Методика расчета погрешностей косвенных измерений

Большинство измерений в лабораторном практикуме по физике являются косвенными. Ошибка результата косвенного измерения зависит от ошибок всех прямых измерений, а также от вида той математической формулы, которая связывает искомую с непосредственно измеряемыми величинами. Пусть искомая физическая величина γ связана с непосредственно измеряемыми величинами А, В, С, … какой-то функциональной зависимостью:

,

искомое значение ХХХ находят путем подстановки в формулу (1.3) средних значений А, В, С, т.е. Если искомая величинау является функцией многих переменных, то сначала удобно найти относительную погрешность результата, а затем, используя соотношение найти абсолютную погрешность. Рассмотрим, как находят выражение для расчета относительной погрешности косвенного результата. Воспользуемся для этого законами дифференциального исчисления, считая непосредственно измеряемые величиныА, В, С,… аргументами, а косвенно измеряемую величину у – функцией этих переменных.

Искомую функцию (расчетную формулу) логарифмируют:

Находят полный дифференциал логарифма функции:

(1.6)

Здесь – частная производная от ln f (А, В, С…) по аргументу А и т.д. Частная производная находится обычным дифференцированием функции по аргументу А в предположении, что все другие аргументы В, С,…, кроме А, – константы.

Заменяют в полученном выражении (1.6) знак дифференциала d знаком абсолютной погрешности .

Каждое слагаемое выражения (1.6) возводят в квадрат и получают следующую формулу для расчета относительной ошибки косвенного результата:

. (1.7)

Подставляют значения абсолютных ошибок прямых измеренийсредние значения< A >,< B > и рассчитывают относительную ошибку ε, а затем – абсолютную .

Сравнивают слагаемые в выражении (1.7), чтобы выяснить влияние ошибок различных аргументов (А, В,…) на окончательный результат. Делают заключение, какие физические величины необходимо измерить с большей точностью.

Лабораторная работа 1. Определение геометрических размеров тела (4 ч)

Цель – овладеть техникой физических измерений линейных размеров тел, освоить методику подбора и использования измерительных приборов в прямых измерениях.

Приборы и материалы: штангенциркуль, микрометр, исследуемое тело.

Теория линейного нониуса

Линейные размеры тела можно определить с точностью до 1 мм обычной масштабной линейкой. Для измерения с точностью до долей миллиметра применяется нониус – устройство, позволяющее повысить точность многих измерительных приборов.

Линейный нониус представляет собой небольшую линейку N, скользящую вдоль обычной линейки.

Пусть на нониусе m делений (рис. 1.1), которые наносят так, чтобы длина всех делений нониуса была равна длине (m – 1) наименьших делений масштабной линейки. Пусть b – длина деления масштабной линейки, а – цена деления нониуса. Тогда m ∙ a определяет длину всех делений нониуса, а (m – 1) ∙ в – длину делений масштабной линейки. Очевидно,

или

где – точность нониуса.

Рис. 1.1

Пример. Цена наименьшего деления шкалы масштабной линейки в = 1 мм, на нониусе m = 20 делений.

Точность нониуса:

.

Измерения с помощью линейного нониуса производят следующим образом: совмещают левый конец измеряемого тела с нулевым делением масштабной линейки, а к правому концу подводят нониус (рис. 1.2).

Рис. 1.2

Если правый конец тела оказался между К и К + 1 делениями масштабной линейки, то длина измеряемого тела L равна:

L = K · b +_ΔL,

где ΔL – неизвестная пока еще доля (К + 1) деления масштабной линейки.

Обозначим через n деление нониуса, которое совпадает с каким-то делением масштабной линейки. Из рис. 1.2 видно, что номер этого деления К + n. Тогда

Следовательно, чтобы найти длину измеряемого тела с помощью нониуса, необходимо определить число целых наименьших делений масштабной линейки, укладывающихся по длине тела, и записать их длину, к ней прибавить неизвестную длину ΔL, определяемую произведением точности нониуса на номер деления нониуса, совпадающего с одним из делений масштабной линейки ().

Штангенциркуль состоит из шкалы прибора Д в миллиметровом масштабе, жестко связанной со щекой А (рис. 1.3).

Рис. 1.3

Вдоль шкалы масштаба может перемещаться нониус N, с которым жестко связана вторая щека В. Подвижная часть штангенциркуля снабжена зажимным винтом С. Когда между щеками А и В отсутствует зазор, нулевые метки нониуса и шкалы совпадают. Для промера наружных размеров измеряемый предмет вводят между щеками А и В, которые сдвигают до соприкосновения с предметом. Затем закрепляют подвижную щеку В зажимом С и производят отсчет. Число целых миллиметров отсчитывается непосредственно по шкале прибора до нулевой метки нониуса, число долей миллиметра – по нониусу. При внутренних промерах используют щеки А₁ и В₁. Штангенциркули изготовляют с нониусами, имеющими число делений, равное 10, 20, 50, 100.

Микрометр обычно представляет собой массивную металлическую скобу, на концах которой находятся друг против друга неподвижный упор А и микрометрический винт В, жестко связанный с барабаном С. Барабан делится на 100 или 50 делений. Поступательное перемещение винта измеряется по смещению среза барабана винта вдоль шкалы Д; шаг винта обычно равен 1 или 0,5 мм. Измеряемое тело зажимают между упорами А и В и производят отсчет его размера (рис. 1.4).

Для равномерного нажима микрометрического винта на поверхность измеряемых тел микрометр снабжается фрикционной головкой Е (трещоткой), вращение которой вызывает перемещение винта только до упора его в поверхность измеряемого тела с определенным нажимом, после чего фрикционная головка свободно прокручивается, издавая треск. Шкала имеет верхний и нижний пределы измерений. По нижней шкале необходимо отсчитывать целые миллиметры, по верхней – полумиллиметры, по круговому нониусу барабана – сотые доли миллиметра.

Рис. 1.4

Перед началом измерений микрометром необходимо:

а) определить число делений на барабане и шаг винта;

б) проверить нулевую точку.

Если при соприкосновении упоров А и В против нулевого деления шкалы Д стоит не нулевое деление барабана С, то систематическую ошибку прибора нужно учесть.