{1,2,3} являются (3,1,2) и (2,3,1). Перечислим беспорядки из четырех элементов:

2143; 2341; 2413; 3142; 3412; 3421; 4123; 4312; 4321.

Значит, D4 = 9.

Если перестановке назначить свойство – один предмет остается на своем месте, то таких перестановок будет Cn1 (n −1)!, поскольку предмет может находиться на любом из Cn1 месте, а остальные элементы можно переставить (n −1)! способами. Аналогично, перестановок в которых два предмета остаются на своем месте будет Cn2 (n − 2)! и т.д. Подставляя это в (3) приходим к

Последнее равенство можно переписать следующим образом:

Также ясно, что количество перестановок n различных предметов, при которых ровно k предметов стоят на своих первоначальных местах, выражается числом Dn,k =Cnk Dn−k .

6.5 Метод рекуррентных соотношений

Последовательность a0,a1,a2,… называют рекуррентной, если указана зависимость общего члена последовательности от предыдущих и заданы значения необходимого числа начальных членов.

Примерами рекуррентных последовательностей могут служить арифметические и геометрические прогрессии.

Члены геометрической прогрессии a0, a1, a2,… со знаменателем q поопределению связаны рекуррентным соотношением

an+1=q an.

и для однозначного ее определения надо задать начальное значение a0. Члены произвольной арифметической прогрессии a0, a1, a2,… связаны

рекуррентным соотношением an+1 = an + или, например, соотношением

an+2 = 2an+1 – an.

Как рекуррентость может трактоваться формула

25

Пример. Уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

Пример. Уравнение первого порядка с переменными коэффициентами имеет

k =1

Здесь мы имеем сумму решения однородного уравнения (2) и некоторого

n

частного решения неоднородного уравнения zn = ∑an−k fk . Действительно

k =1

zn −a zn−1 =(an−1 f1 + an−2 f2 +K+ afn−1 + fn )− −a(an−2 f1 + an−3 f2 +K+ afn−2 + fn−1 )= fn

□

Пример. Требуется подсчитать количество двоичных слов длины n, в которых единицы не могут стоять на соседних местах. Будем называть такие слова правильными и обозначим через An число правильных слов длины n.

Разобьем множество правильных слов длины n на два класса: слова оканчивающиеся на ноль и слова, оканчивающиеся на единицу. Количество

27

слов в этих классах обозначим An(0) и An(1) соответственно. Очевидно, что An = An(0) + An(1). У слова, оканчивающегося на ноль первые n-1 символов образуют правильное слово длины n-1. Следовательно An(0) = An−1 . Если

правильное слово длины n оканчивается на единицу, то предыдущий символ этого слова должен быть нулем, а первые n-2 символа будут образовывать

правильное слово длины n-2. Поэтому An(1) = An−2 . В результате мы имеем

соотношение

An = An−1 + An−2

Как видим, решение нашей задачи свелось к рекуррентному уравнению. В переводе – возвратному, так как для подсчета интересующей нас величины для некоторого n нужно возвратиться к предыдущим значениям этой

где c1 ,c2 ,...,ck - заданные числа. Такое соотношение называют линейным

рекуррентным уравнением k – го порядка с постоянными коэффициентами. Соотношение (4) или (5) мы будем рассматривать как уравнение относительно неизвестной функции A(n)=An и каждую последовательность

~ = ( )

A A0 , A1 ,..., An ,...

для которой выполняется соотношение (4) или (5) будем называть решением рекуррентного соотношения.

соотношения (5).

Доказательство. Подставив вторую последовательность в (5) и поделив на C , убеждаемся, что и вторая последовательность является решением. Если

~

же C=0, то последовательность C A состоит из одних нулей и, очевидно, также удовлетворяет соотношению (5).

28

Bn = c1Bn−1 + c2 Bn−2 +... + ck Bn−k

Сложив эти соотношения, получаем

An + Bn = c1 (An−1 + Bn−1 )+ c2 (An−2 + Bn−2 )+... + ck (An−k + Bn−k ),

т.е.

Cn = c1Cn−1 + c2Cn−2 +... + ck Cn−k

□

Рекуррентные уравнения для нас важны, поскольку часто решение одной комбинаторной задачи удается свести к решению аналогичных задач меньшей размерности. Тем самым решение сложной задачи можно получить, последовательно находя решения более легких задач, и далее, пересчитывая по рекуррентным соотношениям, находить решение трудной задачи. Формула (4) является рекуррентным соотношением между элементами последовательности чисел an−k ,..., an . Т.о. рекуррентное соотношение

позволяет по известным значениям an−k ,..., an вычислить значение аn., но первые несколько значений a0 ,...,ak −1 нужно знать заранее. Как мы видели в

примерах, иногда удается получить из рекуррентного соотношения общую формулу для вычисления аn по номеру n. Тогда можно сразу вычислить окончательный результат без вычисления всех предыдущих результатов.

Пример. Вернемся к рекуррентному соотношению аn=аn-1+ аn-2. Оно задает так называемые числа Фибоначчи F0, F1, F2, F3, … , если положить F0 =0 и F1=1. Тогда последовательность решений будет иметь вид 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …Найдем общую формулу для чисел Фибоначчи. Будем искать ее в виде

an = λn . Подстановка в рекуррентное соотношение дает λ n = λ n−1+ λn−2 . Разделим обе части равенства на λ n−2≠ 0 . Получим квадратное уравнение λ 2 − λ −1 = 0 . Найдем его корни

В соответствии с леммой 1 решением являются an =C1λ1n и an =C1λ2n , где C1

и C2 произвольные постоянные. В соответствии с леммой 2 решением будет их сумма. Т.о. общим решением будет линейная комбинация

Произвольные постоянные найдем из начальных условий a0=0, a1=1. Имеем a0 = 0 =C1 + C2 C2 = −C1

и

29

Тогда C1 = 15 , C2 = − 15 . Окончательно общее решение рекуррентного соотношения будет иметь вид

который называется формулой Бине.

□

Заметим, что деление отрезка такое, что отношение длин полученных частей

λk + c1λk −1 +... + ck = 0 . Тогда:

1) последовательность с общим членом C λ n , где С — произвольная

константа, удовлетворяет исходному однородному рекуррентному уравнению;

2) если λ1 ,λ2 ,...,λk — простые корни характеристического уравнения, то общее решение рекуррентного соотношения имеет вид

где Сi, i= 1,2, ..., k, — произвольные постоянные;

3) если λi — корень кратности ri, i =1, ..., s, характеристического уравнения, то общее решение рекуррентного соотношения имеет вид

имеет вид an =C1 + C2 2n . С учетом начальных условий имеем

C1 + 2 C2 =1

C1 + 4 C2 =3

Тем самым C1 = -1, С2 = 1. Окончательное решение будет an = 2n −1.

30