книги из ГПНТБ / Технические и экономические основы литейного производства

лиз, расхождения между расчетными п фактическими данными не превышают удвоенного значения среднего квадратического отклонения (± 2 о ), что свидетельствует о целесообразности по­ строения математических моделей литейных процессов вышеука­ занными методами. Сопоставление расчетных и фактических дан­ ных приведено в табл. 13. В таблице показаны также их средние арифметические отклонения Дср.

Для проведения эксперимента на втором этапе использовано планирование типа 23. Матрица планирования эксперимента при­ ведена в табл. 14, согласно которой предусматриваются восемь плавок для отыскания коэффициентов регрессии и четыре— на основном уровне для оценки значимости коэффициентов и про­ верки адекватности модели.

В процессе данного эксперимента независимые переменные

Х\ — Ха сохранялись на основном уровне с внесением в уравнение

(18)соответствующих коррективов по их фактическим значениям

вкаждой плавке. Это особенно коснулось химического состава металла, который не удавалось, как и в предыдущем эксперимен­ те, строго поддерживать на заданном уровне.

Результаты регрессионного анализа приведены в табл. 15. На их основе получены следующие уравнения регрессии, связываю­ щие свойства чугуна с параметрами литейной формы и темпера­ турой заливки металла в формы (без учета малозначимых коэф­ фициентов) :

b — 2,25 + 1,5*ю + 2,25*і 1 + 1,5*ю*11 •

Как и в предыдущем эксперименте, точность уравнений была проверена на серии контрольных плавок, результаты которых приведены в табл. 16. Как видно из табл. 16, средние отклонения между расчетными и фактическими данными находятся в преде­ лах ошибок эксперимента, указанных в табл. 15.

Объединение систем уравнений (18) и (19) с учетом соответ­ ствующего пересчета свободных коэффициентов регрессии дает новую систему уравнений (20), которая позволяет с достаточной точностью установить количественные взаимосвязи между свой­ ствами чугуна и рассмотренными выше технологическими фак­ торами.

61

« 2

Таблица 16

Результаты сопоставления фактических данных с расчетными по модели (19)

Для предела прочности при разрыве ов = 23,3— 2,03л:, — 1 ,54л:2 + 2,24х7— 1,49х,х7— 1,69*5х7 +

+ 1,2л:9 + 1,3*10+ 1,3*10*,,.

Для предела прочности при изгибе

0И= 41,2 —3,05*і + 1,95*з + 2,б2*4— 1,88*5 + 2,26*7—

— 2,88*5*7 + 1,5*9-

Для стрелы прогиба

/зоо = 2,81 + 0,22*, + 0,13*2— 0,22*4 + 0,21*7— 0,14*,*2 +

Для жидкотекучести

Ъ = 55,9 + 4,43*і + 12,56*5 + 6,12*6 —3,87*7—3,43*8 +

+6,81*і*2 + 3,62*5*7 + 12*7*8+ 11,1*9—3,4*,о+3,6*п +

+2,8*9*ц — 'ЭДлГюл:,,.

Для отбела

Ь = 8,48— 3,62*,— 4,75*2— 3,75*, + 2,75*,*2 + 2,75*5*7 +-

+ 1,5*10 + 2,25*,, + l,5*jo*jj.

Перевод независимых переменных . в уравнениях регрессии (20) из относительных единиц в натуральные осуществляется

63

согласно формуле (2). Для рассматриваемых переменных это со­ ставит

Подставляя выражения (21) в уравнения (20), получим сис­ тему уравнений регрессии в натуральных единицах, действитель­ ную в заданных интервалах варьирования независимых перемен­ ных. Например, уравнение для предела прочности сгв в натураль­ ном выражении примет вид

<ти= 141,5— 20С(<7„ + 0,105) — 6.2S1+ 107,5^,+

+ 0,035А/П(1— З,22(7м) + 0,04Д/3 — 21.4U7+ 14,3р(«7— 5,5).

При постоянной влажности W — 5,5% получим: для модифицированного чугуна ( q M = 0,6)

gb= 88— 14,1C— 6,2Si — 0,035А/П+ 0,04Д/3;

для немодифицированного чугуна ( q M = 0)

аа= 23,5 — 2, 1C— 6,2Si + 0,035А іп+ 0 ,Q4M 3.

Следует заметить, что в приведенных уравнениях эффект тем­ пературы перегрева смешан с эффектом температуры модифи­ цирования.

Пример построения математической модели, связывающей газопроницаемость и прочность формы с ее плотностью и влаж­ ностью [25]. Вследствие большого числа показателей, характе­ ризующих состояние и качество исходных формовочных материа­ лов, математическая модель процесса формообразования может быть получена только для определенного состава формовочной смеси, который в данном эксперименте был следующим: свежий кварцевый песок марки К016Б — 6,5%, глина — 1,5%, отработан­ ная смесь, содержащая около 8% глины,— 92%-

Уплотнение смеси производили на лабораторном копре моде­ ли 030 и формовочной машине модели 271.

Все физико-механические свойства смеси определялись как средние значения по трем параллельно испытываемым образцам с использованием стандартной методики.

Испытание образцов на газонепроницаемость и прочность в сыром состоянии производили на приборах моделей 042 и 051 соответственно.

64

Плотность набивки формы определялась взвешиванием про­ бы постоянного объема, отбираемой из литейной формы специ­ альным пробоотборником. Для определения влажности исполь­ зован метод высушивания образца до постоянного веса.

На основании литературных данных и статистической обра­ ботки результатов наблюдений за процессом уплотнения смеси было установлено, что между влажностью и плотностью набивки, с одной стороны, и газопроницаемостью и прочностью формы, с другой стороны, наблюдаются нелинейные зависимости, имею­ щие экстремальные точки. При этом было замечено, что все фи­ зико-механические свойства целесообразно делить на первичные (влажность W и плотность р) и вторичные (газопроницаемость К И прочность Огѵ) .

Для описания нелинейных зависимостей был применен план эксперимента, использующий планирование второго порядка для

* коэффициенты с 5%-ным уровнем значимости.

Регрессивный анализ результатов эксперимента (определение коэффициентов регрессии, оценка их значимости и проверка адек­ ватности представления результатов исследований полученными уравнениями) приведен в табл. 18, на основании которой форми­ руется следующая система уравнений:

Для проверки точности уравнений дополнительно провели серию контрольных опытов, результаты которых показывают, что

66

iS

где Н — поверхностная твердость формы, определяемая в едини­ цах стандартного твердомера мод. 071.

2. ПОИСК ОПТИМАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИИ ПАРАМЕТРОВ ЛИТЕЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

При проектировании определенного процесса необходимо установить такие значения его параметров, которые обеспечива­ ют получение заранее заданных показателей этого процесса. Такая задача решается различными способами в зависимости от формы, в какой заданы показатели процесса. Если все показате­ ли заданы как постоянные величины и их количество равно п, то при наличии математической модели процесса с числом урав­ нений п , большим или равным числу параметров т ( п ^ т ) , за­ дача нахождения необходимых значений параметров решается однозначно алгебраическим путем. При п < т некоторые пара­ метры ( т — п ) необходимо, исходя из технологических сообра­ жений, стабилизировать на постоянном уровне. Если число пара­ метров невелико, данная задача может быть решена графически.

Однако на практике большинство показателей литейных про­ цессов задается системой неравенств, что во всех случаях приво­ дит к решению оптимальных задач. Так, например, при необхо­ димости получить определенную марку серого чугуна, которая определяется показателями прочности металла при разрыве и изгибе, устанавливаются ограничения на твердость сплава, нали­ чие отбела и др., что вынуждает принимать такие значения пара­ метров процесса, которые удовлетворяют указанным ограниче­ ниям, задаваемым в виде неравенств. В противном случае задача может не иметь решения.

В общем виде оптимизация процесса означает выбор таких параметров процесса и поиск таких значений этих параметров, которые по определенному критерию оптимизации будут наи­ лучшими.

При наличии заранее заданного комплекса параметров (при рассмотрении конкретного технологического процесса) оптими­ зация процесса будет состоять только в поиске наилучших значе­ ний этих параметров, которые могут быть минимальными, мак­ симальными, а в общем случае оптимальными величинами.

Критерии оптимизации подразделяются на экономические, характеризующие экономическую эффективность процесса, соци­

68

альные, характеризующие интенсивность и условия труда рабо­ чих, и технические, характеризующие качественные показатели процесса, например прочность сплава.

В настоящем разделе поиск оптимальных параметров рас­ сматривается главным образом на основе технических критериев оптимизации и частично—социальных критериев (гл. III). В дальнейшем изложении слово «технические» в определении указанных критериев опускается. Оптимизация процессов на базе экономических критериев рассматривается в гл. V.

Наиболее рациональными методами поиска оптимальных зна­ чений параметров литейных процессов являются методы матема­ тического программирования. В ряде случаев задача может быть решена графическим построением зависимости «параметры — показатели» или математическим анализом модели — решением задачи в частных производных.

Оптимизация процесса методом математического программи­ рования предусматривает выполнение следующих этапов:

1. Выбор целевой функции, т. е. установление из числа полу­ ченных уравнений наиболее важной с технологической или тех­ нико-экономической точки зрения зависимости, характеризующей определенный показатель процесса, который выступает как кри­ терий оптимизации и должен быть максимизирован (минимизи­ рован).

К выбору критерия оптимизации нужно подходить с известной осторожностью. Не всегда критерием является ведущий показа­ тель процесса. Часто возникает необходимость в разработке кри­ терия и соответственно целевой функции, которые не имеют непосредственного отношения к алгоритму функционирования системы, но могут быть определены параметрами, характеризую­ щими обсуждаемый процесс. Так, например, как будет показано чиже, критерием оптимизации для определения оптимальных параметров процесса приготовления жидкостекольной смеси вы­ бирается работа, необходимая для выбивки форм, залитых чугу­ ном, т. е. показатель внешний по отношению к данному процессу.

Когда одновременно требуется максимизировать (минимизи­ ровать) не один, а несколько зависимых между собой показате­ лей процесса, например физико-механических свойств металла или формовочной смеси, необходимо разрабатывать комплекс­ ный критерий оптимизации, который может быть представлен суммой уравнений, входящих в новую целевую функцию со сво­ ими весовыми коэффициентами, назначаемыми по технологичес­

69

2. Наложение ограничений на остальные показатели процес­ са, определяемые требованиями конкретного производства. На­ пример,

Система ограничений должна выбираться достаточно коррект­ но, чтобы получить наиболее благоприятные значения каждого из показателей процесса.

Если в уравнения (26) и (27) включить помимо линейных чле­ нов их взаимодействия или квадратичные члены, то задача пре­ вратится из линейной в нелинейную.

3.Формулирование задачи и выбор численного метода ее ре­ шения. В случае линейной модели применяют методы линейного программирования (в частности симплекс-метод), а при наличии нелинейной модели — нелинейное программирование, в частно­ сти метод наискорейшего спуска по поверхности отклика.

Формулирование задачи вытекает из требований к показате­ лям процесса, которые могут быть заданы различными усло­ виями.

4.Решение поставленной задачи с помощью выбранного чис­ ленного метода вручную или на ЭВМ по стандартным програм­ мам. Так как система неравенств (27) образует область допусти­ мых значений параметров процесса, смысл решения задачи

оптимизации заключается в отыскании в этой области такой точки, которая удовлетворяет требуемому максимальному или минимальному значению критерия оптимизации у \ . Следователь­ но, оптимальным будет называться такое решение задачи опти­ мизации, которое удовлетворяет требуемым значениям как кри­ терия оптимизации, так и других показателей процесса. Соответ­ ственно оптимальными будут называться такие значения пара­ метров, которые обеспечивают заданные (требуемые) значения всех показателей процесса.

Общая схема работ по оптимизации процесса с использова­ нием математической модели приведена на рис. 7 [24].

Алгоритмы решения задачи оптимизации по линейной и нели­ нейной моделям приведены в работах [21, 33, 54]. Указанные алго­ ритмы предполагают изменение независимых переменных (опти­ мизируемых параметров) в положительной области значений. Специфика моделей, полученных статистическими методами пла­ нирования экспериментов, в частности линейных моделей, за­ ключается в изменении независимых, переменных в диапазоне от +1 до — 1. Поэтому все независимые переменные в уравнени­ ях (26) и (27) необходимо сдвинуть на единицу вправо так, что­ бы они изменялись в интервале от 0 до +2. Процесс решения задачи оптимизации ведется в новых координатах, а по оконча­ нии решения независимые переменные возвращаются в старую систему координат [46].

70