39. Критерий однозначности алфавитного кодирования

Система: а₁-В₁, а₂-В₂,…, а_r-В_r (Σ)

Рассм алфав кодиров со схемой (Σ) пусть кодиров будет таким, что S’(Ӓ)=S(Ӓ), т.е. источник сообщ порождает все слова в алфав Ӓ.

Мно-во всех слов алфав Ɓ, которые получ при этом кодиров обознач через S2(Ɓ). В том случае когда отображ S’(Ӓ) на S2(Ɓ) обл взаимнооднозн возможно декодирование это значит по коду сообщ В можно однозначно восстановить исходное сообщ А.

Пример. Пусть алфав Ӓ={a1, a2} , Ɓ={b1,b2}пусть алфав кодиров задаётся сл системой: а1-В1=в1 и а2-В2=в1в2 (Σ)

Тогда декодирование по этой схеме будет происходить след образом . В коде В мы отыскиваем буквы в2 перед каждой из которых должна находиться буква в1, тогда кажд такую пару в1в2 заменим на букву а2, после этого каждую из оставшихся букв в1 заменяем на букву а1. Так наприм если код В имеет вид В=в1в1в2в2в1в1в2, то исходное сообщ А было А=а1а1а2а1а2

Замеч Можно привести примеры схем алфавитного кодирования которые не обладают возможн декодирования В.

Df. Если слово В имеет вид В=В’В’’ то слово В’ наз началом слова В, В’’- концом слова В. Все начала и концы слова отличные от самого слова наз собственными.

Df. Говорят что схема (Σ) обладает св-вом предиката , если никакой элемент код Вi(1≤i≤r) не явл префиксом никакого другого элемент кода Вj(1≤i≤r).

Замеч В посл прим схема (Σ = ) облад св-вом префиксам, т.к. элем код В1 явл префиксом кода В2

Теорема 7.1 Если схема (Σ) обладает св-вом префикса , то алфавитн кодир опред этой схемой явл взаимнооднозначной.

Д-во: пусть сх (Σ) обладает св-вом префикса. Предположим что алфав кодирование определ этой схемой не явл взаимнооднозн . Это означает что найдётся хотябы одно слово В, которое допускает не расшифровки В=Вi1Bi2…Bis B=Bj1Bj2…Bjt , такие что Bi1=Bj1… Bis=Bjt но Bik+1≠Bjk+1 поскольку Bik+1 Bik+1…Bik=Bjk+1 Bjk+2…Bjk, то либо элемент код Bik+1 явл префиксом элем кода Bjk+1, либо наоборот , но и первое и второе против тому что схема (Σ) обладает св-вом префикса следоват предполож не верно

Если дано слово В=вi1,bi2,…,bik, то через В(с чёрточкой св)обозначим слово, полученное обращением слова В, т.е. В(с чёрт св)=вik,…,bi1, тогда для схемы (Σ) запишем схему (Σс чёрточкой): а1->В1с чёрт, а2->В2с чёрт, аr->Brс чёрт.

Замеч.Для посл прим. (Σ) схемой (Σ с чёрточкой сверху) будет а1->b1=B1 (c чёрточкой) а2-> в2в1=В2(с чёрточкой)

Замеч. Кодиров определ схемой (Σ) и кодирован определ схемой (Σ с чёрточкой ), либо одноврем обладают возможнстью декодиров либо нет, поэтому можно судить по сл теореме

Теорема 7.2 Если схема (Σ) или (Σ с чёрточкой) облад св-вом префикса, то алфав кодиров опред каждой из этих схем явл взаимнооднозн.

Замеч. Можно привести прим когда на схеме (Σ), или схема (Σс чёрточкой) не обладает св-вом префикса, но алфав кодиров определ кажд из этих схем явл взаимнооднозн . Через l(B) мы обозначим длину слова В L(B1B2…Br) мы обозначим длину всех слов. Пусть Вi=В’Вi1Вi2…ВiкВ’’ (*)-разложение элем кода В1по другим элем кодам, где В’В’’- слова отлич от элемент кодов, здесь к≥0, через К обозначим наибольшее к взятое по всевозможным разлож элемент кодов по др элемент кодам.

Пример.система:а1->в1в2=В1

а2->в2в3=В2

а3->в1в2в1в3=В3

а4->в2в1в2в2в3=В4 В3=В1в1в3 В4=в2В1В2 К=2

Замеч. Через S^N(Ӓ) обозначим мн-во всех слов в алфавите Ӓ, имеющих длину не более чем N. Мощность этого мн-ва будет = сумме rⁱ. Сформулир. Теорему, кот доказал Марков А. А.

Теорема 7.3 Для каждого алфав кодиров со схемой (Σ), существует такое Ni удовл условию N0≤[(k+1)(L-r+2)/2], что проблема взаимной однозначности алфав кодиров со схемой (Σ) сводится к аналогичной проблеме кодиров мн-ва S^N0(Ӓ). Для посл примера N0≤(2+1)(13-4+2)/2=16.