6.2. Огибающая, мгновенная фаза и мгновенная частота узкополосного случайного процесса

Комплексный сигнал можно представить в форме [6]:

(6.20)

где называют огибающей сигнала, (6.21)

а мгновенной фазой сигнала.

Здесь s(t) = A(t)∙cos φ(t); s*(t) = A(t)∙ sin φ(t)

Функция φ(t) называется мгновенной фазой сигнала.

Производная от мгновенной фазы сигнала по времени называется мгновенной частотой сигнала:

(6.22)

Например, для гармонического сигнала [6]:

В общем случае мгновенная частота изменяется во времени.

Из (6.21) следует, что A(t) ≥ s(t), причем равенство достигается в моменты времени, когда s*(t) = 0. В этих точках производная A(t) совпадает с производной сигнала s(t):

(6.23)

Следовательно, при s*(t) = 0, огибающая A(t) касается сигнала s(t).

Функция cos(φ(t)) называется высокочастотным заполнением сигнала.

Процесс формирования сигнала на основе огибающей A(t) и фазы φ(t) показан на рис. 6.6.

Рис. 6.6. Временное представление огибающей и высокочастотного заполнения

Если мгновенная частота колеблется вокруг среднего значения ω_ср, то можно записать:

(6.24)

где Θ(t) – называется мгновенной начальной фазой сигнала.

Выражение (6.24) удобно для описания узкополосных сигналов. В этом случае основная часть спектра амплитуд сосредоточена в относительно узкой, по сравнению с A(t) и φ(t), полосе частот. При этом A(t) и φ(t) изменяются медленно по сравнению с cos(ω_ср∙t). Такие сигналы называются квазигармоническими. У случайных сигналов и помех A(t), φ(t), ω(t), ω_ср(t) и Θ(t) являются случайными функциями времени.

7. Корреляционная функция детерминированных сигналов

7.1. Автокорреляция вещественного сигнала

Греческое слово «корреляция» обозначает связь между различными процессами и явлениями. Автокорреляцией называется согласование сигнала s(t) с собственной запаздывающей версией s(t-τ). Автокорреляционная функция (АКФ) действительного вещественного сигнала s(t) конечной длительности определяется следующим образом:

(7.1.)

Автокорреляционная функция B_S(τ) дает меру похожести сигнала с собственной копией, смещенной на τ единиц времени. Переменная τ играет роль параметра сканирования или поиска.

Если сигнал s(t) является периодическим с периодом Т₀, то автокорреляционную функцию следует выражать следующим образом:

(7.2)

Таким образом, значение автокорреляционной функции в нуле периодического сигнала равно средней мощности сигнала.

Разделив B_S(τ) на B_S(0), получим нормированную корреляционную функцию, которая имеет обозначение R_S(τ).

В системах связи для передачи сигналов широко используются видеоимпульсы прямоугольной формы. Для таких сигналов АКФ имеет вид

. (7.3)

Энергия такого видеоимпульса равна

E_S = A_m² _И (7.4)

Важным параметром сигнала s(t) является длительность его АКФ, называемая интервалом корреляции τ_k. Он определяется как отношение площади, ограниченной АКФ сигнала s(t), к энергии сигнала

Свойства автокорреляционной функции вещественного сигнала:

1. B_S(τ) – четная; B_S(τ) = B_S (-τ) (симметрия по τ относительно 0);

2. B_S(0) – max; , т.е. в нуле равно энергии сигнала;

3. B_S(τ) ≤ B_S(0), корреляционная функция является убывающей функцией модуля τ, т. е.

4.– интервал корреляции случайного процесса, характеризует ширину графика функции корреляции:

||  _k – то значения коррелированны,

|| > _k – то значения не коррелированны.

5. R() = В() / В(0) – коэффициент корреляции, R()  1.

Процедура нахождения АКФ представлена на рис. 7.1, где видно, что АКФ прямоугольного видеосигнала является равнобедренным треугольником, и ее длительность равна удвоенной длительности импульса.

Если же сигнал s(t) задается в виде пачки n импульсов, сдвинутых один относительно другого на время Т, то максимальное значение B_S(τ) при τ = 0 равно произведению энергии одного импульса на количество импульсов (см. рис. 7.2).

Рис. 7.1. Нахождение АКФ прямоугольного видеоимпульса

Для оценки степени связи между двумя различными сигналами s₁(t) и s₂(t) используется взаимная корреляционная функция (ВКФ) В₁₂(τ)

(7.5)

Рассмотренная выше автокорреляционная функция B_S(τ) является частным случаем функции В₁₂(τ), когда s₁(t) = s₂(t) = s(t).

Необходимо также отметить, что В₁₂(τ) является асимметричной функцией относительно оси ординат и не всегда достигает максимума при τ = 0.

Рис. 7.2. Автокорреляционная функция пачки импульсов