Модуль 1. Полуклассические теории строения атома Комплексная цель модуля

Рассмотрены в историко-диалектическом аспекте развитие теорий строения атома вплоть до корпускулярно-волновой теории частиц (гипотеза де-Бройля) и соотношения неопределенностей Гейзенберга, приведшие к пониманию, что дальнейшие теории строения атома в классическом аспекте невозможны.

1.1. Первая физическая модель атома – модель Томпсона

Согласно классическим представлениям атом мог бы испускать монохроматическую волну (т. е. спектральную линию) в том случае, когда электрон в излучающем атоме совершает гармонические колебания и, следовательно, удерживается около положения равновесия квазиупругой силой вида F = –kr, где г – отклонение электрона от положения равновесия. В 1903 г. Дж. Дж. Томсон предложил модель атома, согласно которой атом представляет собой равномерно заполненный положительным электричеством шар, внутри которого находится электрон (рис. 1.1). Суммарный положительный заряд шара равен заряду электрона, так что атом в целом нейтрален.

Напряженность поля внутри равномерно заряженного

шара определяется выражением⁴'

(0<г<R),

где е — заряд шара, К — его радиус

Следовательно, на электрон, находящийся на расстоянии г от положения равновесия (от центра шара), будет действовать сила:

F = (-e)E = – = –kr

В таких условиях электрон, выведенный каким-либо образом из положения равновесия, будет совершать колебания с круговой частотой

ω = =

(е — заряд электрона, т — масса электрона, R — радиус атома). Этим соотношением можно воспользоваться для оценки размеров атома.

Длине волны λ = 6000 А (видимая область спектра) соответствует ω ≈  3•10¹⁵ с^–1. Следовательно,

R =

Полученное значение совпадает по порядку величины с газокинетическими размерами атомов, что можно было бы рассматривать как подтверждение модели Томсона. Однако, в дальнейшем выяснилась несостоятельность этой модели, так что в настоящее время она имеет лишь исторический интерес как одно из звеньев в цепи развития представлений о строении атомов.

1.2. Опыт Резерфорда. Планетарная модель атома.

В настоящее время мы знаем, что любой атом со­стоит из положительно заряженного ядра и окружающей его электронной оболочки. Размеры ядра менее 10~¹² см, размеры же самого атома, определяемые электронной оболочкой, поряд­ка 10~⁸ см, т. е. в десятки тысяч раз больше размеров ядра. При этом практически вся масса атома сосредоточена в ядре.

Если все это так, то атом должен быть в высокой степени прозрачным для пронизывающих его частиц. Эксперименталь­ное доказательство изложенной модели атома было дано Резер-фордом (1911) с помощью рассеяния а-частиц (ядер атомов Не) тонкой металлической фольгой.

Было обнаружено, что подавляющее число а-частиц, рассеива­лось на небольшие углы (не больше ~ 3°). Вместе с тем наблюда­лись также отдельные а-частицы, рассеянные на большие углы. Относительно последних Резерфорд сделал вывод, что такие ча­стицы появляются в результате единичного акта их взаимодей­ствия с ядром атома.

Исходя из предположений, что взаимодействие указанных а-частиц с ядром является кулоновским, а заряд и масса ядра локализованы в очень малой области атома, Резерфорд разрабо­тал количественную теорию рассеяния а-частиц и вывел формулу для распределения рассеянных а-частиц в зависимости от угла отклонения θ. В своих рассуждениях Резерфорд принимал во внимание рассеяние а-частиц только на ядрах, поскольку заметного отклонения а-частиц электронами не может быть из-за того, что масса электронов на четыре порядка меньше

массы а-частиц.

Когда а-частица пролетает вблизи ядра, ее траектория представляет собой гиперболу, причем угол отклонения а-частицы – угол θ – равен углу между асимптотами гиперболы (рис. 1.2).

Рис. 1.2

Для угла θ было получено выражение

где q и q₀ — заряды налетающей частицы и ядра, b — прицельный параметр, т. е. расстояние от ядра до первоначального направления движения налетающей частицы, когда она находится вдали от ядра (см. рис. 2.2), К — кинетическая энергия частицы вдали от ядра.

Из формулы (1.1) видно, что чем меньше прицельный параметр b, тем больше угол отклонения θ.

Формула Резерфорда. Непосредственная проверка формулы (1.1) экспериментально невозможна, поскольку мы не можем измерить прицельный параметр b налетающей частицы. Однако, следуя Резерфорду, мы можем положить формулу (11) в основу для следующих расчетов.

Рассмотрим тонкий слой рассеивающего вещества, настолько тонкий (фольга), чтобы каждая налетающая частица пучка пре­терпевала лишь однократное отклонение. Для отклонения в интервале углов (θ, θ + dθ) прицельный параметр должен быть заключен в интервале (b, b + db). При этом значения dθ и db будут связаны определенным соотношением. Чтобы найти его, перепишем сначала (2.1) в виде

(1.2)

a затем возьмем дифференциал от этого выражения

(1.3)

Знак минус в этом выражении обусловлен тем, что знаки db и dθ взаимно противоположны. В дальнейшем существенным будет лишь модуль величин db и d0, поэтому знак минус в (1.3) мы не будем учитывать.

Пусть площадь поперечного сечения узкого пучка налетающих частиц равна S. Тогда число ядер рассеивающего тон кого слоя будет равно nS, где п — число ядер При этом относительное число частиц, имеющих прицельный параметр b в интервале

(b, b + db) и, значит, рассеянных в интервале углов (0, 0 + d0), будет равно (рис. 1.3)

(1.4)

где dS — суммарная площадь колец в сечении S пучка, dN — поток частиц, рассеянных в интервале углов (Q, 0 + d0), и N — поток падающих частиц в пучке.

Подставив в (2.4) выражения для b и d& из (1.2) и (1.3), получим:

(1.5)

Умножим числитель и знаменатель правой части этого равенства на sin(0/2). Тогда

(1.6)

где выражение 2 sin0 d0 — это телесный угол dΩ, в пределах которого заключены углы рассеяния (0, 0 + d0). Поэтому (2.6) можно переписать так:

(1.7)

Это и есть формула Резерфорда. Она определяет относительное число частиц, рассеянных в телесном угле dQ под углом 0 к первоначальному направлению их движения. Напомним, что в этой формуле п — число ядер на единицу поверхности рассеи­вающего слоя (фольги).

Если нас интересует относительное число ΔN/N частиц, рассеянных в конечном интервале углов от θ₁ до θ₂ , то выражение (1.7) надо проинтегрировать, учитывая, что dΩ. = = 2л sinθ dθ. При этом следует иметь в виду, что для малых углов рассеяния (приблизительно меньших 3°) формула Резерфорда не применима. Это связано с тем, что очень малым углам соответствуют большие значения прицельного параметра, выходящие за пределы атома, где сила уже не имеет кулоновского характера.

Заметим, что вопрос о нахождении относительного числа частиц, рассеянных в конечном интервале углов θ, может быть решен значительно проще (без интегрирования). Как именно, показано в нижеследующем примере.

Эффективное сечение. Формулу Резерфорда (2.7) можно представить в несколько ином виде, если ввести понятие дифференциального сечения dσ, равного площади кольца радиусом b и шириной db (см. рис. 1.3). Имея прицельные параметры в интервале (b, b + db), налетающие частицы отклоняются ядрами согласно (1.1) на углы в интервале (0, 0 + d0). Поскольку

dσ = 2b db, (1.8)

формулу (2.7) можно представить так:

(1.9)

где дифференциальное эффективное сечение

(1.10)

Таким образом, формула (1.9) означает, что относительное число частиц, рассеянных в интервале углов (0, 0 + d0), равно произведению количества ядер на единицу поверхности фольги (n) на соответствующее дифференциальное сечение (2.10).