Доля П.Г. Харьковский Национальный Университет механико – математический факультет кафедра геометрии им. А.В. Погорелова

Комбинаторика представляет собой раздел математики, изучающий способы подсчета количества элементов конечных множеств.

6.1 Основные комбинаторные принципы

Решение многих комбинаторных задач основывается на двух фундаментальных правилах, называемых правилами суммы и произведения. Правило суммы. Если X1 и X2 – непересекающиеся конечные множества, содержащие n1 и n2 элементов соответственно, то объединение X1 U X 2

содержит n1 + n2 элементов.

Сформулированное правило можно распространить на случай произвольного числа слагаемых: если множества X1,X2,…,Xk образуют разбиение множества X, то n = n1 + n2 +…+ nk, где n=|X| – число элементов множества X, а ni=|Xi| – число элементов (мощность) множества Xi, i = 1, 2,…, k. Напомним, что разбиением множества X называется набор его непересекающихся подмножеств, объединение которых дает все исходное множество X.

Правило суммы можно приспособить и для подсчета числа элементов объединения двух множеств с непустым пересечением:

(1)

В самом деле, множества X1\X2 и X1∩X2 образуют разбиение множества X1, поэтому

1

иматематикой, 25 — математикой и химией и 5 студентов изучают все три предмета.

а) Сколько студентов изучают хотя бы один из трех перечисленных предметов?

б) Сколько студентов не изучают ни один из трех перечисленных предметов? в) Сколько студентов изучают только математику?

г) Сколько студентов изучают физику или химию, но не изучают математику?

д) Сколько студентов не изучают ни математику, ни химию?

Поскольку 5 человек изучают все три предмета, а 15 человек — химию

ифизику, остаются 10 человек, изучающих химию и физику, но не изучающих математику. Аналогично, 25 — 5 = 20 человек занимаются математикой и химией, но не физикой, и 20 — 5 = 15 человек изучают математику и физику, но не изучают химию. Данную ситуацию изображает диаграмма Эйлера, приведенная на следующем рисунке слева

Поскольку 50 студентов изучают химию и 35 из них уже учтены, то оставшиеся 15 изучают только химию. Аналогично, 53 студента занимаются математикой и 40 из них уже учтены. Поэтому 13 человек изучают только математику. Наконец, 42 студента изучают физику, и 30 из них уже учтены, поэтому 12 человек изучают только физику.

а) Суммируя количество людей, принадлежащих семи непересекающимся подмножествам, получаем 90 тех, кто изучает хотя бы один из трех предметов.

б) Поскольку 90 из 100 студентов изучают хотя бы один предмет, то 10090 = 10 человек не изучают ни один из этих трех предметов.

в) Из диаграммы Эйлера следует, что 13 человек изучают только математику. г) Тридцать семь студентов занимаются химией или физикой, но не изучают математику.

д) Из диаграммы Эйлера, изображенной на предыдущем рисунке справа, следует, что 75 человек изучают математику или физику. Поэтому 100 — 75 = 25 студентов не изучают ни математику, ни физику. □

Пример. Сколько имеется путей из вершины a в вершину b в сети, показанной на следующем рисунке (движение возможно только вправо или вверх)?

3

множества Х1 х Х2, т. е. упорядоченные пары (х1, х2), можно расположить в виде прямоугольной таблицы со строками — элементами Х1 и столбцами — элементами Х2. В этой таблице, очевидно, будет |X1| x |X2| элементов.

Индуктивный переход. Предположим справедливость утверждения теоремы для n. Покажем, что для n+1 оно будет тоже справедливо. В самом деле, добавляя еще одно множество в декартово произведение, видим, что

В случае, когда X1=X2=…=Xk эта формула принимает вид X k = X k . В этом

случае множество X называется алфавитом, его элементы – буквами, а элементы декартова произведения Xk, т.е. упорядоченные пары из k букв (x1,x2,…,xk) называют словами в алфавите X. Число k называется длиной слова.

Пусть |X|=m, тогда формулу X k = X k можно сформулировать

следующим образом:

число слов длины k в алфавите из m букв равно mk.

Пример. Битовая строка – это строка, состоящая из элементов множества {0, 1}, т.е. каждый из элементов имеет значение 0 или 1. Сколько существует битовых строк длины 5? Сколько существует битовых строк длины k?

Поскольку каждый символ строки может иметь значение 1 или 0, то существует два варианта выбора для каждой позиции. Следовательно, существует 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 25 битовых строк длины 5. По аналогичным соображениям, имеется 2k битовых строк длины k.

□

Пример. Используя правило произведения и правило суммы, найдем число различных трехзначных чисел, не содержащих одинаковых цифр, и число различных трехзначных чисел, содержащих хотя бы две одинаковые цифры Пусть a1, a2, a3 – цифры трехзначного числа. Первую цифру a1 можно выбрать девятью способами (в качестве нее можно взять любую цифру, кроме нуля); при фиксированной первой цифре вторую цифру a2 можно выбрать также девятью способами (в качестве нее можно взять любую цифру, кроме a1); наконец, при фиксированных первой и второй цифрах третью цифру можно выбрать восемью способами. По правилу произведения число трехзначных чисел, не содержащих одинаковых цифр, равно

9·9·8=648.

Всего имеется 900 различных трехзначных чисел (от 100 до 999). Каждое из них либо содержит две одинаковые цифры, либо нет. Следовательно, имеется 900 – 648 = 252 различных трехзначных числа, содержащих хотя бы две одинаковые цифры.

□

5

Третьим важным принципом является правило взаимно однозначного соответствия (правило биекции или правило равенства): множества A и B имеют одинаковое количество элементов | A | = | B | тогда и только тогда, когда между ними можно установить взаимно однозначное соответствие.

В качестве примера применения этого принципа подсчитаем количество всевозможных подмножеств множества M, состоящего из n элементов. Так это количество не зависит от природы элементов множества М, возьмем M={1,2,…,n}. Произвольному подмножеству A M поставим в соответствие двоичное слово α1α2 ...αn по следующему правилу:

1, еслиi A

αi = 0 , еслиi A

Это соответствие взаимно однозначное. Отсюда число всех подмножеств n – элементного множества равно числу двоичных слов длины n, т.е. равно 2n. Пример. Сколькими способами можно разложить 10 монет разной стоимости по двум карманам?

Формализуя задачу, отметим, что два кармана дадут два подмножества 10 – элементного множества; объединение множеств монет, лежащих в этих двух карманах, дает все множество; пересечение этих множеств пусто. Это значит, что те монеты, которые лежат в одном кармане, полностью определяют содержимое второго кармана.

Используя правило биекции, можем сказать, что требуемых способов столько, сколько подмножеств в 10 – элементном множестве. Т.о. можем написать ответ: 210=1024.

□

Напомним также принцип Дирихле, который мы формулировали следующим образом. Пусть f : А —> В — функция, причем как A, так и В — конечные множества. Предположим, что А состоит из n элементов: a1, а2,…an. Принцип Дирихле гласит, что если |А|>|В|, то по крайней мере одно значение f встретится более одного раза. Проще говоря, найдется пара элементов ai ≠ a j , для которых f (ai )= f (a j ).

Пример. Показать, что если в прямоугольнике со сторонами 6 и 8 сантиметров помещены пять точек, то существуют две точки, расстояние между которыми не более 5 сантиметров.

Разделим исходный прямоугольник на четыре прямоугольника, размером 3 на 4 сантиметра каждый. Поскольку пять точек должны находиться либо внутри, либо на границах четырех прямоугольников, то хотя бы две точки должны быть либо внутри, либо на границе одного и того же прямоугольника размера 3 х 4. Но любые такие точки находятся на расстоянии не более 5 сантиметров.

□

6