20. Понятие производящей функции

Df. 1.: Если дана числовая последовательность а₀, а₁, … (1), то ф-ция f(z)=a₀+a₁z+a₂z²+…=(2) называется производящей ф-цией для последовательности (1).

Df.2.: Если дана числовая последовательность (1), то ф-ция F(z)=a₀+a₁ +a₂ +…= (3) называется экспоненциальной производящей ф-цией для послед-сти (1). Замечание: Производящая ф-ция позволяет определять такие св-ва послед-сти (1), которые др. способами определить невозможно.

Замечание: Производящую ф-цию легче построить когда последовательность (1) задана рекуррентным соотношением.

21. Интуитивное понятие алгоритма

Прежде чем дать строгое математическое определение понятия алгоритма, рассмотрим основные его свойства:

1) Массовость(алгоритм пригоден для решения не одной задачи, а целого класса однотипных задач); 2)Элементарность шагов алгоритма(действия, выполняемые на каждом этапе, должны быть достаточно простыми);

3)Детерминированность(действия, выполняемые на каждом этапе, определяются однозначно и однозначно определяется переход к следующему этапу);

4) Дискретность(алгоритм работает в дискретном времени так, что в начальный момент задаётся исходный набор величин, а в каждый последующий момент времени-набор величин получается из набора, имевшегося в предшествующий момент времени );

5)Направленность шагов алгоритма(если в какой-то момент времени мы не получаем результата, то должно быть указано, что следует считать за результат). Мы не дали строгого математического определения понятия алгоритма, а только лишь описали его св-ва. Эти св-ва в какой-то степени определяют понятие алгоритма. Такое понятие алгоритма называется интуитивным. В математике к началу ХХ века сложился целый круг задач, которые математики пытались решить, но не смогли этого сделать. Возникло подозрение, что для этих задач вообще нет алгоритмов решения, но одно дело доказать, что для решения задачи есть алгоритм, а другое, что его нет. В 1-ом случае достаточно найти решение задачи, во 2-ом необходимо иметь строгое математическое определение понятия алгоритма. Поэтому в математике к началу ХХ века возникла острая необходимость в выработке строгого математического определения понятия алгоритма. Эта задача была успешно решена в середине 30-ых гг ХХв.

22. Машины Тьюринга. Вычислимые функции

1. МТ

Близкие по смыслу строгие определения понятия алгоритма дали независимо друг от друга Э.Пост и А.Тьюринг. Они исходили из того, что алгоритм-чёткий процесс-это процесс, который может выполнять, подходящим образом, устроенная машина. Они описали такие машины и в последствие эти машины были названы машинами Тьюринга.

Машина Тьюринга(МТ) состоит из ленты и головки.

Лента бесконечна в обе стороны и разделена на ячейки равной длины. В каждой ячейке записан ровно один символ из множества {а₀,а₁,…,а_n}, называемого внешним алфавитом МТ. Символ а₀ выделяют и ячейку, в которой записан этот символ, называют пустой. В каждый момент времени головка находится у полне определённой ячейки. Говорят, что головка обозревает ячейку. В каждый момент времени головка находится в одном из состояний мн-ва {q₀,q₁,…,q_m}, называемого внутренним алфавитом МТ. При этом состояния q₁ и q₀ называют соответственно начальным и конечным. В зависимости от того, в каком состоянии находится головка и какой символ она обозревает выполняются след. действия:

1)Головка стирает, записанный ячейки символ и записывает туда новый(может записать тот же).

2)Головка сдвигается влево (Л) или вправо (П), или остаётся на месте (С).

3)Головка переходит в новое внутреннее состояние или остаётся в том же. Выполнение этих действий называется выполнением команды, а сама команда записывается в виде: q_ia_i->a_jD_jq_j, где D_j€{Л, П, С}.

Df.1.:Совокупность всех команд называется программой МТ.При этом должны выполняться 2 требования: 1)В левой части каждой команды записано состояние, отличное от q₀.

2)В программе нет никаких 2-ух команд с одинаковыми левыми частями.

Df.2.: Конфигурацией МТ называется совокупность следующих 3 условий:

1)Слово на ленте(послед-сть символов в ячейках ленты).

2)Состояние головки.

3)Указание обозрев-ого символа. В завис-ти от началн. конфигурации и программ МТ могут быть 2 случая: 1. После конечного числа раз выполнения команд, головка приходит в состояние q₀, после чего машина останавливается. В этом случае результатом работы машины считается конечная конфигурация.

2. Головка никогда не приходит в состояние q₀. В этом случае машина работает безостановочно и говорят, что машина не применима к начальной конфигурации.

2. Выч. Ф-ции

Df.3.: Ф-ция называется числовой, если она сама и её аргументы принимают значения из мн-ва {0,1,2,3,…}. Зам.: В этой главе будем рассматривать только числовые ф-ции.

Зам.: Целое неотрицательное число m на ленте МТ будем задавать последовательностью из (m+1) единицы и обозначать 1^m+1.

Df.4.:Числовая ф-ция f(х₁,х₂,…,х_n) называется вычислимой по Тьюрингу (или просто вычислимой), если имеется такая МТ, что для любого набора (m₁ m₂ … m_n) выполняются условия:

1)Если f(m₁ m₂ … m_n)=m, то машина перерабатывает слово на ленте 1^m1+1 0 1^m2+1 0 … 1^mn+1 в слово 1^m+1. 2)Если значение f(m₁ m₂ … m_n) не определено, то машина не применима к начальной конфигурации q₁ 1^m1+1 0 1^m2+1 0 … 1^mn+1.