книги из ГПНТБ / Технические и экономические основы литейного производства

Рис. 7. Общая схема работ по оптимизации процесса с использованием его математической модели

71

Симплекс-метод состоит из алгоритма отыскания какого-ни­ будь опорного среди решений системы линейных неравенств, которое образуется в области допустимых значений, и из алго­ ритма последовательного перехода от полученного уже опорного решения системы к новому опорному решению, для которого целевая функция имеет большее (меньшее) значение. Процесс перехода продолжается до получения максимизирующего (ми­ нимизирующего), т. е. оптимального решения.

Метод наискорейшего спуска по поверхности отклика состоит из алгоритма отыскания исходного приближения и из алгоритма шагового поиска оптимального решения. На каждом шаге ре­ шается отдельная задача линейного программирования. Таким образом, решение нелинейной задачи сводится к решению целого ряда линейных задач.

Метод наискорейшего спуска предназначен для такого рода нелинейных задач, когда как минимизируемая функция (требо­ вания максимизации функции всегда можно свести к требованию ее минимизации за счет изменения знаков, стоящих перед коэффи­ циентами, на обратные), так и функции ограничений нелинейны,

данные условия не выполняются, что указывает на наличие ло­ кальных минимумов. Это обстоятельство значительно усложняет решение задачи нелинейного программирования, так как обыч­ ный алгоритм может привести не к глобальному минимуму, а к одному из локальных. В связи с этим при использовании мето­ дов наискорейшего спуска рекомендуется тщательно исследовать на выпуклость функции типа (26) и (27). При отсутствии выпук­ лости процесс решения задачи необходимо повторить для неко­ торых различных исходных приближений. Если получаются оди­ наковые результаты, имеем сразу глобальный минимум; если разные — несколько локальных минимумов, из которых глобаль­ ным будет наименьший. Выполнения условия выпуклости обла­ сти допустимых решений, содержащей внутренние точки х,-, мож­ но добиться, например, за счет выбора корректных численных значений ограничений, накладываемых на систему (27).

Сложность поиска оптимальных параметров литейных про­ цессов обусловливается также большим количеством параметров, многие из которых взаимосвязаны и действуют в противополож­ ных направлениях. Поэтому в ряде случаев используется сочета­ ние различных методов оптимизации, позволяющее получить оп­ тимальное решение задачи или близкое к нему.

Сложной является также сама постановка задач оптимиза­ ции, связанная со спецификой литейного производства. Оптими­ зируемые параметры в любом производстве можно разделить на исходные — начальные условия процесса и рабочие — собствен­ но параметры процесса. Однако в литейном производстве боль­ шинство исходных параметров, включая параметры шихтовых и

72

формовочных материалов, являются качественными, определяю­ щими химический состав и свойства объекта производства. В си­ лу этого исходные параметры, в отличие от рабочих, динамич­ ны— в процессе производства преобразовываются, превращаясь в показатели отдельных литейных процессов и снова в парамет­ ры других. Результативные показатели производственного про­ цесса являются одновременно параметрами отливок, как литей­ ных заготовок, или иначе — показателями их качества как гото­ вой продукции. Таким образом, в процессе производства образуется кругооборот параметров и показателей, некоторые исходные параметры объекта производства исчезают, другие воз­ никают вновь под воздействием рабочих параметров отдельных процессов. В этой связи возникают трудности в определении кри­ териев оптимизации.

Для примера рассмотрим схематично производство отливок из серого чугуна при литье в песчано-глинистые формы без стержней. Результативными показателями процесса производст­ ва — показателями качества отливок — являются прочность при разрыве и изгибе, твердость, плотность и герметичность, сплош­ ность и однородность металла, отсутствие отбела, геометричес­ кая и весовая точность, чистота поверхности и другие. Эти пока­ затели непосредственно зависят от химического состава сплава (С, Si, Р, Mn, S и пр.) и его температуры при перегреве и за­ ливке в формы (/п и /3), от параметров самой формы — ее плот­ ности (р), прочности (ош), влажности ( W ) и газопроницаемости ( К ) , при этом принимается, что конструкции модели и формы ре­ шены правильно. Таким образом, по аналогии с системой уравне­ ний (20) можно записать

получение заданных показателей качества отливок. При отсут­ ствии особых требований критерием оптимизации можно назна­ чить любой /-й показатель при ограничениях на другие показа­ тели. В качестве критерия оптимизации может быть принят так­ же внешний показатель, например структура сплава, которая является функцией почти всех вышеперечисленных параметров. Указанные параметры являются одновременно показателями отдельных литейных процессов, и их получение требует решения ряда оптимальных задач. Так, например, химический состав сплава является функцией химического состава шихты и условий плавки, определяющих степень усвоения и угара отдельных эле­ ментов, включая газы. В частности, при выплавке чугуна в ин­ дукционных печах усвоение элементов зависит от температуры перегрева металла, продолжительности его выдержки в тигле печи и других параметров. Температура перегрева при индукци­

73

онной плавке является функцией активной мощности, выделяе­ мой в шихте, которая, в свою очередь, помимо прочих факторов, зависит от свойств и конфигурации шихтовых материалов. При ваграночной плавке температура перегрева является функцией расхода кокса (исходный параметр) и расхода дутья (рабочий параметр), которые также взаимосвязаны. Свойства песчано­ глинистой формы (р, Ow, W , К ) как показатели процесса ее из­

готовления являются функцией рабочего параметра процесса — работы, затрачиваемой на уплотнение формовочной смеси, и па­ раметров самой смеси — ее влажности (№с), газопроницаемости (К с) и текучести Т, которые, в свою очередь, зависят от состава и свойств формовочных материалов. Помимо указанных имеется множество других оптимальных задач, в частности определение оптимальной температуры заливки металла в формы, оптималь­ ных условий модифицирования и пр.

Таким образом, поиск оптимальных параметров литейных процессов являетя сложной взаимосвязанной задачей.

Для иллюстрации методики поиска оптимальных параметров рассмотрим несколько примеров.

Оптимизация процесса приготовления жидкостекольной фор­ мовочной смеси. Для построения математической модели выбра­ ны четыре основных фактора процесса смесеприготовления [30,

1,46— 1,50 г/см3) на замес в % от веса песка; тп — время перемешивания смеси в мин.

Исходя из технологических соображений, при проведении экс­ периментов было решено контролировать следующие физико­ механические свойства смеси:

А — работа на выбиваемость сухих образцов смеси, залитых

жидким металлом, в кГм; К с — газопроницаемость сухого образца смеси в единицах;

а ю — прочность смеси на сжатие в сыром состоянии в кгс/см2; Осо, — прочность на разрыв по сухому образцу в кгс/см2 (про­ дувка СОг продолжительностью 1 мин при давлении

0,4 ат);

W c — влажность смеси в %.

Для проведения исследования использовано планирование ти­ па 24_1 (полуреплика полного факторного эксперимента для че­

тырех переменных).

Смесь приготовлялась в соответствии с запрограммированны­ ми условиями проведения эксперимента на лабораторных бегу­ нах модели 016. Сначала в смеситель засыпались песок и опил­

74

ки, которые перемешивались в течение 1 мин, а затем заливались

жидкие компоненты.

Физико-механические свойства определялись как средние по

ческих данных — получаем следующую модель процесса (незна­ чимые члены исключены):

А = 1,44 — 1, 12лГ| + 0,32*2 + 0,64*3— 0 , 3 2 х {х 2 — 0,64х,х3 ±

± 0,32 кГм;

Л’с = 110 + 9,75*1 — 4,25*2— 10* 3+ 1,75*,*2— 1,5* 2* 3 ± 5 ед.;

а ш = 0,075 + 0,0125*, — 0,02* 2— 0,005*3 — 0,01 25*j*2 +

(28)

+ 0,01*2* 3 ± 0,01 кг/см2;

aCot = 2,4 — 0,425*, + 0,175*2 + 0,55*3 + 0,05*,*2 ±

— ошибки эксперимента, вычисленные по результатам трех опытов на основном уровне изучаемых факторов.

Оценка влияния рассматриваемых факторов на свойства сме­ сей производится по численному значению и знаку каждого ко­ эффициента регрессии.

75

Требуется минимизировать целевую функцию

А = 1,44 — 1,12Х[ + 0,32х2 + 0,64*з— 0,32*[*2— 0,64*і*3 (30)

при соблюдении вышеуказанных ограничений, наложенных на остальные уравнения системы (28).

Данная задача может быть отнесена к типовым задачам не­ линейного программирования и решается методом наискорейше­ го спуска по поверхности отклика.

Минимальное значение целевой функции А = 0,32 кГм имеет место при следующих условиях:

верены в заводских условиях на производственных бегунах мо­ дели 112, что позволило уточнить модель процесса для исполь­

зования ее в производственных условиях:

А = 1,2— 1,12*! + 0,32*2 + 0,64*з— 0,32*[*2— 0,64*!*3 ± 0,32 кГм;

К с = 125 + 9,75*!— 4,25*2— 10,0*3 ± 5 ед.;

76

a w = 0,05 + 0,01л:, — 0,02л3— 0,01лг3— 0,01лг,лс2 + 0,01лг2дс3 ±

± 0,01 кг/см2;

öcOj = 2,7—0,43х, + 0, 18л:2 + 0,55л3 ± 0,20 кг/см2;

Wz = 3,5 — 0,11л:, + 0,38л:2 + 1,16х3 ± 0,10% .

Методика поиска оптимальных параметров литейной формы. Для решения задачи использована модель (22). Так как модель построена всего на двух независимых переменных, для их опти­ мизации проверена возможность применения методов математи­

В большинстве случаев желательно иметь максимальные зна­ чения газопроницаемости и прочности. Исследуя уравнения сис­ темы (22) на максимум свойств для вышерассмотренного диапа­

одновременно -получить невозможно.

Удовлетворительное решение достигается применением мето­ дов математического программирования. В качестве комплексно­ го критерия оптимизации выбран функционал

дующую целевую функцию, значение которой требуется макси­ мизировать:

Аналитическое и графическое (рис. 10) решение задачи пока­ зывает, что максимум функционала L = 1,322 достигается в точ­ ке = — 1,18 ( W = 3,9%); х 2 — 0,312 (р = 1,65 г/см3), что соот­ ветствует К = 69 ед., Ow = 0,89 кг/см2.

Полученные значения газопроницаемости и прочности формы удовлетворяют технологическим требованиям, однако чаще встречаются случаи, когда необходимо получить большую газо­ проницаемость формы даже за счет некоторого снижения ее

77

показано на рис. 10. Это решение является оптимальным. При­ веденная на рис. 11 номограмма, построенная в рассмотренном

С = 3,23 + 0,35*! — 0,05х2 + 0,03х3— 0,04х4 + 0,08*5 +

+ 0 ,12х6— 0,05л:ѵ— 0,02*[*2 + 0,02x^5 — 0,04x5x6 —

— 0.03* ! * , — 0,06*? — 0,08*5 — 0,06* 1;

— 0,04*6 -J- 0 ,18*а— 0,04*з*4 — 0,05*2*6 + 0,03*5*6;

Мп = 0,88 — 0,2*! + 0,03*2 + 0,35*3— 0,02*6 — 0,05*3*4 —

— 0 ,0 4 * 5* 6 ;

78

Р = 0,42 + 0,02*3 + 0,35*4 — 0,02*5— 0,02* ,* 2— 0,02*4*5;

С, Si, Mn, Р, Сг, Ni, C', Si', Mn', P', Cr', Ni' — содержание хими­ ческих элементов в чугуне и в шихте в %; t a — температура пе­

Анализ модели показывает, что усвоение углерода ухудшает­ ся с увеличением его содержания в шихте, увеличение кремния и фосфора также отрицательно сказывается на усвоении углерода. Условия плавки наибольшее влияние оказывают на усвоение углерода и кремния, слабо влияют на усвоение марганца и фос­ фора и не оказывают сколько-нибудь заметного влияния на ус­ воение хрома и никеля. Увеличение температуры перегрева и времени выдержки повышает усвоение углерода до определенно­ го уровня, после которого начинается понижение усвоения за счет превалирования процесса угара над процессом пригара углерода от электродного боя (карбюризатора). По усвоению остальных элементов экстремальные точки не обнаружены; кри­ вые имеют монотонный характер.

При расчете шихты одним из критериев оптимизации являет­ ся усвоение углерода, которое должно быть максимизировано. Так как его усвоение зависит от химического состава чугуна, покажем решение оптимальной задачи для одного определенного

которых подлежит оптимизации. Целевая функция примет вид

получим их оптимальные значения: * 5 = 0,27; * 6 = 0,91. Это озна­

чает, что при принятом химическом составе металла (С' = 3,3%;

по существу углерод усваивается полностью.

79

При наложении ограничений на свойства чугуна или на ус­ воение других химических элементов, в частности на кремний и фосфор, получим другие значения параметров процесса tn и тв, при которых коэффициент усвоения углерода обычно уменьшает­ ся. Такая задача решается методом математического програм­ мирования.

Пользуясь приведенной выше моделью, можно определить максимально возможное содержание углерода в чугуне в рас­ смотренном диапазоне изменения независимых переменных, кро­ ме углерода шихты. Принимая наиболее благоприятные для ус­

= 22 мин. Эти точки примечательны тем, что в этом случае на­ блюдается равновесие между процессами угара и усвоения угле­ рода. Подставляя полученные значения в уравнение системы (33) для С, получим максимально возможное усвоение углерода, рав­ ное 4,15%, при коэффициенте усвоения К с = 0,85. Это означает, что дальнейшее (свыше 4,9%) насыщение металла карбюриза­ тором в рассматриваемом диапазоне изменения независимых переменных не повысит содержания углерода в чугуне, а приве­ дет к снижению коэффициента его усвоения. Такая же картина будет наблюдаться при неблагоприятных для усвоения углерода значениях Хг, х4, х7 = + 1 и Хз = — 1 и указанных выше значениях /п(х5) и т в ( х 6) . В этом случае С' и С составят соответственно 4,8

и 3,83% и коэффициент усвоения углерода будет равен 0,8. Минимизация отбела в чугунных отливках. Пользуясь мето­

дами математического программирования, можно решать также задачи металловедческого характера, в частности, осуществить поиск оптимальных параметров процесса, обеспечивающих от­ сутствие отбела в чугунных отливках.

Наличие отбела значительно ухудшает обрабатываемость ли­ тых заготовок, поэтому решение такого рода задач, позволяющих исключить или минимизировать отбел, имеет большое практиче­ ское значение.

Данная задача была решена на основе математической моде­ ли процесса (20) на ЭВМ «Минск-22» с помощью методов мате­ матического программирования [43]. Результаты приведены ниже.

Для марки СЧ 21-40 отсутствие отбела достигается при сле­

же марка чугуна без отбела может быть получена и при его дру­ гом химическом составе, например С = 3,25%, Si = 1,95%, Mn =

80