книги из ГПНТБ / Баясанов, Д. Б. Автоматизированные системы управления трубопроводными объектами коммунального хозяйства

трубопроводам коммунальных хозяйств, в силу нелиней­ ности и сложности не интегрируются в квадратурах, что

усложняет разработку математического обеспечения АСУ этими режимами. Для их решения приходится, обращаться

к различным приближенным методам построения матема­

тических моделей с помощью положений вычислительной

математики и ЭВМ. Указанные задачи возможно решить

вдовольно общей постановке с учетом практически важных

физических факторов с высокой степенью точности.

Всвязи с разработкой и внедрением в практику работы

АСУ математических моделей описанных процессов особен­

но возрастает роль разностных методов численного решения

уравнений в частных производных. Среди этих методов наи­

большее распространение получил метод сеток (метод конеч­

ных разностей), который является достаточно универсаль­

ным и хорошо приспособлен для реализации на ЭВМ. Х а­ рактерным для него является массовая повторяемость одно­

родных циклов операций, которые приходится выполнять

вкаждом узле сетки, что представляет одно из существен­ ных достоинств с позиций автоматизированной реализации модели на ЭВМ. Как будет показано ниже, при использо­

вании метода сеток для численного интегрирования урав­

нений в частных производных существенную роль играют

вопросы устойчивости и точности соответствующих разност­

ных схем, применяемых для решения уравнений.

Известно, что разностная схема будет .неустойчивой, если ошибка, допущенная на каком-либо этапе ее реализации (на­ пример, в результате округления), растет по абсолютной величине. Если такая ошибка в процессе реализации раз­ ностной схемы будет затухать, то схема является устой­

чивой. Очевидно, что только устойчивые разностные схемы

имеют практическую ценность. Если для линейных уравне­ ний в частных производных вопрос устойчивости конечно­

полученные отдельные результаты имеют разрозненный ха­ рактер, что практически приводит к необходимости исследо­ вания устойчивости в каждом конкретном случае.

Для численного интегрирования уравнений в частных

производных методом сеток практическое применение полу­ чили два типа разностных схем — условно и безусловно

устойчивые. К первому типу относятся, как правило, яв­

ные схемы, ко второму — неявные схемы. Достоинством явных схем является экономичность и простота логики, что

130

существенно, особенно при решении многомерных задач.

При использовании явных схем условия устойчивости в не­

которых случаях могут накладывать жесткие ограничения

на шаг по времени At, делая его малым по абсолютной вели­

чине, что бывает не оправдано соображениями точности. При расчетах на ЭВМ это приводит к излишним затратам

машинного времени, повышению стоимости расчетов и т. п.

Поэтому в таких случаях удобно применять безусловно

устойчивые схемы, какими являются, например, неявные

разностные схемы. Однако применение неявных схем не

всегда бывает целесообразно при решении той или иной кон­

кретной задачи в АСУ. Они имеют по сравнению с явными

схемами более громоздкий и сложный алгоритм вычисления,

который может быть связан с решением задач для вектор­

ных величин. Кроме того, в некоторых случаях при числен­ ном решении разностного аналога дифференциальных урав­

нений с помощью неявных схем методом прогонки для до­

стижения заданной точности приходится производить боль­

шое число итераций для каждого шага по времени. При этом увеличение шага по времени вызывает рост числа итераций для того, чтобы обеспечить приемлемую степень точности численного решения. В практике вычислений нередко встречаются задачи, когда приходится рассчитывать слож­ ные системы для математического моделирования задач управления в АСУ. Примером являются сложные схемы

взаимосвязанных трубопроводов подачи холодной или горя­ чей воды, газа в коммунальных хозяйствах городов. Такие многосвязанные системы можно представить как совокуп­ ность некоторых отрезков, концы которых примыкают друг к другу, образуя узлы. В узлах задаются граничные усло­ вия, связывающие основные параметры потока для смежных

отрезков. Физико-технологические процессы внутри каж­

дого отрезка описываются некоторыми дифференциальными уравнениями или системой уравнений. Построение схе­

мы прогонки при численном решении дифференциальных

уравнений с помощью неявных разностных схем для таких больших систем связано со значительными трудностями или

построение их невозможно.

Схема прогонки реализуется при помощи методов сквоз­

ного или бегущего счета, которые вследствие сравнительной

несложности вычислительного алгоритма успешно приме­ няют для численного интегрирования. Наряду с удобствами

численной реализации эти методы дают слабое ограничение устойчивости и обеспечивают достаточно высокую точность

§ 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ЭЦВМ

Наиболее перспективными методами, которые можно

использовать для реализации задач оперативного управле­ ния в АСУ, являются методы математического моделиро­ вания. Сущность этих методов заключается в том, чтобы при разумном упрощении исходных уравнений, характеризу­ ющих производственные или технологические процессы в системе, используя те или иные математические приемы,

так произвести это упрощение, чтобы, не увеличивая по­

грешности решений, получить выигрыш в машинном вре­ мени счета при быстрой сходимости вычислительной про­ цедуры. Математическая модель должна позволять в АСУ

анализировать различные ситуации в областях нормальной

ее эксплуатации. Она может быть использована для реше­ ния задач в подсистеме оперативного управления АСУ. Как основа для дальнейшего описания проблемы матема­ тического обеспечения АСУ, ниже кратко изложены отме­

ченные в предыдущем параграфе методы математического

решения систем линейных и нелинейных дифференциальных

уравнений в частных производных, получивших наибольшее

распространение в практике исследований задач управле­

ния в АСУ.

Как уже отмечалось выше, для решения дифференциаль­

ных уравнений в частных производных наиболее часто поль­ зуются разностными методами. Основой этих методов яв­

ляется аппроксимация математических уравнений разност­

ными. Известно, что в силу определения производной при малых величинах h имеет место приближенное равенство:

где h — шаг разбиения по оси Ох.

Приближенное равенство типа уравнения (3.1) не един­

Для доказательства приближенного равенства (3.2) раз­

лагаем / (х + h) и / (х — К) по формуле Тейлора в ок­ рестностях точки х, предполагая, что функция непре­ рывна:

133

При уменьшении гладкости функции f (х) порядок мало­ сти остаточного члена ниже. Формулы, аналогичные при­

ближенным равенствам (3.1) и (3.2), существуют для про­

изводных любого порядка от функций любого числа пере­

менных. Например, для функции

Доказательство справедливости приближенного равен­

ства (3.3) и оценку остаточного члена можно получить,

как и выше, с помощью формулы Тейлора. Приближенные

равенства типа (3.1)—(3.3) можно написать не только для производных, но и для более общих дифференциальных вы­

ражений, в частности, для левой части любого дифференци­

ального уравнения. Для этого, например, достаточно каж­ дую производную заменить формулами типа (3.1)—(3.3). Имеются и другие способы. Замену производных линейными комбинациями значений самой функции в отдельных точках

и используют для численного решения дифференциальных

уравнений. В результате получают новые соотношения, которые и называют разностными уравнениями. Поясним сказанное выше следующим примером. Рассмотрим урав­ нение:

(з.о

дР дх2

где L t — некоторая постоянная, имитирующая длину трубопро­ вода. Начальные условия уравнения (3.4)

l0ut = ut (0, х) = сро (•*);

где Iо, li — параметры Lt, соответствующие нулевым условиям; фо,-фх — функции, соответствующие нулевым условиям.

134

Заменим уравнение (3.4) разностным соотношением

tth (< + т, x ) — 2uh (t , x ) + u h ( t — x, x f

где R ^ K U h — аналоги Lt и и* при этой замене.

Начальные условия (3.5) заменим равенствами следующего

вида:

rh o uh = Uh (0, *)= < р о (*);

Уравнение (3.6) и начальные условия (3.7) будем рассматри­

вать только на множестве точек с координатами: t = пгт, х =

ния по оси Ох, шаг которого К).

Это принято называть сеткой. Всякая функция и (t, х),

определенная на полуплоскости t ^ 0, определена, в част­ ности, и на сетке. Поэтому в точках сетки для нее имеют

смысл выражения R h и, rha и и Гд, и.

С помощью формулы Тейлора можно проверить, что в случае достаточной гладкости функции и (t, х) в точках

сетки справедливы равенства:

Rh uh = П «Н- О(т2 + Л2)

и

образом, уравнение (3.6) и начальные условия (3.7) аппрок­ симируют уравнение (3.4) и начальные условия (3.5). Зная

из выражения (3.7) значения uh (0, х) и uh (т, х) и исполь­

зуя уравнение (3.6), можно последовательно вычислить

значения функции uh при t — 2т, Зт, ..........., тх.

Не следует думать, что во всех случаях решение функ­

ции uh разностного уравнения, аппроксимирующего диф­ ференциальное, стремится при измельчении сетки к соот­

ветствующему решению ut дифференциального уравнения.

Так, если в предыдущем примере шаги сетки т и h подчи­

нить условию = г > 1, где г — постоянная, независящая

135

от величины h, то функция uh, вообще говоря, не стремится к величине ut при h -н>- 0. В самом деле, известно, что зна­

чение формулы и (1, 0) решения задачи(3.4) и (3.5) зависит

от значений функций «ДО, х) и щ (0, х) на отрезке \х | ^ 1

Если величина т равна ^ , где т — некоторое натураль­

ное число, тогда точка (1, 0) принадлежит сетке. Значение

функции uh (1, 0) решения разностного уравнения в точке

(1, 0) выражается с учетом уравнения (3.6) через значения uh в трех точках: (1 — т, —h), (1 — т, 0), (1 — т, К) преды­ дущего ряда t — \ — т сетки и через значение uh (1 — 2т, 0) в одной точке сетки, лежащей на ряде t = 1 — 2т. Три этих значения в свою очередь выражаются через значения

uh с учетом начальных условий (3.7) используются значе­

ся сходимость функции uh с величиной щ, то достаточно изменить начальные условия ut (0, х) = ф0 (х) и и[ (0, х) =

= (х) в промежутках — < | х | < 1 таким образом, чтобы

изменилось значение щ (1, 0), и сходимость нарушится, так как это изменение начальных условий не отразится на зна­ чениях uh (1, 0). Если такой сходимости нет, то разностное

уравнение, очевидно, непригодно для численного решения

дифференциального уравнения. Таким образом, важно установить достаточные признаки того, чтобы решение раз­ ностного уравнения при измельчении сетки стремилось

к решению дифференциального уравнения, что будет пока­

зано ниже. Опишем понятие устойчивости разностного урав­

нения, имеющее самостоятельное значение.

Ошибки округления, неизбежные при задании граничных

условий и правой части разностного уравнения, влияют на его решение. Это влияние не должно быть слишком сильным при измельчении сетки, т. е. разностное уравнение должно

136

быть устойчивым (относительно возмущения граничных

условий и правой части). В противном случае оно практи­

чески непригодно для численного решения дифференциаль­

ного уравнения, так как при крупной сетке нет основания ожидать, что решение первого уравнения будет мало от­ личаться от соответствующего решения второго, а при мел­ кой сетке малые ошибки, допущенные в граничных условиях и правой части, недопустимо исказят решение разностного

уравнения.

Понятие об устойчивости разностного .уравнения отно­

сительно возмущения граничных условий и правой части

аналогично понятию непрерывной зависимости решения диф­

ференциального уравнения от граничных условий и правой

где е — некоторый минимальный параметр при нулевых начальных условиях.

Функция uh, которая прибавится в результате этого к решению задачи (3.6) и (3.7), удовлетворяет однородному

уравнению, соответствующему уравнению (3.6) и началь­

ным условиям:

и ь ( 0, nh) — т ( — 1)п е, щ ( х , n h ) = —Зт ( — 1)п е.

Можно непосредственно проверить и убедиться, что она имеет вид:

Uh(tnx, nh) = ( — \)т + п Зт хе.

Возмущения, сообщенные начальным условиям, можно понимать как ошибки округления, допущенные при задании

начальных условий, а при наличии функции uh — как соот­ ветствующую ошибку в решениях. При т - > 0 и фиксиро­

ванном t = тх множитель Зшт, входящий в выражение

uh (тх, nh), быстро растет, т. е. чувствительность решения

уравнения (3.6) к ошибкам округления, допущенным при задании начальных условий, быстро увеличивается.

137

При ( = 1 и т = j имеем Зтт « 20, а при т = ^ мно-

естественно считать неустойчивым. Существование неустой­

чивых разностных уравнений и неудобство таких выражений

для практических целей выдвигают задачу об анализе устой­

чивости разностных уравнений.

Устойчивое уравнение. В выражении (3.6) положим величину х = h. Тогда оно примет вид:

uh ( t + % , x ) = uh ( t — x , x ) — uh (t, x + h ) — uh (t, x — h) — /г2 f (t, x).

Изменим правые части начальных условий (3.7) и правую

часть уравнения (3.6), прибавив к ним соответственно функ­

ции фА„ (*), фЙ1 (х) и fh (t, х). Функция uh (t, х), которая

прибавится при этом к-решению задачи (3.6) и (3.7), удов­ летворяет уравнению:

а тй— положительное целое число, которое для определен­ ности будем считать нечетным. Построим треугольник, огра­

точку ((0, 0). Для каждой точки (/пт,, nh) сетки, которая

лежит строго внутри указанного треугольника и когда

т + п есть четное число, напишем уравнение (3.8) и затем сложим эти уравнения почленно. Если величина т + п — нечетное число и точка (тх, nh) вместе с ближайшими к ней

Поэтому после приведения подобных членов функция uh (тх, nh) тоже не войдет в выражение, полученное суммированием

уравнений (3.8). Подсчитывая подобным образом коэффи­ циенты при uh (тх, nh) для всех точек сетки (тх, nh), лежа­

138

щих внутри и на границе указанного выше треугольника,

результат почленного сложения уравнений (3.8) можно

139