Дифракция Фраунгофера на двух щелях

Рассмотрим дифракцию от двух параллельных щелей одинаковой ширины bи расположенных на расстоянииaдруг от друга. Дифракционная картина наблюдается в фокальной плоскости линзы (рис.5.4 (а)). Положение дифракционных максимумов и минимумов от одной щели не зависит от ее положения, а определяется направлением дифрагированных лучей. Это значит, что перемещение щели параллельно самой себе не приводит к изменению дифракционной картины. Следовательно, картины, создаваемые каждой щелью в отдельности будут совершенно одинаковыми.

Рис.5.4 а) Схема наблюдения дифракции на двух щелях, б) График функции .

Результирующую картину можно определить путем сложения этих двух картин с учетом интерференции когерентных волн, идущих от каждой из щелей. Очевидно, что в тех направлениях, в которых ни одна из щелей света не дает света, не будет света и при двух параллельных щелях. Условие минимума интенсивности (5.9) выполняется и в данном случае. Кроме того, возможны направления, в которых колебания, посылаемые двумя щелями, взаимно уничтожаются. Возникают добавочные минимумы. Они будут наблюдаться в тех направлениях, которым соответствует разность ходадля волн,идущих от идентичных точек (отстоящих на расстоянии ) обеих щелей. Такие направления определяются (см. рис.5.4 (б)) условием

, гдеm =0,1,2,3,… (5.10)

В направлениях, определяемых из условий

, гдеm=0,1,2,… (5.11)

действие одной щели усиливает действие другой. Этим направлениям соответствуют максимумы интенсивности. Расстояния между первичными минимумами (от одной щели) зависит от ширины щели b. Если,то между двумя первичными минимумами может расположиться несколько минимумов и максимумов. Кривая на рис. 5.4 (б) показывает распределение интенсивностей света при дифракции на двух параллельных щелях. Пунктирная кривая показывает распределение интенсивности от одной щели.

Одномерная дифракционная решётка

Рис. 5.5 Дифракция света на решётке.

Это система из большого числаNпараллельных друг другу щелей ширинойb. Щели разделены непрозрачными равными по ширине промежуткамиa. Расстояниеназывается периодом решётки (рис.5.5).

Пусть плоская монохроматическая когерентная световая волна падает на решетку нормально. Если бы световые волны, исходящие от щелей были бы не когерентны друг другу, то на экране наблюдалась бы дифракционная картина от одной щели, но с интенсивностью усиленной в Nраз. Так как колебания исходящие от щелей когерентны, то они интерферируют друг с другом, и дифракционная картина изменяется и состоит из достаточно узких интенсивных максимумов (рис. 5.6). Такая картина является по сути дифракционно-интерференционной.

В середину дифракционной картины (фокус линзы) когерентные колебания от всех щелей приходят в фазе. Это значит, что если амплитуда от одной щели равна A₀, то результирующая амплитудаАи соответствующая ей интенсивностьIбудут определяться формулами,. Такой же результат получается и при углах дифракции, для которых оптическая разность хода колебаний от соседних щелей равна целому числу длин волн

(5.12)

Рис.5.6 График функции интенсивности .

В направлениях, определяемых этим уравнением, возникают максимумы. Их называют главными максимумамиm-ого порядка, а уравнение (5.12) – условием главных максимумов.

В направлениях , определяемых условием (5.9) дифракционная картина от многих щелей так же имеет минимум освещённости. Это означает, что если от каждой щели свет приходит в данную точку экрана в ослаблении, то при интерференции света, идущего от всех щелей, в данной точке также будет минимум освещённости.

Между главными максимумами располагаются интерференционных минимумов, между которыми находятсядобавочные максимумы, имеющие пренебрежимо малую интенсивность.

Получим условие интерференционных минимумов с помощью векторной диаграммы, изображённой на рис.5.3. Пусть – вектора амплитуд колебаний приходящих в точкуPэкрана от каждой изN щелей. По модулю эти векторы так же одинаковы, каждый из векторов сдвинут относительно предыдущего на одинаковый угол– сдвиг фаз колебаний приходящих от соседних щелей. Этот угол связан с оптической разностью ходасоответствующих лучей от соседних щелей следующим соотношением. Если цепочка векторов замыкается, то результирующая амплитуда колебания в точкеPбудет равна нулю, значит, приходящие от щелей в точкуPколебания взаимно уничтожают друг друга. При этом уголстанет равнымилиесли цепочка закрутитьсяраз. С учётом написанного выше соотношения получаем

,,. (5.13)

Рис. 5.7 График зависимости интенсивности от угла дифракции

Дифракция от круглого отверстия

В этом случае дифракционная картина представляет собой чередование светлых и темных колец вокруг центрального светлого пятна. В отличие от дифракции Френеля на круглом отверстии центральное пятно дифракционной картины всегда светлое. Интенсивности светлых колец малы по сравнению с интенсивностью центрального светлого пятна (рис.5.7). Положение минимумов и максимумов удовлетворяют условиям:

,, (5.14)

где m= 1, 2, 3, 4,... – порядок максимума или минимума, R– радиус отверстия. Значенияk_min,k_maxи относительные интенсивности максимумовI_отндляm= 1,2,3,4 приведены в таблице:

Таблица №1

m	kmax	kmin	Iотн
1	0	0.61	1
2	0.41	0.56	0.0175
3	0.44	0.54	0.0042
4	0.46	0.53	0.0016

Из условия (5.14) следует, что светлое пятно в центре картины можно охарактеризовать угловым расстоянием от центра до первого минимума

, (5.15)

где D– диаметр отверстия. При получении формулы приняли, чтодля малых углов.

Это соотношение оказывается весьма важным в практическом смысле, так как изображение точки, даваемое линзой (объективом), имеет вид дифракционного кружка угловым размером, определяемым из (5.15), что является результатом дифракции света на оправе линзы.

Рассмотрим два одинаковых некогерентных точечных источника. Если расстояние между центрами их изображений мало по сравнению с размерами центральных светлых пятен дифракционных картин, то результирующая картина практически не отличается от изображения одного точечного источника. И тогда говорят, что объектив не разрешает рассматриваемые точки.

Начиная с некоторого расстояния между центрами обоих светлых кружков, между ними появляется темный провал, и это будет восприниматься как раздельное изображение двух точек. При этом считается, что объектив разрешает эти точки.

Количественный критерий разрешающей способности был предложен Рэлеем. Согласно критерию, два точечных некогерентных источника считаются разрешенными, если центр дифракционного пятна от одного из них совпадает с ближайшим к центру минимумом дифракционной картины от другого. Значит, минимальное угловое расстояние между источниками определяется формулой (5.15).

Величину, обратную предельному углу , называют разрешающей способностью

(5.16)

При увеличении диаметра Dразрешающая способность увеличивается.