книги из ГПНТБ / Баясанов, Д. Б. Автоматизированные системы управления трубопроводными объектами коммунального хозяйства

Т а б л и ц а 1

вероятности предполагаемого (экспоненциального) закона

распределения. В результате расчета окончательно получим

Так как /2 < /о,ооь то гипотеза подчиненности случай­

ной величины времени обработки сообщений в АСУ экспо­ ненциальному закону не противоречит экспериментальным данным и выводам.

§4. МЕТОДЫ РАЦИОНАЛЬНОГО СБОРА

ИСТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ

Большинство технологических и некоторых произ­

водственных показателей процессов в отраслях коммуналь­ ных хозяйств могут быть подвергнуты статистическому

90

контролю и анализу. При разработке информационного

обеспечения АСУ^ весьма ^существенное значение имеют методы рационального сбора и статистической обработки

этой информации, определения длительности и периодич­ ности измерений контролируемых параметров в системе.

Известно, что к решению задач применимы различные подходы и методы их реализации. Большое распростране­ ние здесь получил способ определения интегральных зна­ чений случайных функций, основанный на применении из­

вестной теоремы В. А. Котельникова, которая указывает

путь и возможность приближенной замены функции непре­

рывного аргумента функцией дискретного аргумента, В ре­

зультате раскрывается возможный переход от непрерывной

функции f (t) к некоторой совокупности мгновенных дис­

лев несколько расширили возможности применения теоре­

мы о замене непрерывных функций дискретными значениями,

распространив эти идеи и на случайные стационарные про­ цессы. Ими были показаны возможности дискретизации

случайных стационарных процессов при ограниченном

спектре и на определенном отрезке времени с помощью конеч­ ного числа членов ряда Котельникова. Передавая конечное число дискретных отсчетов N + 1, определенное по теореме В. А. Котельникова, в информационной модели через час­

тоту среза (о0 спектральной плотности случайного стацио­ нарного процесса, можно получить интегральное значение функции за определенное время Т. Положения теоремы В. А. Котельникова получили сравнительно широкое рас­

пространение в различных областях науки и техники для

определения характеристик параметров технологических процессов. Однако их применимость для установления пе­ риодичности контрольных операций по определению неко­ торых параметров ограничивается в связи со следующими моментами. Аппроксимация измеряемого сигнала с помощью тригонометрических суммирующих рядов требует сложных расчетов для каждой точки анализа и для многих сигналов

сложной формы приводит к тригонометрическому ряду,

весьма медленно сходящемуся.

Следует отметить, что неопределенность собственно слу­

чайной функции всегда больше неопределенности ее средне­

го интегрального значения и поэтому для ее определения

нет необходимости в полных сведениях о ходе изменения

функции. Это обстоятельство указывает на возможные пути

91

организации более эффективных способов сбора сведений в информационной сети. К ним следует отнести методику,

предложенную Б. М. Гешелиным, который, полагая, что поведение некоторых технологических параметров можно представить в виде суммы полезного процесса и высокочас­ тотного шума y ( t ) , предлагает установить длину интервала

усреднения Т, обеспечивающего минимальную среднеквад­

ратичную ошибку в определении полезного процесса х (/)

для произвольной точки /г. При этом статистическая обра­ ботка информации базируется на предположениях о том, что

анализируемый случайный процесс представляет собой

сумму низкочастотного сигнала и сравнительно высокочас­

тотного шума, искажающего эту информацию. Полезный

сигнал, в силу ряда причин, на достаточно больших про­

межутках времени, в первом приближении, может считаться,

постоянным или изменяющимся по линейному закону. По­

лезный процесс и шум являются статистически независимы­

ми процессами.

При этом необходимая продолжительность непрерывных

измерений, гарантирующая выделение полезного сообще­

о

где ky (т) — автокорреляционная функция шума; R — максималь­ ное значение шкалы измерительного прибора.

Если сообщения поступают в виде дискретных значений,

передаваемых через промежутки времени At, то можно ис­

пользовать формулу для определения N

Отсюда продолжительность контроля при Т = NAt.

С. Я. Виленкиным предложена несколько иная формула для определения е2:

92

где a fm и Gm//—дисперсии оценки математического ожидания полез­ ного сообщения и шума, определяемые по формуле:

2 г

°™ = 2k

•О

Продифференцировав уравнение (2.14), можно получить

соотношение для определения оптимальной длины интер­ вала усреднения Т

Для подавляющего большинства производственных и тех­

нологических процессов корреляционные функции полез­

ных сигналов и шумов имеют, как правило, стандартный

вид: для полезного низкочастотного сообщения — типа

затухающей экспоненты; для высокочастотного шума —

типа экспоненциально затухающего косинуса. Последние функции могут быть аппроксимированы следующими зави­ симостями:

Подставив равенства (2.16) и (2.17) в уравнение (2.15),

можно получить выражение

Анализ выражения (2.18) позволяет сделать вывод о том,

что оптимальная продолжительность контроля (измерения)

Т является функцией ряда аргументов: отношения диспер­

93

сии полезного сигнала к шуму, характеристик корреля­ ционных функций. Продолжительность времени контроля

Т может быть легко определена с учетом этих аргументов графическим путем.

В. П. Фадеевым для оперативного контроля параметров

некоторых технологических процессов при определении

продолжительности измерений была предложена следующая формула:

ние средней величины за время замера от среднесуточного значения

то преимущество, что его можно осуществить без предвари­

тельного разделения полезного процесса от шума, но тре­

бует проведения специальных экспериментов, состоящих в необходимости получения непрерывных данных о реали­ зации того или иного производственного или технологи­ ческого процесса.

Задачу определения необходимой длительности замеров для регистрации суточных сообщений параметров с назна­ ченной точностью можно реализовать и при помощи прямого

расчета, имея непрерывные записи изменений производст­

венных или технологических процессов. При этом в различ­ ные дискретные промежутки времени t вычисляют средне­

квадратичные отклонения параметров а и для каждой дли­ тельности строят свой график а = / (/). Зная допустимые

94

среднеквадратичные отклонения о*, по графику находят необходимые длительности измерения контролируемых

в системе АСУ параметров.

Весьма важным моментом контрольных операций при

создании информационной модели АСУ является вопрос

оценки точности воспроизведения контролируемых величин. В целом ряде случаев при этом сталкиваются с необходи­

мостью анализа стохастических пространственно-распреде­

ленных полей, в которых контролируемые параметры рас­

пределены случайным образом не только во времени, но

и в пространстве. При этом имеют место задачи, в Которых

приходится воспроизводить такие поля, строить карты конт­

ролируемых параметров, предсказывать их поведение, оп­

ределять средние значения и возможность применять толь­

ко дискретные замеры и т. п.

Дискретность замеров нередко обусловливается числом

мест контроля, в которых производят эти измерения. Ясно,

что измерение параметров даже во всех доступных точках

позволяет воспроизвести картину поля между этими точ­ ками с некоторой погрешностью.

Для оценки этой погрешности можно воспользоваться методом, основанным на обобщении теоремы В. А. Котель­ никова (теоремы отсчетов) для двумерного случая. Ниже будет показано, что для одномерного случая эта теорема дает возможность установить периодичность контрольных

операций в АСУ по измерению непрерывных процессов для последующего их воспроизведения без особых искажений. Эти отрезки времени однозначно определяются граничной частотой спектрального разложения в ряд Фурье функций,

характеризующих протекание производственных или тех­

нологических процессов. Понятно, что положения этой тео­ ремы можно также применить и к функциям, изменяющим­ ся не только во времени, но и по любому другому аргументу.

В двумерном случае для представления поля парамет­ ров необходимо определить вид структурной сетки дискре­ тизации исходной двумерной функции параметра и расстоя­ ние между точками измерения поля в зависимости от вы­

бранной сетки дискретизации. Так, например, можно вы­

брать прямоугольную или ромбическую сетку с углом в 120°. В этом случае площадь, приходящаяся на каждую

X ]/3

95

где функция отсчетов для двумерного случая:

'О)

Таким образом, если известны значения ф у н к ц и и х2)

в точках отсчетов, то она может быть полностью определена

для всех хг, х2 суммированием типовых функций отсчетов. Выражение для фу-нкций отсчетов может быть раскрыто

подробней после осуществления процесса интегрирова­

ния. Следует отметить, что вывод о том, что наилучшая

дискретизация достигается при ромбической сетке, целиком

отвечает практике разработки информационного обеспече­

ния АСУ таких комплексов, как отрасли коммунальных

хозяйств городов и населенных пунктов, где обычно не тре­

буется очень точного воспроизведения поля контролируе­

мых параметров. Достаточно чтобы ошибка приближения

не превосходила некоторых допустимых значений. Степень

такого приближения обычно связана с ограничением числа

членов бесконечного ряда (2.20) и равносильна ограничению спектра.

В качестве критерия точности воспроизведения пара­

метра в АСУ целесообразно выбрать величину:

о о

Эта величина ошибки может быть выражена через спект­ ральную плотность G (оц, со2) случайной функции поля (спектральная плотность характеризует распределение энер­ гии контролируемого процесса по частотам элементарных гармоник):

00 оо 00

Свойства спектра таковы, что в некотором диапазоне частот

от нуля до cot и cofe сосредоточена основная часть спектра.

Если для выбора расстояния между дискретизирующими точками использовать диапазон частот, ограниченный значе­ ниями сот и Wft, то определяемое поле будет воспроизведено с относительной погрешностью б.

Таким образом, воспроизведение поля параметров опре­ деляется спектральной плотностью G (со) и величиной час­

тоты среза В, которая связана с числом замеров параметра

и заданной ошибкой б. Положим, что функция f (хъ х2) ста­

ционарна по пространству. Тогда функция корреляции за­

висит от разности координат xt — х\, а не от их значений,

— СО

где r = V {xi —*i) 3+ {хг—Ха)2-

Результаты исследований показывают, что для многих тех­

нологических процессов корреляционные функции имеют

вид:

метры, характеризующие соответственно быстроту затухания и ко­ лебательность корреляционных функций, и находятся они для каж­ дого конкретного случая в результате соответствующей обработки исходных данных.

Подставляя выражения (2.27) и (2.28) в формулу (2.26), получим следующие аналитические выражения спектраль­ ных плотностей для этих типов корреляционных функций:

Так как в контрольных операциях используют такие

характеристики, как среднее значение, дисперсия, спект­

ральная и корреляционная функции, определяемые по огра­

ниченному числу дискретных значений контролируемого процесса, то приведем расчетные формулы оценки точности

98

этих характеристик. Оценка точности оу среднего значения

/ имеет вид:

П—1

диус) фиксации поля параметров; в случае прямоугольной и ромби­ ческой сетки дискретизации соответственно: s — площадь поля пара­ метров; п — количество фиксируемых точек.

Для оценки точности дисперсии а| используют формулу

Определение же точности спектральной плотности сложно

и выражение для нее весьма неудобно при практическом

использовании.

Учет этих взаимосвязей позволяет получить корреля­

ционную функцию в доверительных пределах. Ясно, что

истинные величины параметров корреляционных функций

аи ( 3 будут также находиться в некоторых пределах. При этом максимальным значениям а и р соответствует крайнее левое положение начального участка корреляционной функ­ ции, а минимальным значениям а и Р — крайнее правое по­

ложение начального участка кривой. Поэтому постоянные

аи р следует определять по нескольким характерным точ­

кам кривой р (г). Так, для корреляционной функции, аппрок­

симируемой выражением (2.28), имеем