1.9. Примеры решения задач

Задача 1. Лобовое столкновение.

На какое минимальное расстояние приблизится α-частица с кинетической энергией К_а к первоначально покоившемуся ядру при лобовом столкновении?

Решение.

Система α-частица – ядро предполагается замкнутой, поэтому в процессе сближения будут сохраняться как ее импульс, так и собственная механическая энергия. Отсюда для двух состояний – когда α-частица далеко от ядра и в момент максимального сближения (система движется как единое целое), — можно записать:

Ра ~ Ра+1Л у К_а = К_а+и + М , (1)

где q и q₀ — заряды сс-частицы и ядра атома лития. Имея в виду, что К = р²/2т, перепишем первое равенство в (1) через К:

т_аК_а = (т_а + т_и)К_а+и . (2)

Из последнего равенства находим К_а+и и полученное выражение подставим во второе уравнение из (1). В результате:

1 + К„ [ m_hi

Задача 2.

Найдем относительное число ΔN/N частиц, рассеянных в интервале углов от θ₁ до θ₂. Остальное предполагается заданным.

Величина ΔN/N пропорциональна согласно(1.9) площади кольца, внутренний и внешний радиусы которого равны b₁ и b₂, т. е.

(*)

Значения же b_t и Ь₂ однозначно связаны с углами 9_Х и Э₂ формулой (1.1) или (1.2). Заменив параметр b в (*) выражением (1.2), получим:

Задача 3.

Покоившийся атом водорода испустил фотон, соответствующий головной линии серии Лаймана. Найти:

а) скорость отдачи, которую получил атом;

б) отношение кинетической энергии атома отдачи к энергии испу­ щенного фотона.

Решение

а) В этом процессе атом приобрел импульс р, равный импульсу вылетевшего из него фотона:

р = ħω/с. (*)

Кроме того, энергия возбуждения Е* атома распределилась между энергией фотона и кинетической энергией атома, испытавшего от­дачу:

Е* = ħω +р^г/2т,

где E* = ħR(1 - l/2²) = (3/4) hR.

Из этих трех формул находим

откуда следует, что скорость отдачи атома

здесь т — масса атома.

б) Искомое отношение с учетом (*) равно

т. е. оказывается величиной чрезвычайно малой, и поэтому энер­гией отдачи атома, как правило, пренебрегают.

Задача 4. Волны де-Бройля. Какую энергию ΔЕ необходимо сообщить нере­лятивистскому электрону, чтобы его дебройлевская длина волны λ уменьшилась в п раз?

Решение.

Обозначим конечную дебройлевскую длину волны как λ' Имея в виду, что λ 1/р ,запишем:

где К — первоначальная кинетическая энергия электрона. Отсюда

где т — масса электрона.

При каком значении кинетической энергии К дебройлевская длина волны λ релятивистского электрона равна его комптоновской длине волны λ_С ?

Решение.

Исходим из равенства λ = λс, где λ определяется формулой (1.37), а λс — формулой (21). Поэтому можно записать

(1)

Из релятивистской динамики известно (П. 5), что

(2)

Подставив (2) в (1), получим уравнение

К² + 2тс² К - т²с⁴ = О

Решение которого

Задача 6. Соотношение неопределенностей.

Убедиться, что измерение х-координаты микрочастицы с помощью микроскопа (рис. 1.12) вносит неопределенность в ее импульс Δр_х такую, что Δх · Δр_х ≥ ħ . Иметь в виду, что разрешение микроскопа, т. е. наименьшее разрешаемое расстояние d = λ/sin 0, где λ — длина световой волны.

Решение.

У фотона, рассеянного на микрочастице и прошедшего через объектив О, проекция импульса р_х не превышает, как видно из рисунка, значения

р sin θ = hk sin θ, где k = 2/λ. Эта величина характеризует и неопределенность Δр_х фотона. Но при рассеянии фотона на микрочастице последняя испытывает отдачу, в результате чего ее импульс получит такую же неопределен­ность Δр_х, как и фотон: Δр_х ≈ hk sin θ

Имея, кроме того, в виду, что неопределенность координаты х микрочастицы Δх ≈ d = λ/sin θ, получим в результате:

,

в чем и следовало убедиться.

Задача 7. Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с очень высокими «стенками». Ширина ямы I. Оценить с помощью (1.20) силу давления электрона на стенки ямы при минимально возможной его энергии.

Решение.

В данном случае Δх ≈ l. Кроме того, при минимальной энергии можно считать, что Δр_х ≈ р. Тогда согласно (1.39) р≈ ħ/1 и полная энергия электрона в яме (учитывая, что потенциальная энергия здесь равна нулю) определяется как

Теперь представим себе, что одну из стенок ямы отодвинули на малое расстояние dl. Это означает, что сила F, с которой элект­рон действует на эту стенку, совершила работу Fdl за счет убыли энергии Е:

Отсюда искомая сила

F = ħ²/ml³.

Проектное задание