сред |
||||
нее значение контролируемого параметра. |
|
|
||||
Уравнение (2.19) |
при несущественном |
изменении сред- |
||||
. |
. . |
|
|
|
, |
2s |
ней за |
период экстраполяции |
величины го1 —— и с учетом |
||||
изменения среднего |
значения |
за период |
экстраполяции |
|||
/02 = |
2s |
|
|
|
|
|
------2 ~ может иметь и частные модификации для рас- |
||||||
четов. |
ат+ ~Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Анализ уравнения (2.19) |
и |
его |
модификаций имеет |
то преимущество, что его можно осуществить без предвари
тельного разделения полезного процесса от шума, но тре
бует проведения специальных экспериментов, состоящих в необходимости получения непрерывных данных о реали зации того или иного производственного или технологи ческого процесса.
Задачу определения необходимой длительности замеров для регистрации суточных сообщений параметров с назна ченной точностью можно реализовать и при помощи прямого
расчета, имея непрерывные записи изменений производст
венных или технологических процессов. При этом в различ ные дискретные промежутки времени t вычисляют средне
квадратичные отклонения параметров а и для каждой дли тельности строят свой график а = / (/). Зная допустимые
94
среднеквадратичные отклонения о*, по графику находят необходимые длительности измерения контролируемых
в системе АСУ параметров.
Весьма важным моментом контрольных операций при
создании информационной модели АСУ является вопрос
оценки точности воспроизведения контролируемых величин. В целом ряде случаев при этом сталкиваются с необходи
мостью анализа стохастических пространственно-распреде
ленных полей, в которых контролируемые параметры рас
пределены случайным образом не только во времени, но
и в пространстве. При этом имеют место задачи, в Которых
приходится воспроизводить такие поля, строить карты конт
ролируемых параметров, предсказывать их поведение, оп
ределять средние значения и возможность применять толь
ко дискретные замеры и т. п.
Дискретность замеров нередко обусловливается числом
мест контроля, в которых производят эти измерения. Ясно,
что измерение параметров даже во всех доступных точках
позволяет воспроизвести картину поля между этими точ ками с некоторой погрешностью.
Для оценки этой погрешности можно воспользоваться методом, основанным на обобщении теоремы В. А. Котель никова (теоремы отсчетов) для двумерного случая. Ниже будет показано, что для одномерного случая эта теорема дает возможность установить периодичность контрольных
операций в АСУ по измерению непрерывных процессов для последующего их воспроизведения без особых искажений. Эти отрезки времени однозначно определяются граничной частотой спектрального разложения в ряд Фурье функций,
характеризующих протекание производственных или тех
нологических процессов. Понятно, что положения этой тео ремы можно также применить и к функциям, изменяющим ся не только во времени, но и по любому другому аргументу.
В двумерном случае для представления поля парамет ров необходимо определить вид структурной сетки дискре тизации исходной двумерной функции параметра и расстоя ние между точками измерения поля в зависимости от вы
бранной сетки дискретизации. Так, например, можно вы
брать прямоугольную или ромбическую сетку с углом в 120°. В этом случае площадь, приходящаяся на каждую
точку измерения |
параметра, будет равна: для квадратной |
|
сетки {хх = хг = |
х), s = s2, |
4 |
а для ромбической — s = ^ х |
X ]/3
95
Изменение параметра можно представить в виде двояко
периодической функции / (хъ х2) с периодами d по оси хх
и I по оси х2, удовлетворяющей условиям Дирихле. Эта
функция может быть разложена в ряд Фурье, т. е. представ
лена суммой гармоник с соответствующими постоянными коэффициентами
где cx i — комплексная амплитуда, вычисляемая по формуле:
(2. 21)
о о
Формулы (2.20) и (2.21) показывают, что функция / (х1у
х2) может быть сколь угодно точно представлена суммой
элементарных составляющих типа синусоид, каждая из которых характеризуется своей амплитудой схи, вы
числяемые из |
уравнения (2.21) с учетом частот а»! = |
2n t |
~ |
= -у- и а>2 — |
—j~ ■ Совокупность величин cXk носит назва |
ние спектра амплитуд. Таким образом, спектральная
плотность а 1Осо2 оказывается разбитой на бесконечное мно
жество точек, отстоящих друг от друга по осям частот сох и со2 соответственно на 2уjx и 2уя . Спектральные же состав
ляющие, соответствующие этим точкам, модулируются
исходным спектром.
Известно, что наилучшая дискретизация системы дости
гается для ромбической сетки с углом в 120°. При этом, если
имеется ограниченный областью частот |
СО* |
спектр |
В — ^ |
Фурье некоторой функции / (хь х 2), то она может быть представлена с помощью дискретных значений, взятых по
углам ромбической сетки с углом в 120° и расстоянием
между точками. В этом случае аналитическая запись
теоремы отсчетов для двумерного случая будет определена
следующим выражением:
где функция отсчетов для двумерного случая:
'О)
Таким образом, если известны значения ф у н к ц и и х2)
в точках отсчетов, то она может быть полностью определена
для всех хг, х2 суммированием типовых функций отсчетов. Выражение для фу-нкций отсчетов может быть раскрыто
подробней после осуществления процесса интегрирова
ния. Следует отметить, что вывод о том, что наилучшая
дискретизация достигается при ромбической сетке, целиком
отвечает практике разработки информационного обеспече
ния АСУ таких комплексов, как отрасли коммунальных
хозяйств городов и населенных пунктов, где обычно не тре
буется очень точного воспроизведения поля контролируе
мых параметров. Достаточно чтобы ошибка приближения
не превосходила некоторых допустимых значений. Степень
такого приближения обычно связана с ограничением числа
членов бесконечного ряда (2.20) и равносильна ограничению спектра.
В качестве критерия точности воспроизведения пара
метра в АСУ целесообразно выбрать величину:
о о
Эта величина ошибки может быть выражена через спект ральную плотность G (оц, со2) случайной функции поля (спектральная плотность характеризует распределение энер гии контролируемого процесса по частотам элементарных гармоник):
00 оо 00
|
(2.25) |
J j G (соъ и 2) da1 da>2 |
j G (и) da |
оо |
о |
где а * = ф и? + и?- |
|
4 З а к . 6 6 5 |
97 |
Свойства спектра таковы, что в некотором диапазоне частот
от нуля до cot и cofe сосредоточена основная часть спектра.
Если для выбора расстояния между дискретизирующими точками использовать диапазон частот, ограниченный значе ниями сот и Wft, то определяемое поле будет воспроизведено с относительной погрешностью б.
Таким образом, воспроизведение поля параметров опре деляется спектральной плотностью G (со) и величиной час
тоты среза В, которая связана с числом замеров параметра
и заданной ошибкой б. Положим, что функция f (хъ х2) ста
ционарна по пространству. Тогда функция корреляции за
висит от разности координат xt — х\, а не от их значений,
и в этом случае спектральная плотность |
определится вы |
|
ражением: |
|
|
с» |
(2.26) |
|
G (со)= J |
kj(r)e~iar dr, |
— СО
где r = V {xi —*i) 3+ {хг—Ха)2-
Результаты исследований показывают, что для многих тех
нологических процессов корреляционные функции имеют
вид:
kf (r) = o * e - a I Л1, |
(2.27) |
kf (r) = oj е ~ “ 'cos Рг, |
(2.28) |
где 0 j? — дисперсия случайной функции параметра; а и |
[5 — пара |
метры, характеризующие соответственно быстроту затухания и ко лебательность корреляционных функций, и находятся они для каж дого конкретного случая в результате соответствующей обработки исходных данных.
Подставляя выражения (2.27) и (2.28) в формулу (2.26), получим следующие аналитические выражения спектраль ных плотностей для этих типов корреляционных функций:
|
2 |
|
|
С(ю) = |
of а |
(2.29) |
|
п (а2+ О)2) ’ |
|||
Of |
а |
(2.30) |
|
а 2 + (го + р)2 ■ + а 2 + (а — Р)2 |
|||
|
Так как в контрольных операциях используют такие
характеристики, как среднее значение, дисперсия, спект
ральная и корреляционная функции, определяемые по огра
ниченному числу дискретных значений контролируемого процесса, то приведем расчетные формулы оценки точности
98
этих характеристик. Оценка точности оу среднего значения
/ имеет вид:
П—1
|
|
|
п + 2 2 (п — у) р (г/г) |
, |
(2.31) |
|
|
|
|
у= о |
|
|
|
где р (г) |
kf (г) — нормированная |
корреляционная |
функция; |
|||
V n b i1 |
. . |
—--------- |
— среднее |
расстояние (ра- |
||
- 2 |У / |
2~\/з (п—1) |
|
|
|
диус) фиксации поля параметров; в случае прямоугольной и ромби ческой сетки дискретизации соответственно: s — площадь поля пара метров; п — количество фиксируемых точек.
Для оценки точности дисперсии а| используют формулу
|
2 |
2of |
|
п — 1 |
(2.32) |
|
а„2 = |
---- |
1 + 2 2 |
||
|
af |
п |
|
у= 1 |
|
а для |
оценки |
точности |
корреляционной функции |
||
|
2 |
от |
|
(п — v — у \) |
{р2 (г/ г) + |
Okf (r)~ |
1 |
|
|||
|
(« — V)2 |
|
|
|
|
|
|
+ Р Кг/ + |
v) г] р [(у—v)7]}, |
(2.33) |
|
где v = |
0, 1, 2........ |
|
|
|
Определение же точности спектральной плотности сложно
и выражение для нее весьма неудобно при практическом
использовании.
Учет этих взаимосвязей позволяет получить корреля
ционную функцию в доверительных пределах. Ясно, что
истинные величины параметров корреляционных функций
аи ( 3 будут также находиться в некоторых пределах. При этом максимальным значениям а и р соответствует крайнее левое положение начального участка корреляционной функ ции, а минимальным значениям а и Р — крайнее правое по
ложение начального участка кривой. Поэтому постоянные
аи р следует определять по нескольким характерным точ
кам кривой р (г). Так, для корреляционной функции, аппрок
симируемой выражением (2.28), имеем
|
о _ |
_ Д _ |
(2.34) |
|
|
Р“ 2г0’ |
|||
где го — точка, в которой |
первый раз |
|||
корреляционная функция |
||||
обращается в нуль, а |
1 |
cos 6г,- |
|
|
а- |
(2.35) |
|||
— in — + - f, |
||||
|
Г] |
Р (о) |
|
4 * |
99 |