2.3. Потенциальные барьеры

Рассмотрим простейший случай — прямоугольный потенциальный барьер, когда потенциальная энергия U зависит только от одной координаты х, причем при х = 0 претерпевает скачок (рис. 2.3). У такого барьера

(2.13)

Пусть слева на границу барьера налетает с полной энергией Е частица или поток частиц. На языке квантовой теории это означает, что на барьер слева «падает» дебройлевская волна

(2.14)

Чтобы удовлетворить граничным условиям для Ψ и дΨ/дх при х = 0, должна существовать как прошедшая волна, так и отраженная. В этих трех волнах частота со одна и та же (ω = E/h), поэтому в дальнейших расчетах мы можем ограничиться только координатной частью этих волн, а именно Ψ(x).

Наша задача: сначала найти амплитуды отраженной и падающей волн, а затем — коэффициенты отражения R и пропускания D для такого барьера. Исходим из уравнения Шредингера (2.6). В нашем случае оно имеет вид

Ψ"_х +k²Ψ = 0, k² =2m(E-U₀)/h². (2.15)

Здесь возможны два случая (см. рис. 2.3): Е > U_о и Е < U_q.

1. В случае Е > U_o общее решение уравнения (2.15) имеет вид:

(2.16)

Будем считать, что падающая волна характеризуется амплитудой а₁, причем вещественной, а отраженная — амплитудой b₁.

В области х > 0 имеется только проходящая волна, поэтому

b₂ = 0. Из условия непрерывности Ψ и Ψ'_х в точке х = 0 следует, что

(2.17)

Из совместного решения этих двух уравнений находим, что от­ношения амплитуд отраженной и прошедшей волн к амплитуде ai падающей волны равны:

(2.18)

Для определения интересующих нас коэффициентов R и D введем понятие плотности потока вероятности P. Скорость распространения вероятности такого потока просто совпадает с классической скоростью v частицы, и мы можем написать v = р/т = hk/m, поскольку согласно (1.1) р = hk. Таким образом,

v  k,

и плотность потока вероятности пропорциональна величине

kΨΨ* :

P  kΨΨ*

В соответствии с видом Ψ-функции (2.14) для падающей, отраженной и прошедшей волн мы имеем

Теперь можно записать выражения для коэффициентов отражения R и пропускания D:

(2.19)

Отсюда следует, что R + D = 1, что и должно быть по определе­нию. Кроме того, видно, что значения R и D не зависят от на­правления движения частицы: слева направо на рис. 2.3 или наоборот.

Заметим, что в классическом случае R = 0 при Е > U_o

2. В случае Е <U₀ формулы (2.18) остаются справедливыми. Однако k₂ будет чисто мнимым согласно (2.16). При этом выра­жение (2.19) для коэффициента отражения следует записать так:

(2.20)

Здесь числитель и знаменатель — величины комплексно-сопряженные. Значит R = 1, т. е. отражение частиц будет полным. Но Ψ-функция при х > 0 не обращается в нуль. В самом деле, полагая что k₂ = ik, где k =/ħ, получим, что Ψ₂  ^е~^{кх и} плотность вероятности местоположения частицы

Р(х) = Р(0) е^-2kx. (2.21)

Видно, что с увеличением глубины проникновения х плотность вероятности Р(х) убывает экспоненциально. Это убывание про­исходит тем быстрее, чем больше разность (Uq — Е). Обычно глубину проникновения определяют как расстояние l, на котором Р(х) убывает в е раз. При этом в (2.21) 2kl = 1 и

l = 1/2k = ħ /.(2.22)

Можно убедиться, что для электрона при (U_o – Е) ≈ 10^-3 эВ глубина проникновения l ≈ 10^–7 см.

Таким образом Ψ-функция проникает в область х > 0, несмотря на то, что падающая волна отражается полностью.

В классической физике проникновение частиц под барьер запрещено, поскольку в этой области кинетическая энергия оказывается отрицательной, чего быть не может. Но мы уже знаем, что разделение полной энергии Е на кинетическую и по­тенциальную не совместимо с соотношением неопределенностей.