1.5. Боровская модель атома водорода

Чтобы получить согласие с результатами наблюдений, Бор предположил, что электрон в атоме водорода движется только по тем круговым орбитам, для которых его момент импульса

М = пħ, n = 1, 2, 3, ..., (1.18)

где п — квантовые числа.

С помощью этого правила квантования можно найти радиусы круговых стационарных орбит водородоподобных систем (Н, Не⁺, Li⁺⁺...) и соответствующие им энергии. Пусть заряд ядра водородоподобной системы равен Ze. Масса ядра значительно больше массы электрона, поэтому ядро при движении электрона можно считать неподвижным. Следуя Бору, будем предполагать, что электрон движется вокруг ядра по окружности радиуса r.

Согласно 2-му закону Ньютона

(1.19)

где т —масса электрона. Отсюда кинетическая энергия электрона

(1.20)

и полная энергия электрона в кулоновском поле ядра

(1.21)

Согласно правилу квантования (1.18), rmV = nħ, откуда

V= nħ /rm. (1.22)

После подстановки (1.22) в (1.19) подучим выражение для радиуса n-й стационарной орбиты:

(1.23)

Радиус первой стационарной орбиты электрона в атоме водорода (п = 1, Z = 1) равен

r_n = ħ² /те² = 0,529·10^-10 м. (1.24)

Его называют боровским радиусом.

Энергия Е_п электрона на n-й стационарной орбите определяется формулой (1.21), в которой под г надо понимать (1.23). И мы приходим к следующему выражению для Е_п:

(1.25)

Эта формула описывает уровни энергии стационарных состоя­ний электрона в водородоподобной системе. Для атома водорода схема энергетических уровней, соответствующих (1.25), показана на рис. 1.7. При п -><» уровни энергии сгущаются к своему предельному значению Е_к = 0.

Состояние атома с наименьшей энергией (п = 1) называют основным. Для атома водорода основному состоянию соответст­вует энергия Ei = -13,53 эВ. Эта энергия (по модулю) является энергией связи электрона в основном со­стоянии: Е_св = Ei. Именно такую энергию надо сообщить электрону в основном со­стоянии (п = 1), чтобы удалить его из атома водорода. По этой причине ее на­зывают еще и энергией ионизации:

£_ион = Е_св = 13,6 эВ.

Это значение, полученное из боровскои теории атома, находится в хорошем со­гласии с результатами эксперимента.

1.6. Магнитный момент атома водорода

Пусть электрон движется со скоростью v по орбите радиусом г (рис. 1.8). Через площадку, пересекающую орбиту электрона, переносится ежесекундно заряд ev, где е — заряд электрона, v — число оборотов электрона вокруг ядра в секунду. Следовательно, движущийся по орбите электрон образует круговой ток I = ev. Поскольку заряд электрона отрицателен, направление движения электрона противоположно направлению тока.

Магнитный момент такого тока по определению равен μ = IS, или μ = ev·r². Учитывая, что 2 rv = V и, перепишем предыдущее выражение в виде

.

Остается учесть, что момент импульса электрона М = rmv, и мы получим:

(1.33)

где знак минус указывает, что направления обоих моментов, μ и М, взаимно противоположны.

Вектор М называют орбитальным моментом электрона. Он образует с направлением движения электрона правовинтовую систему (см. рис. 1.8).

Отношение магнитного момента частицы к ее механическому моменту называют гиромагнитным отношением. Для электрона оно равно

(1.34)

Воспользовавшись воровским правилом квантования момен­та импульса, т. е. формулой (1.18), перепишем (1.33) в виде

μ = μ_Б n , п = 1, 2, 3, ..., (1.35)

где μ_Б — это так называемый магнетон Бора:

μ_Б = = 0,927 • 10^-24 Дж/Т (1.36)

Таким образом, при движении электрона по первой воровской орбите (п = 1) его магнитный момент равен одному магнетону Бора. В дальнейшем мы увидим, что это резко расходится с экспериментом, значит, полученный результат оказывается совершенно неверным. И тем не менее, мы привели формулы, связывающие магнитный момент с механическим, поскольку они послужат основой для получения правильных результатов .

Недостатки теории Бора. Теория Бора явилась крупным шагом в развитии теории атома, в понимании новых квантовых закономерностей, с которыми столкнулась физика при изучении явлений микромира. Эта теория отчетливо показала неприменимость законов классической физики для описания внутриатомных явлений

Теория Бора стимулировала постановку многих эксперимен­тов, принесших важные результаты. Даже в тех многочислен­ных случаях, когда теория не могла дать количественное объ­яснение явлений, два постулата Бора служили руководящей нитью при классификации и количественной интерпретации этих явлений.

Однако двух постулатов Бора недостаточно для построения полной теории. Они должны быть дополнены правилами кван­тования. Эти правила, достаточно искусственно введенные Бо­ром для одноэлектронного атома, радикально проблемы не ре­шили. Их не удалось распространить даже на простейший по­сле водорода атом гелия, содержащий два электрона. Кроме того, теория Бора позволила вычислить только частоты спект­ральных линий, но не их интенсивность.

Основной же, принципиальный недостаток теории Бора — это ее непоследовательность: она не была ни последовательно классической, ни последовательно квантовой. Эта теория принимала существование стационарных состояний атома, что со­вершенно непонятно с точки зрения классической физики. И вместе с тем к движению электронов в стационарных состояни­ях она применяла законы классической механики, хотя и считала неприменимой классическую электродинамику (поскольку нет излучения).

Итак, планетарную модель атома нельзя считать серьезной теорией. Она просто неверна. Тот факт, что эта модель приводит к очень хорошим результатам в случае атома водорода (при расчете некоторых величин), по существу случайный. Этот успех явился мощным толчком к развитию квантовой теории атома. Сам Бор рассматривал свою теорию как промежуточный этап в поисках верной теория. Такой последовательной теорией явилась квантовая физика.