26. Критерии эффективности алгоритма

При реш. практ-их задач выбор подходящего алг. вызывает определённые трудности. При этом имеются разлч-ые критерии для оценки эффект-ти алг. Мы будем рассматривать 2 осн. Критерия:

1) Временная сложность – это время выполн-ия алг., как функция от размера задачи.

2)Ёмкостносная сложность – это количество внутрн памяти, как ф-ция от размера задачи.

Df.1.: Размер задачи - это некоторое число, кот-е характеризует данную конкретную задачу. Например, размером задачи о графах может быть кол-во рёбер данного графа. Размером задачи о перемножении матриц может быть размер наибольшей матрицы и т.д.

Df.2.: Временная сложность – количество шагов, которые надо выполнить алгоритму для достижения результата на идеализированном компьютере. В качестве такого идеализированного компьютера можно рассматривать МТ. Если размер задачи есть n, то временную сложность обозначают T(n). Так, например, если T(n)=сn², то это есть квадратная временная сложность. При этом под T(n) обычно понимают время выполнения в наихудшем случае, т.е. как наибольшее время по всем входным данным длины n. Кроме того, рассматривают ещё Т_сред.(n) как среднее статистическое время выполнения по всем входным данным длины n. Нахождение Т_сред.(n) является трудно разрешимой математической задачей. Замечание: при исследовании временной сложности большую роль играет скорость роста функции. Df 5.14:Пусть f(n) и g(n)-функции, определённое на множестве целых положительных чисел и принимающие действительные положительные значения. Тогда: 1) f(n)=O(g(n)), если имеются такие константы 0 и n₀, что для n≥n₀ выполняется условие f(n)≤cg_n, 2)f(n)=Ω(g(n)), если имеются такие константы с и n₀, что для каждого n≥n₀ выполняется условие f(n)≥cg_n. 3)f(n)=(g(n)), если имеются такие константы с₁, с₂, n₀, что для каждого n≥n₀ выполняется условие c₁g(n)≤f(n)≤c₂g(n). Замечание: Из записи T(n)=O(g(n)) следует, что ф-ция g(n) является верхней границей скорости роста T(n), а из записи T(n)= Ω(g(n)) => g(n) является нижней границей скорости роста T(n). При этом O(g(n)) определяет в конечном итоге размеры задач, которые можно решать этим алгоритмам. Замечание: В связи с ростом быстродействия компьютеров можно подумать, что значение и роль эффективных алгоритмов будет уменьшаться. Однако, наблюдается прямопротивоположная тенденция. Пусть, например, имеются 4 алгоритма А₁, А₂, А₃, А₄ со следующими характеристиками:

Алг.	Временная сложность	Размер наиболш задачи разреш-ой на современ.компе	Разм наиб. зад, разр-ой на совр. компе в 10 раз быстрее
А1	n	S1	10S1
А2	n2	S2	3,16S2
А3	n3	S3	2,15S3
А4	2n	S4	1,3S4

Из таблицы видно, что увеличение быстродействия компьютера в 10 раз для полиномиальных алгоритмов А₁, А₂, А₃, А₄ даёт выигрыш в разы, а для экспоненциального алгоритма А₄ только на 30%. Замечание: Иногда мультипликативная константа алгоритма А с меньшей скоростью роста временной сложности может оказаться намного больше, чем такая же мультипликативная константа алгоритма В с большей степенью порядка пустосложностью. Например, если алгоритм А имеет временную сложность 1000n, а алгоритм В – 2n², то худший алгоритм В окажется лучшим для задач с размером n≤22. Поэтому бывает так, что худшие алгоритмы оказываются более эффективными для большинства задач реально встречавшимися на практике. Замечание: известны случаи, когда более эффективные алгоритмы требуют значительно больших объёмов памяти, чем менее эффективные. Это обстоятельство сводит на нет все преимущества эффективного алгоритма.