2.9. Примеры решения задач

Задача 1. Частица находится в основном состоянии в одномерной прямоуго­льной потенциальной яме шириной I с абсолютно непроницаемы­ми стенками (0 < х < I). Найти вероятность местонахождения час­тицы в интервале (//3, 21/3).

Решение.

Согласно (2.12) Ψ-функция в основном состоянии (п = 1) это Ψ = sin(x/l). Искомая вероятность

где введена новая переменная у = пх/1.

Задача 2. Частица массы т находится в основном состоянии в одномерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Максимальное значение плотности вероятности местонахождения частицы в этом состоянии равно Р_т. Найти ширину ямы и энергию Е частицы.

Решение.

Воспользовавшись выражением (2.12) для Ψ-функции, запишем плотность вероятности Р(х) для основного состояния (п = 1):

Эта величина максимальна в середине ямы, т. е. при х = 1/2. Поэтому

Отсюда находим I = 2/Р_т и согласно (2.11)

Задача 3. Электрон атома водорода находится в стационарном состоянии, описываемом волновой функцией у(г) = Ае~^аг, где А и а — некоторые постоянные. Найти энергию Е электрона и по­стоянную а.

Решение.

В данном случае уравнение Шредингера (2.6) будет иметь вид

(1)

Вычислив первую и вторую производные Ψ-функции по г, подста­вим их выражения в (1) и сгруппируем следующим образом:

(2)

Из этого соотношения видно, что равенство его нулю при любых значениях г возможно лишь в том случае, когда обе скобки по от­дельности равны нулю. Отсюда

.

2.10. Тесты рубежного контроля

1. Электронная конфигурация кобальта, у которого 27 электронов, в основном состоянии

(1) 1s² 2s² 2p⁶ 3s² 3p⁶3d⁷4p²

(2) 1s² 2s² 2p⁶ 3s² 3p⁶3d⁸4s²

(3) 1s² 2s² 2p⁶ 3s² 3p⁶3d⁹

(4) 1s² 2s² 2p⁶ 3s² 3p⁶3d⁷4s²

2. . Если волновые свойства частицы трудно наблюдать, то это происходит из-за

(1) маленьких размеров

(2) большой массы

(3) маленького импульса

(4) большого заряда

3. Какое из утверждений неверно?

(1) волновая функция всегда действительна

(2) волновая функция полностью описывает состояние системы

(3) волновая функция конечна, однозначна, непрерывна вместе с первой производной

(4) В одномерном случае должно выполняться

4. Кратность вырождения энергии водородоподобного атома с главным квантовым числом n.

(1) 2n

(2) 2n²

(3) 2n³

(4) 2(2l+1)

5. Среди переходов правилами отбора запрещены следующие

I ²P_3/2->²S_1/2 II ²F_7/2->²D_5/2 III ²F_5/2->²P_3/2

(1) Только I

(2) Только II

(3) Только III

(4) II и III

6. Какая из нижеследующих функций может быть радиальной волновой функцией электрона в атоме водорода? (А и b - постоянные)

I. A e^{- b r} II. A sin(br) III. A/r

(1) Только I

(2) Только II

(3) Только I и II

(4) I, II, и III

7. Электронная конфигурация основного состояния фосфора, у которого 15 электронов

(1) 1s² 2s² 2p⁶ 3s¹ 3p⁴

(2) 1s² 2s² 2p⁶ 3s² 3p³

(3) 1s² 2s² 2p⁶ 3s² 3d³

(4) 1s² 2s² 2p⁶ 3s¹ 3d⁴

2.11. Принципы оценивания

При правильном ответе на 7 вопросов теста оценка – «5»;

при правильном ответе на 5 или 6 вопросов теста оценка – «4»;

при правильном ответе на 3 или 4 вопроса теста оценка – «3»;

при правильном ответе на 2 и менее вопросов теста оценка-«2».