5 Глава. СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИЗУЧЕНИЕ ВАРИАЦИИ
5.1. Однородность и вариация массовых явлений
Как уже было сказано, статистика изучает массовые явления и процессы. Каждое из таких явлений обладает как общими для всей совокупности, так и особенными, индивидуальными свойствами. Различие между индивидуальными явлениями называют вариацией (подразд. 5.5). Здесь же рассмотрим другое свойство массовых явлений — присущую им близость характеристик отдельных явлений. Если в сосуд с горячей водой добавить холодную, то температура воды во всем сосуде станет одинаковой (осреднится). Поведение детей, поступивших в одну группу детского садика или в один класс школы, тоже приобретает до какой-то степени общие, усредненные черты. Массовое промышленное производство невозможно без стандартизации, т.е. усреднения размеров деталей собираемых механизмов, узлов, агрегатов. Введение севооборота, т.е. ротация разных культур по нескольким участкам пашни, приведет к выравниванию плодородия и механических свойств почвы на этих севооборотных полях. Итак, взаимодействие элементов совокупности приводит к ограничению вариации хотя бы части их свойств. Эта тенденция существует объективно. Именно в ее объективности заключена причина широчайшего применения средних величин в теории и на практике.
Каждому рабочему известно, что оплата за простой не по вине рабочего проводится по средним расценкам или по среднечасовому заработку. Каждому студенту известно, что такое средний балл на экзаменах. О средних величинах и серьезно, 120
и с насмешкой говорят и пишут философы и журналисты. С помощью метода средних величин статистика решает много задач.
Главное значение средних величин состоит в их обобщающей функции, т.е. замене множества различных индивидуальных значений признака средней величиной, характеризующей всю совокупность явлений. Всем известны особенности развития современных людей, проявляющиеся в том числе и в более высоком росте сыновей по сравнению с отцами, дочерей в сравнении с матерями в том же возрасте. Но как измерить это явление? В разных семьях наблюдаются самые различные соотношения роста старшего и младшего поколения. Далеко не всякий сын выше отца и не каждая дочь выше матери. Но если измерить средний рост многих тысяч лиц, то по среднему росту сыновей и отцов, дочерей и матерей можно точно установить и сам факт акселерации, и типичную среднюю величину увеличения роста за одно поколение.
На производство одного и того же количества товара определенного вида и качества разные производители (заводы, фирмы) затрачивают неодинаковое количество труда и материальных ресурсов. Но рынок осредняет эти затраты, и стоимость товара определяется средним расходом ресурсов на производство.
Погода в определенном пункте земного шара в один и тот же день в разные годы может быть очень различной. Например, в Санкт-Петербурге 31 марта температура воздуха за сто с лишним лет наблюдений колебалась от -20,1° в 1883 г. до +12,24° в 1920 г. Примерно такие же колебания наблюдаются и
вдругие дни года. По таким индивидуальным данным о погоде
вкакой-то произвольно взятый год нельзя составить представление о климате Санкт-Петербурга. Характеристики климата — это средние за длительный период характеристики погоды — температура воздуха, его влажность, скорость ветра, сумма осадков, число часов солнечного сияния за неделю, месяц и весь год и т.д. Приведем еще один пример осреднения, его роли в управлении важнейшими и опасными процессами, от которых зависит жизнь людей. Физика установила, что невозможно предсказать, когда произойдет распад ядра радиоактивного атома, например изотопа уран-235. Атом может распасться через секунду или через тысячу лет. Но в
121
массе атомов (например, находящихся в стержнях реактора АЭС) точно можно измерить среднюю скорость распада (обычно используют показатель «время полураспада» — время, за которое распадается половина атомов). Вводя веществазамедлители образующихся при распаде атомов урана частиц или убирая их, можно управлять скоростью цепной реакции в урановых стержнях, регулировать мощность реактора, вводить ее в безопасные и экономически выгодные режимы.
Если средняя величина обобщает качественно однородные значения признака, то она является типической характеристикой признака в данной совокупности. Так, можно говорить об измерении типичного роста русских девушек рождения 1983 г. по достижении ими 20-летнего возраста. Типичной характеристикой будет средняя величина надоя молока от коров черно-пестрой породы на первом году лактации при норме кормления 12,5 кормовой единицы в сутки. Для лиц с достаточно однородным уровнем дохода, например рабочих машиностроительной отрасли, пенсионеров по старости (исключая имеющих льготы), можно определить типичные доли расходов на покупку предметов питания в их бюджете.
Однако неправильно сводить роль средних величин только к характеристике типичных значений признаков в однородных по данному признаку совокупностях. На практике современная статистика значительно чаще использует средние величины, обобщающие явно неоднородные явления, как, например, урожайность всех зерновых культур по территории всей России, включая кукурузу, дающую по 50—60 ц/га и более, и гречиху, дающую 6—10 ц/га, и плодородные черноземы Кубани, и скудные почвы Архангельской области. Или рассмотрим такую среднюю, как среднее потребление мяса на душу населения: ведь среди этого населения и дети до одного года, вовсе не потребляющие мяса, и вегетарианцы, и северяне, и южане, шахтеры, спортсмены и пенсионеры. Еще более ясна нетипичность такого среднего показателя, как произведенный национальный доход в среднем на душу населения.
Средняя величина национального дохода на душу, средняя урожайность зерновых по всей стране, среднее потребление разных продуктов питания — это характеристики государства как единой народнохозяйственной системы, так называемые системные средние.
122
Системные средние могут характеризовать как пространственные, или объектные, системы, существующие одномоментно (государство, отрасль, регион, планета Земля и т.п.), так и динамические системы, протяженные во времени (год, десятилетие, сезон и т.п.). Примером системной средней, характеризующей период времени, может служить средняя температура воздуха в Санкт-Петербурге за 1996 г., равная +5,19 °С. Эта средняя величина обобщает и летние высокие температуры +20, +25°, и зимние морозы, осень и весну, дни и ночи.
С другой стороны, средняя температура воздуха за отдельный год не является типической характеристикой климата СанктПетербурга, потому что в разные годы средняя температура года значительно колеблется, например за последние 30 лет от
+2,90° в 1976 г. до +7,44° в 1989 г. Типической характеристикой климата будет многолетняя средняя годовая температура за десятки лет, например, за 1967—1996 гг. она составила +5,05°.
Итак, типическая средняя может обобщать системные средние для однородной совокупности, или системная средняя может обобщать типические средние для единой, хотя и неоднородной, системы. При этом далее типическая средняя не является раз и навсегда данной, неизменной характеристикой. Так, многолетняя средняя температура в Санкт-Петербурге в первые десятилетия и столетие существования города была значительно ниже; она возрастает медленно, но с ускорением за последнее столетие вследствие как роста самого города и энергопотребления в нем, что повышает температуру воздуха, так и начавшегося, и ускоряющегося общего потепления на Земле. Поэтому «типичность» любой средней величины — понятие относительное, ограниченное как в пространстве, так и во времени.
5.2. Средняя арифметическая величина
Понятие средней арифметической Виды средних величин различаются прежде всего тем, какое
свойство, какой параметр исходной варьирующей массы индивидуальных значений признака должен быть сохранен неизменным.
123
Средней арифметической величиной называется такое значение признака в расчете на единицу совокупности, при вычислении которого общий объем признака в совокупности сохраняется неизменным.
Иными словами, средняя арифметическая величина — среднее слагаемое. При ее вычислении общий объем признака мысленно распределяется поровну между всеми единицами совокупности. Например, средняя заработная плата, или средний доход, работников предприятия — это такая сумма денег, которая приходилась бы на каждого работника, если бы весь фонд оплаты труда (или все доходы, направленные на личное потребление) был распределен между работниками поровну. Исходя из определения формула средней арифметической величины имеет вид:
Как видим, средняя арифметическая величина может быть дробным числом, если даже индивидуальные значения признака принимают только целые значения (дискретный признак). Ничего «предосудительного» для метода средних в этом не заключено; из сущности средней не вытекает, что она обязана быть реальным значением признака, которое могло бы встретиться у какой-либо единицы совокупности.
Виды средней арифметической Если при группировке значения осредняемого признака заданы
интервалами, то при расчете средней арифметической величины в качестве значения признака в группах принимают середины этих интервалов, т.е. исходят из гипотезы о равномерном распределении единиц совокупности по интервалу значений признака. Для открытых интервалов в первой и последней группе, если таковые есть, значения признака надо определить экспертным путем исходя из сущности, свойств признака и совокупности. Например, по табл. 5.2 можно ми-
Таблица 5.2 Распределение рабочих предприятия по возрасту
что и записано в итоговую строку по графе 3 табл. 5.2. Напомним, что итог объемного показателя — это сумма, итог по графе относительных показателей или средних групповых величин — относительная или средняя величина. Числитель дроби — это общая сумма человеко-лет, прожитых рабочими предприятия; разделив ее на число работников, получаем возраст в годах, так что логика показателя средней величины соблюдена.
Перейдем к рассмотрению средних вторичных (относительных) признаков. Сумма таких показателей сама по себе реальной величиной какого-либо признака в совокупности не является. Однако общее определение арифметической средней сохраняет силу и в этом случае. При вычислении таких средних величин необходимо, чтобы сохранялась сумма величины объемного признака, который является числителем при построе126
нии осредняемого относительного показателя. Например, при вычислении средней величины урожайности какой-либо сельскохозяйственной культуры (по формуле (5.2)) необходимо, чтобы общий объем валового сбора этой культуры остался неизменным при замене индивидуальных величин урожайности средней величиной. Нельзя менять реальную величину объемного признака — она является базой расчета средней. Чтобы выполнить указанное условие, в качестве весов при расчете средней величины относительного показателя необходимо принять значения того признака, который является знаменателем при определении относительного показателя. Так, при вычислении средней урожайности по совокупности хозяйств весами должны служить размеры площади данной культуры.
Пример. Рассчитаем среднюю долю товаров народного потребления в общем выпуске промышленной продукции по совокупности предприятий (табл. 5.3). В этом случае весом должен являться общий объем всей продукции предприятия.
Но исходная информация может иметь другую форму: индивидуальные значения осредняемого признака могут быть неизвестны, зато известны индивидуальные или суммарные значения объемных признаков как числителя, так и знаменателя относительной величины. Например, известно, что в акционерном сельхозяйственном предприятии было посажено 145 га картофеля и собрано с них 2595,5 т продукции. При этом совершенно не известно, сколько было собрано с каждого из 145 га в отдельности, хотя индивидуальные величины продукции, полученные на каждом гектаре, существовали объективно. Однако никакой потребности в их раздельном
127
Табли ца 5 . 3 Объем и структура промышленной продукции
Свойства средней арифметической величины Знание некоторых математических свойств средней
арифметической полезно как при ее использовании, так и при ее расчете.
1. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от его среднего значения равна нулю.
128
Применение простой и взвешенной средних
Простая и взвешенная средние величины различаются не только по величине (не всегда), по способу вычисления, но и по своей роли в решении различных задач статистического анализа. Рассмотрим, например, среднюю величину урожайности картофеля в группе хозяйств. Если эта средняя при решении поставленной задачи входит в систему показателей площади посадки, валового сбора, себестоимости, суммы затрат и других характеристик производства, то следует применять взвешенную среднюю, так как произведение невзвешен-ной средней на общую сумму площадей не даст суммы валового сбора.
131
132
5.3. Другие формы средних величин
Средняя квадратическая величина Если при замене индивидуальных величин признака на
среднюю величину необходимо сохранить неизменной сумму
Средняя геометрическая величина
Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменным произведение индивидуальных величин, то следует применить геометрическую среднюю величину. Ее формула такова:
Средняя гармоническая величина Если по условиям задачи необходимо, чтобы при осреднении неизменной оставалась сумма величин, обратных
индивидуальным значениям признака, то средняя величина является гармонической средней.
Формула средней гармонической величины такова:
Понятие степенной средней. Соотношение между формами средних величин