2.6. Атом водорода

Рассмотрим простейшую систему, состоящую из электрона е, который движется в кулоновском поле ядра с зарядом Ze. Та­кую систему называют водородоподобной. При Z = 1 это атом водорода, при Z = 2 — однократно ионизированный атом ге­лия — ион Не⁺, при Z = 3 — двукратно ионизированный атом лития — ион Li⁺⁺ и т. д.

Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром в такой системе равна

(6.29)

где г — расстояние между электроном и ядром, которое в пер­вом приближении будем считать точечным (здесь и далее). Уравнение Шредингера в этом случае имеет вид

(6.30)

Поле (2.29), в котором движется электрон, является централь­но-симметричным, т. е. зависит только от г. Поэтому решение уравнения (2.30) наиболее целесообразно проводить в сфериче­ской системе координат г, 9, ср, где оператор Лапласа V² имеет следующий вид

(6.31)

Мы не будем воспроизводить здесь этапы решения уравне­ния (2.30), поскольку оно слишком громоздко (об этом красноре­чиво свидетельствует уже сам вид оператора Лапласа). Остано­вимся лишь на сути процесса решения и на анализе окончате­льных результатов

Решение уравнения (2.29) проводят методом разделения пере­менных с учетом естественных требований, налагаемых на Ψ-функцию: она должна быть однозначной, конечной, непре­рывной и гладкой. В процессе решения обнаруживается, что этим требованиям можно удовлетворить при любых положитель­ных значениях энергии £, нов области отрицательных значений Е — только при дискретных значениях Е, а именно, если

п = 1, 2, 3, … (2.32)

Этот случай (Е < 0) для нас представляет особый интерес, поскольку он соответствует связанным состояниям электрона.

Таким образом, последовательное решение уравнения Шре-дингера приводит в случае Е < 0 к формуле (6.4) для энергетиче­ских уровней — без использования каких-либо дополнительных постулатов (в отличие от первоначальной теории Бора). Кроме того, совпадение с формулой (2.25) означает, что мы пришли к той же самой системе энергетических уровней (см. рис. 2.7). Это же относится и к частотам излучения при переходах между уровнями. Поэтому повторять нет необходимости.

Различие в интерпретации относится только к состояниям электрона: в теории Бора это движение по стационарным орби­там, здесь же орбиты теряют физический смысл, их место за­нимают ^-функции.

Собственные функции уравнения (2.28), т. е. ^-функции, со­держат, как выяснилось, три целочисленных параметра — п, I, т:

Ψ = Ψ_nlm(r, θ, φ) (2.33)

где п называют главным квантовым числом (это то же п, что и в выражении для Е_п). Параметры же I и т — это орбитальное и магнитное квантовые числа, определяющие по формулам (5.25) и (5.26) модуль момента импульса М и его проекцию М_г. В процессе решения выясняется, что решения, удовлетворя­ющие* естественным условиям, получаются лишь при значени­ях I, не превышающих п - 1. Таким образом, при данном л квантовое число I может принимать п значений:

l = 0, 1, 2, ... ,п- 1. (2.34)

В свою очередь, при данном I квантовое число т согласно (2.21) может принимать 21 + 1 различных значений:

т=0,±1, ±2, ..., + 1. (2.35)

Энергия Е_п электрона (6.4) зависит только от главного кван­тового числа п. Отсюда следует, что каждому собственному зна­чению Е_п (кроме случая п = 1) соответствует несколько собст­венных функций ц1_П1_т, отличающихся значениями квантовых чисел I и т. Это означает, что электрон может иметь одно и то же значение энергии, находясь в нескольких различных состо­яниях. Например, энергией Е_г (п = 2) обладают четыре состоя­ния: Ψ₂₀₀, Ψ₂i-i, Ψ₂₁₀, Ψ₂₁₊₁-.

Символы состояний. Различные состояния электрона в ато­ме принято обозначать малыми буквами латинского алфавита в зависимости от значения орбитального квантового числа I

(2.36)

Принято говорить о s-состояниях (или s-электронах), р-состоя-ниях (или р-электронах) и т. д.

Значение главного квантового числа п указывают перед сим­волом состояния с данным I. Например, электрон, имеющий главное квантовое число п = 3 и I = 2, обозначают символом 3d и т. д. Выпишем последовательно несколько состояний элект­рона:

Is; 2s, 2p; 3s, Зр, 3d; ... (2.37)

Собственные функции уравнения (2.28) представляют собой произведение двух функций, одна из которых зависит только от г, а другая — только от углов θ и φ:

(2.38)

где первый сомножитель зависит от квантовых чисел п и I, второй же — от I и т.