Доля П.Г. Харьковский Национальный Университет механико – математический факультет кафедра геометрии им. А.В. Погорелова

множество Y». Образ элемента х при этом отображении обозначается символом f(x). Подчеркнем, что каждый x X имеет единственный образ f(x).

Отображение f : X →Y можно представлять себе как некое действие, которое переводит элементы х в их образы y = f (x) Y .

Примеры

1.Если каждому действительному числу х поставить в соответствие число x2, то тем самым будет определено отображение f : R → R (и даже в [0,+∞) ).

2.Пусть X=Y=R – множество действительных чисел. Формула y=2 x задает другое отображение R → R .

3.Пусть X – множество всех треугольников на плоскости, а Y – множество действительных чисел. Сопоставляя треугольнику его площадь, получаем отображение первого множества во второе.

1

Понятия «функция» и «отображение» иногда отождествляют, пользуясь ими как синонимами. Все же чаще под функцией понимают отображение одного числового множества в другое.

Функции представляют из себя специальный тип бинарных отношений. По – другому, определение функции можно дать следующим образом. Функцией из множества А в множество В называется бинарное отношение, при котором каждый элемент множества А связан с единственным элементом множества В. Другими словами, для каждого a A существует ровно одна пара из отношения вида (а, b). В графических терминах функция описывается таким графом, у которого из каждой вершины, изображающей элементы множества A, выходит ровно одна стрелка.

Пример. Пусть А={-2,-1,0,1,2}, а В={0,1,2,3,4,5}. Определим отношение f A × B f={(-2,5),(-1,2),(0,1),(1,2),(2,5)}.

Отношение f — функция из A в В, так как f A × B , и каждый из элементов

А присутствует в качестве первой компоненты упорядоченной пары из f ровно один раз.

Пример. На рисунке изображен граф, представляющий функцию из множества {а,b,с} в {1,2}, состоящую из пар (а, 1), (b, 1) и (с, 2).

Пример. Определим, какие из следующих отношений между множествами А={а,b,с} и B={1,2,3} являются функциями из множества А в В.

(а) f={{а,1),(а,2),(b,3),(с,2)}; (б) g={{а,1),{b,2),(с,1)};

(в) h ={(а,1),(с,2)}.

Решение.

(а) Отношение f — не функция, поскольку элементу а соответствуют два разных элемента множества B : 1 и 2.

(б) Отношение g является функцией.

(в) Последнее отношение функцией не является, поскольку элементу b не соответствует ни одного элемента.

Пример. Определим, какие из следующих бинарных отношений между множествами А в В являются функциями.

(а) «x — брат или сестра у» на множестве всех людей;

2

(б) отношение на множестве R, заданное парами: {{х,у):х=у2}

(а) Это не функция, поскольку есть люди с несколькими братьями и сестрами, а также бывают семьи с единственным ребенком.

(б) Последнее отношение — не функция, так как, например, обе упорядоченные пары: (2, 2) и (2,− 2) — ему принадлежат. Кроме того, в нем отсутствуют пары (x, у) с отрицательными x.

Пусть X ={x1,x2 ,..., xn } — конечное, а Y— произвольное множества. В этом случае отображение f : X →Y удобно задавать таблицей

где ниже элемента х из X указан его образ f(х). Так, если X={1,2,3,4}, то отображение f : X →Y с таблицей

переводит 1 в 3, 2 в 1, 3 в 4, 4 в 1. И например, таблица

задает отображение множества четвертей координатной плоскости в себя при повороте плоскости на 900. против часовой стрелки вокруг начала координат (вместо самих четвертей в этой таблице мы используем их номера).

Два отображения f : X →Y и g :U →V считаются равными, если X=U,

Y=V и для каждого элемента x множества X: f(x)=g(x).

Пусть f : X →Y . Множество f (X )={f (x): x X } образов всех элементов из X называется образом множества X при отображении f. Аналогично определяется образ любого подмножества А множества X:

f (A)={f (x): x A}.

Функцию, определенную на множестве А со значениями в множестве В удобно представить в виде диаграммы Эйлера.

f : A → B

Пусть y — фиксированный элемент из Y. Подмножество f −1(y)={x X : f (x)= y}

множества X, состоящее из всех тех x X , для которых y является образом при отображении f, называется полным прообразом элемента у при

3

отображении f. Каждый элемент из f-1(y) называют прообразом элемента у при отображении f. Может случиться, что f −1(y)= для некоторого y Y .

Если В — произвольное подмножество Y, то его полный прообраз определяется следующим образом

f −1(B)={x X : f (x) B}

Пример.

1.Рассмотрим отображение f:RÆR, где f(x)=х2 для любого x R . Тогда

2.Пусть А={-2,-1,0,1,2}, а В={0,1,2,3,4,5}. Функция f:АÆВ

определена соотношением f(x) = х2 + 1. Для } A , имеемE ={1, 2

f (E)={b :b = f (a) для некоторого a E}={2,5 }

является образом Е при отображении f. Если F ={0,2,3,4,5} B , то f −1(F )={b : a A f (a) =b }={−1,1,−2, 2 }

является прообразом F. Заметим, что элементы 0, 3 и 4 не вносят никаких элементов в f-1(F), поскольку они не принадлежат области значений функции f. Прообраз может быть пустым. Так, например, в случае W={0,3} прообраз f-l{W) пуст, поскольку не существует такого a A, для которого f(a) = 0 или f(а) = 3. Элементами f(A) являются те, и только те элементы области потенциальных значений B, которые используются функцией f.

Отображение f:XÆY называется инъективным или инъекцией, если для

любых x1,x2 X

x1 ≠ x2 f (x1 )≠ f (x2 )

Другими словами, f инъективно, если разные элементы множества X имеют разные образы при отображении f.

Отображение f:ХÆY называется сюръективным или сюръекцией, если f(X)=Y, т. е. если каждый элемент множества Y имеет хотя бы один прообраз.

Отображение, которое одновременно инъективно и сюръективно, называется биективным или биекцией. Часто биекцию называют взаимно однозначным отображением. Очевидно, f:ХÆY биективно тогда и только тогда, когда каждый элемент множества Y имеет точно один прообраз.

Пример. Пусть X={1,2,3}, Y={1,2}. Тогда отображение f : X →Y , где

сюрьективно, но не инъективно, а отображение g:YÆX, где

инъективно, но не сюръективно.

4

Пример. Рассмотрим функцию у = lg x. Ее область определения есть множество всех положительных действительных чисел. Поэтому она задает отображение f :(0, + ∞)→ R .

Легко понять, что f — биективное отображение.

Пусть задано отображение f : X →Y и A некоторое подмножество X. Тогда

Особенно часто встречаются отображения множеств в себя, т. е. отображения вида f:XÆX. Такие отображения называют преобразованиями множества X. Биективные преобразования f:XÆX называют подстановками множества X.

Преобразование Ix:XÆX, такое, что Iх(х)=х для любого x X , называется тождественным преобразованием множества X. Таким образом, Iх оставляет на месте каждый элемент из X. Часто вместо Iх пишут просто I, если из контекста ясно, какое множество X имеется в виду.

Множество X называется областью определения отображения f, а множество Y – областью значений. Множество упорядоченных пар

называют графиком отображения f. Непосредственно из определения вытекает, что график отображения f является подмножеством декартова произведения X x Y: Гf X ×Y .

4.2. Композиция отображений и обратное отображение

Пусть имеются два отображения вида f:ХÆY и g:YÆZ. Выберем произвольный элемент x X и применим к нему отображение f. Под действием f элемент х перейдет в элемент у=f(x) множества Y. Если теперь к элементу у применить отображение g, то у перейдет в элемент z=g(y) множества Z. В результате каждому x X ставится в соответствие вполне определенный элемент z=g(f(x)) множества Z. Таким образом, последовательное применение отображений f u g приводит к отображению

5

множества X в множество Z, которое называется произведением (или композицией) отображений g и f. Так как произведение отображений g и f переводит элемент x X в элемент g(f(x)), то это произведение естественно обозначать символом g о f или просто g f.

По определению (gоf)(х)=g(f(x)) для любого x X .

Отметим, что композиция отображений f:ХÆY и g:UÆV определено лишь в случае, когда U=Y. В частности, может оказаться, что gof определено, f o g не определено. Очевидно, если f u g — преобразования множества X, то определены оба произведения gof и fog. Они также являются преобразованиями X.

Пример. Пусть Х={1,2,3}. Рассмотрим следующие два преобразования множества X:

Тогда

образом, g o f ≠ f o g и, следовательно, композиция отображений, вообще говоря, зависит от порядка сомножителей.

Пример. Пусть f (x)= x и g(x)= x + 5 - функции, заданные на множестве

(f o g)(x)= f (g(x))= f (x2 )=sin x2 . Очевидно g o f ≠ f o g . □

Отметим, что операция композиции преобразований множества R называется в математическом анализе суперпозицией функций, так что gof

— сложная функция, а под произведением функций понимается операция,

6

являющаяся обычным умножение действительных чисел, возвращаемых функциями.

Теорема. Пусть f, g, h —отображения, такие, что одно из произведений

(h o g )o f , h o(g o f )

определено. Тогда определено и другое произведение, причем

(h o g )o f = h o(g o f )

Доказательство. Пусть, например, определено h o(g o f ) (для какого – то

Покажем теперь, что отображения (h o g )o f и h o(g o f ) равны, т. е.

для каждого x X

((h o g )o f )(x)= (h o(g o f ))(x)

Имеем

□

Опираясь на понятие произведения двух отображений, можно определить композицию трех, четырех и более отображений.

Пусть, например, f1,f2,…,fk – преобразования множества X. Их произведение определим индуктивно fk o(fk −1 o...(f3 o(f2 o f1 ))). Пользуясь

ассоциативностью умножения отображений, нетрудно доказать, что справедливо равенство

для любого 1≤i < k

Укажем еще несколько важных свойств композиции отображений.

Очевидно, третье свойство есть прямое следствие первых двух.

7

из n чисел. Таким образом, перестановка из n чисел — это расположение чисел 1,2,...,n в некотором определенном порядке. Две перестановки из n чисел различаются порядком элементов, но не элементами (как множества они совпадают).

Пример. 1, 2, 3, 4; 3, 1, 2, 4; 4, 2, 1, 3 — различные перестановки из четырех чисел.

Итак, если f — подстановка множества X, то нижняя строка (1) есть некоторая перестановке из n чисел. Обратно, если a1, a2, … an — произвольная перестановка из n чисел, то преобразование

множества X является, очевидно, подстановкой. При этом различным перестановкам соответствуют различные подстановки.

Теорема. Количество различных перестановок из n чисел равно n! Доказательство проведем индукцией по n. При n=1 утверждение

теоремы очевидно. Будем считать, что n>1 и число различных перестановок из n–1 чисел равно (n– 1)!. Разобьем множество всех перестановок из n чисел на классы, состоящие из перестановок с одинаковым последним числом. Таких классов будет ровно n. Для фиксированного последнего элемента перестановок из первых n-1 элементов, по-предположению, равно (n-1)! Но тогда число всех перестановок из n чисел равно n(n– 1)!=n!.

□

Следствие. Число всех подстановок множества X из n элементов равно n!

Пример. Выпишем все перестановки из трех чисел:

1, 2, 3; 1, 3, 2; 2, 1, 3; 2, 3, 1; 3, 1, 2; 3, 2, 1.

Так как число различных перестановок из трех чисел равно 3! = 6, то других перестановок нет.

Приведем определения некоторых часто встречающихся функций. Напомним, что нам известна одна специальная функция —

тождественная функция I, определенная соотношением I(а) = а для всех a A. Она может быть представлена в виде

Функция f:АÆВ, где А — множество действительных чисел, а В — множество целых чисел, называется нижним округлением и обозначается f (x)= x , если она каждому a A ставит в соответствие наибольшее целое

число, меньшее или равное а. Функция f:FÆВ называется верхним округлением и обозначается f (x)= x , если она каждому a A ставит в соответствие наименьшее целое число, большее или равное а.

10