книги из ГПНТБ / Баясанов, Д. Б. Автоматизированные системы управления трубопроводными объектами коммунального хозяйства

графически и аналитически. Предположим, что коэффициен­ ты Ь0 и bi известны. Предположим, что при расчетах имеют

место невязки: = yt — bg — Ь ^ . Рассматриваемый

случай можно отнести к системе, когда количество неиз­

вестных (в данном случае Ь0 и bt) значительно меньше коли­

чества уравнений (N). Следовательно, для решения зада­

чи необходимо задать какое-то количество критериев пере­

хода от этой системы к определенной. Здесь возможны сле­ дующие критерии:

►

Рис. 33. Схема векторно­ го плана

■н

N

2 ||г |-► m in" (метод средних)

/= 1

4=1

Запишем условие минимума функции (3.181):

ди

= 0;

дЬи

ди

дЬл

или

-2 2 (У1— bo— b1xi)= 0 .

4=1

220

Таким образом, получена система уравнений с двумя неиз­ вестными, т. е. исходная система сведена к определенной:

Решение системы (3.182) можно получить с помощью опре­

делителей по правилу Крамера:

Далее следует разрешить вопрос о том, насколько точ­

но полученные уравнения описывают исходный статисти­

ческий материал. Здесь должна быть выбрана какая-то

мера, характеризующая эту точность. Самое грубое предпо­

ложение, которое можно сделать относительно поведения

данных выберем отношение остаточной дисперсии уравнений

N

где г/г — значение функции отклика, предсказанное (3.182);

Р — число коэффициентов.

Естественно, что чем' больше будет значение отношения

F = s ?p , тем полезнее уравнения (3.182), так как они по-

221

увеличения размерности задачи, т. е. увеличения числа факторов, определение коэффициентов bt с помощью опре­ делителей становится весьма громоздким. В этом случае

можно воспользоваться матрицами. В конечном виде реше­

ние будет выглядеть так:

где X — матрица значений параметров; X * — транспонированная матрица; (Х *- Х )-1 — матрица, обратная матрице Х * - Х ; Y — вектор-столбец значений функции отклика; В — вектор-строка зна­ чений коэффициентов полученного уравнения.

До сих пор описание велось в предположении, что вы­

брана определенная математическая модель, описывающая

статистические данные, причем линейная, и оценивалась ее адекватность по реальным условиям. Возможно предпо­

ложить, что статистические данные описываются моделью

более высокого порядка, к примеру, второго:

Таким образом, имея статистический материал за не­ который временной интервал, предшествующий моменту построения модели, выбрав тип последней и убедившись в ее адекватности реальным условиям, зная значение факторов

в какой-то точке будущего, можно получить значение ис­ комой функции отклика в этой точке. Следует уточнить

вопросы получения факторов в искомой точке, какой дол­

жен быть период предыдущего развития, т. е. длина вре­ менного интервала, по которому необходимо располагать статистическим материалом, и как меняется точность пред­

сказания с изменением этого интервала времени, на который

делается предсказание. Значения факторов в искомой точке

могут быть получены из плановых заданий на подачу и

распределение газа в системе. Кроме того, требуемые фак­ торы могут быть получены с помощью упомянутого уже метода Брауна.

Вопрос, какой должна быть предыстория, может быть

решен следующим образом. Необходимо получить несколь­

ко прогнозируемых точек на одну и ту же дату, пользуясь предысториями разной продолжительности, и из последних

выбрать наиболее приемлемую по точности. Выбранную

продолжительность предыстории можно принять в этом случае за оптимальную. Чтобы избежать случайности, ко-

222

торая может иметь место из-за выбора нехарактерной точки для динамики процесса подачи газа в систему, необходимо

процесс выбора повторить несколько раз для нескольких точек. Выбрав оптимальную длину предыстории, можно

эмпирическим путем оценить влияние дальности прогноза

на его точность. Располагая статистическим материалом по

факторам и функции отклика на каком-то временном от­ резке, необходимо далее подобрать полином, который наи­

более точно бы описывал полученные данные. При этом

следует учитывать, что можно вероятно подобрать полином

большой степени, который может описать все имеющиеся

точки, но не будет полностью отражать закономерности,

присущие данному процессу подачи газа в систему и его

распределению. Поэтому, располагая статистикой за

разные временные отрезки, нужно получить разные ана­

литические описания процесса и, имея модели по несколь­

ким временным интервалам, усреднить их.

В процессе подбора модели можно начать с полинома высокой степени и, отбрасывая статистически незначимые

его члены, двигаться в сторону уменьшения степени. Кри­

терием такой операции может служить величина остаточной

дисперсии. Движение следует прекратить при ее увели­

чении.

Обработка статистического материала требует большого

количества вычислительных операций, поэтому для реше­

ния вышеперечисленных задач целесообразно применение ЭВМ.

§ 8. ВОПРОСЫ ОПТИМИЗАЦИИ РЕЖИМОВ ГАЗОСНАБЖЕНИЯ В СИСТЕМЕ АСУ

Нестационарное движение газа по горизонтальному

газопроводу описывается системой дифференциальных уравнений в частных производных в линеаризированной форме [3.14]. Решение этой задачи — суть решения крае­ вой задачи. Следовательно, и при решении задачи оптими­ зации необходимо задаться начальными и граничными

условиями. Начальное условие — это любое распределение

давления в системе в начальный момент, т. е. при t --- 0 :

Граничные же условия — это задание изменения давления

или расхода во времени на концах газопровода. Они могут принимать следующие сочетания:

а) задание изменения давления во времени

При включении в контуры системы газоснабжения компрес­

сорных станций появляются уравнения, описывающие

работу последних:

где в (P, Q, T, U) — общая степень сжатия компрессорной станции, являющаяся функцией от режимных параметров и от вектора уп­ равления, компоненты которого суть положения регулирующих ор­ ганов, количества работающих агрегатов, схемы включения по­ следних и т. п.; Pft+! (О, I) — давление на выходе fc-й компрессор­ ной станции; P k (1, /) — давление на входе /е-й компрессорной стан­ ции.

Равенство (3.191) выражает условие неразрывности газового потока через k-ю компрессорную станцию, т. е. расход до станции равен расходу после нее.

Важную роль при анализе и синтезе задач управления

играют ограничения, которые накладываются как на саму

постановку вопроса управления, так и на выбор его ре­

шения. Ограничения могут быть технологическими и пла­ ново-экономическими. К технологическим ограничениям относятся:

а) предельное давление прочности трубы, которое может быть представлено так:

б) ограничение по отдельным агрегатам на компрессорной

станции — предельные значения по иомпажным явлениям в центробежных нагнетателях:

P k ( h t ) ^ P k ( \ , t ) < . P h (l, ty, I

9*(1, < K Q a ( 1 , 0 < 3 a (1, 0; J

224

в) ограничения по потребляемой мощности по агрегатам и

по установленной мощности в целом по компрессорной

станции:

2Wft(U)<5Wfc(l, о; J

г) ограничения по температуре в центробежных нагнетате­

лях с газотурбинным приводом:

Это технологические ограничения по режимным парамет­ рам. Кроме них системам газоснабжения присущи ограни­

чения на управляющие воздействия. Это предельные зна­ чения положений кранов дросселирования, байпасирования, минимальные и максимальные обороты комприми­

рующих агрегатов с регулируемыми приводами, макси­

мальное количество работающих агрегатов и т. п. Огра­

ничения этого типа в общем виде представляются так:

Это означает, что соответствующие компоненты вектора

управления ограничены как сверху, так и снизу.

Планово-экономические ограничения — это, во-первых, строгое выполнение плановых заданий на подачу газа в систему газоснабжения:

и, во-вторых, ограничения эксплуатационных затрат сверху:

где 2Q ( х , 0 — суммарный отбор газа всеми потребителями; 2 ^ — суммарные затраты на газопередачу в системе.

Ограничения (3.196) и (3.197), с учетом подхода к проб­ леме оптимального управления, можно назвать глав­ ными ограничениями. С одной стороны, система газоснаб­

жения характеризуется неравномерным потреблением газа,

с другой — необходимо строго выполнять условие (3.196).

Это рассогласование и является причиной возникновения

проблемы управления — стабилизации работы системы газоснабжения. Эксплуатационные затраты (3.197) следует

минимизировать, однако при этом должно выполняться также и условие (3.196). По сути дела в этом и состоит идея

технологического управления в АСУ системой газоснаб­

жения.

Попытаемся на основе имеющегося математического

описания процессов сформулировать и решить задачи уп­ равления, имея в виду их оптимальные варианты. Описы­ ваемые системы относятся к объектам с распределенными параметрами. Теория управления в этой области находится в стадии своего развития. Здесь следует отметить, что в объ­ ектах с распределенными параметрами управляющие воз­

действия могут входить не только в показатели управления

процессами, но также и в граничные условия. Это полно­

стью относится и к системам газоснабжения. Действитель­

но, запись основного соотношения (3.190) свидетельствует об управлении граничными условиями в системе.

Оптимизация режимов газоснабжения может произво­ диться по следующим критериям.

1.При заданных графиках газопотребления и при усло­

вии соблюдения всех технологических ограничений на про­

цессы газоснабжения необходимо выбрать нестационарные

режимы газопередачи таким образом, чтобы при этом

достигался минимум энергетических или эксплуатацион­

ных затрат.

2.Максимизировать суммарное газопотребление в те­

чение определенного отрезка времени при заданном огра­

ничении на энергетические или эксплуатационные затраты.

3.Максимизировать суммарное газопотребление в те­

чение заданного отрезка времени без ограничений на экс­ плуатационные или энергетические затраты, лишь при условии соблюдения комплекса технологических ограниче­ ний на процесс газопередачи.

4.Минимизировать время перехода на новый уровень

газопотребления. Отмечено, что при оптимизации неста­

ционарных режимов газопередачи по последнему критерию уровень газопотребления может оставаться прежним, а ме­ няется лишь, например, режим работы компрессорных стан­ ций (отключение агрегатов', лупингов и т. п.).

При оптимизации режимов газоснабжения по первому

критерию при учете всех внешних воздействий (неравно­

мерность газопотребления, метеорологические условия,

условия работы подземных хранилищ газа и т. п.) произво­

дится экономически самое эффективное квалифицирован­

ное снабжение потребителей газом. При оптимизации по

второму критерию за счет синхронизации работы компрес­

сорных станций в зависимости от изменений внешних роз-

226

действий (к примеру, останова агрегатов на ремонт и т. п.) при условии постоянных затрат повышается производитель­

ность системы газоснабжения в пределах, позволяемых

технологическими ограничениями. Оптимизация неста­

ционарных режимов газопередачи по третьему критерию

позволяет добиться максимальной суммарной производи­

тельности в наиболее сложных условиях управления в АСУ

работой системы газоснабжения (выход из строя агрегатов, засорение отдельных участков и т. п.) — в периоды необ­

ходимости максимальной подачи газа в систему газоснабже­

ния. Оптимизация работы системы по четвертому критерию

позволяет в минимальное время восстановить режим газо­

передачи или перейти на новый при условии изменения

различных воздействий на объект управления.

Основные задачи оптимального управления режимами газоснабжения можно сформулировать так:

а) перевод объекта газоснабжения из одной точки функ­

ционального фазового пространства в другую, наперед за­

данную. Иными словами, эта задача смены состояний с уче­

том нестационарного движения газа по трубопроводам при

соответствующей совокупности граничных условий. Пусть задана некоторая вектор-функция Р * = Р * (х).

Необходимо найти вектор управления во времени U (t) х

X 6 [П U ] такой, чтобы в конце процесса t — tx уклонение

V t

вектор-функции распределения Р (х, t) от функции Р * (х) было бы минимальным, т. е. чтобы некоторый функционал:

П1 _

представляющий меру уклонения, достигал наименьшего

значения;

б) задача о поддержании заданного Р * (х) состояния

при возмущающих воздействиях — задача инвариантности.

чтобы был обеспечен минимум максимального отклонения

от заданного распределения, т. е.

227

в) задача о переводе объекта газоснабжения в заданное состояние (задача «а») или поддержания фиксированного

состояния (задача «б») при одновременном выполнении условия минимума суммарных затрат.

чтобы в конце процесса, кроме выполнения условий мини­

мума отклонений (3.197) и (3.199), обеспечивался минимум функционала:

г _

где N [ Р (х , t)] — обобщенная функция затрат.

Задачу «а» решают при более резких изменениях газо-

потребления, при межсезонных переходах, при вводе новых

мощностей и проектировании системы газоснабжения и т. п.

Более важной в оперативном управлении в АСУ является

задача «б» — компенсации возмущений — различных изме­

нений газопотребления в системе. С точки зрения экономии

энергетических ресурсов актуальной задачей является за­

дача «в». Она охватывает более широкий круг вопросов, реализация которых необходима для оперативного управле­

ния в АСУ режимами газоснабжения.

Рассмотрим математическую постановку задачи оптими­ зации. Предположим, что анализируется система, состо­ ящая из компрессорной станции и отводящего участка газо­ провода, а в качестве начальных условий при t = 0 для уравнения газопередачи (3.14) задано распределение дав­ ления по участкам системы* В качестве граничных условий

на выходе компрессорной станции принято постоянное дав­

всех рассматриваемых моментов времени, кроме конечного

числа моментов, где функция может иметь разрывы перво­ го рода, что имеет место при переключении агрегатов.

Требуется найти такое управление U (t)£U, которое

выведет объект на новый режим работы, минимизируя функ-

228

Этот функционал не соответствует полностью реальному

значению энергозатрат, так как составлен для термически

изолированной системы. Он представляет собой интеграл

от изотермической мощности. Поиск оптимальных режимов можно проводить по двум критериям: минимуму затрат

энергетических и стоимостных. В случае применения стои­

мостного критерия мощность пересчитывают на коли­

чество топливного газа, используя при этом теплотехниче­

ский эквивалент, согласно формуле:

скр

Аналитическое решение задачи оптимизации можно про­

вести следующим образом. Для уравнений (3.14) без учета

инерционного члена с начальными условиями:

и граничными условиями:

необходимо определить по заданным ф (х) и х (t) управление U (t), доставляющее минимум функционалу:

оСо

где tx — любое постоянное время, за которое интегрируется

функциональная зависимость (3.204) при ограничениях:

229