5. Нормальные формулы логики предикатов

Df. 2.7: Формула называется приведенной, если она удовлетворяет условиям:

1. В формуле нет символов .

2. Знак отрицания относится только лишь к символам элементарных высказываний и предикатов.

Зам: Пользуясь имеющимися равносильностями, каждую формулу можно преобразовать в равносильную ей нормальную.

Df 2.18: Приведенная формула называется нормальной, если в ней нет кванторов либо кванторы вынесены за скобки.

Теор 2.2: Каждую формулу логики предикатов можно преобразовать в равносильную ей нормальную формулу.

Д-во: Пусть дана формула А. Будем считать, что она уже является приведенной, и доказательство теоремы проведем по принципу математической индукции относительно g(A) – числа символов операции в формуле А. (А=. ) С) g(А) = 3);

1. g(А)=0, т.е. ф-ла А не содержит символов операции и поэтому является нормальной.

2. Пусть для всех формул, имеющих не более, чем k символов операций, доказываемое высказывание выполняется. Докажем теорему для такой формулы А, что g(А) = k+1. Для А возможны следующие случаи:

Сл.1: А=(В). Т.к. g(A)=k+1 и А= А=(В), то g(В)=k. Поэтому по индуктивному предположению ф-ла В является нормальной, а приписывая слева к нормальной формуле квантор мы вновь получаем нормальную формулу.

Сл.2: А=(В). Этот случай рассматривается аналогично случаю 1.

Сл.3: А=. Т.к. g(A)=k+1 и А=, то g(B)=k. Поэтому по индуктивному предположению формула В является нормальной. Тогда, избавляясь вначале от отрицания над кванторами, а затем от отрицания над операциями логики высказываний, мы получаем нормальную формулу.

Сл.4: А=В С. Т.к. g(A)=k+1 и А=В С, то g(B)k, g(C)k. Поэтому по индуктивному предположению формулы В и С являются нормальными. Тогда, переименовывая в формулах В и С связные переменные по равносильностям 35,36 так, чтобы они стали различными, а затем, вынося кванторы за скобки, мы получим нормальную формулу.

Сл.5: А=В С. Этот случай рассматривается аналогично случаю 4. Чтд.

6. Языки. Аксиомы. Правила вывода

Df. При исследовании высказываний используется Аксиоматическая теория, которая называется ИВ.

Каждая аксиоматическая теория имеет 3 характерные черты:

1. Язык.

Он состоит из алфавита и способа образования формул.

Df. 3.1: Алфавитом называется множества попарно различных символов.

Df. 3.2: Алфавит исчислений высказываний(ИВ) состоит из следующих 3 групп символов:

- Большие печатные буквы латинского алфавита: А, В, С, …;

- следующие символы: ;

- скобки: (, );

Зам: При построении аксиоматической теории разрешается пользоваться только лишь символами алфавита этой теории.

Способы образования формул – это те правила, по которым строят формулы. В ИВ такими правилами являются следующие:

- Каждый символ 1-ой группы алфавита является формулой;

- если А- формула, то и – так же является формулой;

- если А и В - формулы, то и () – тоже формула;

- других формул нет.

Зам: В определение формулы использовались формулы А,В алфавиту. Такие символы называются метасимволами, и они являются удобным средством для сокращений записи.

Зам: Символам алфавита не придается, пока, никакого содержательного смысла.

2. Аксиомы.

Во множестве формул каждой аксиоматической теории выделяют некоторое подмножество, формулы которого и объявляют аксиомы. В ИВ все аксиомы задаются с помощью следующих схем:

1. ;

2.(А;

3. ;

3. Правила вывода

Они позволяют из данных формул получать новые. В ИВ имеется единственное правило вывода:

Modus ponens(MP) – это правило будучи примененным к формулам вида А и АВ дает формулу В.