1. Задачи которые приводят к ду. Понятие ду, его порядок. Решение ду. Общие и частные решения.

Дана f(x) нужно найти ее первообразную (неопределенный интеграл). Если искомую первообразную обозначить через у то указанная задача может быть записана в виде ур-ия:

Равносильные между собой (1) и (2) являются простейшими ДУ. Решения кот имеют вид:

Где знак обозначает какую-нибудь первообразную, а С есть произвольная постоянная. Оказывается что решения (1)и (2) определяются не однозначно. ДУ имеет бесконечное множество решений. Каждое из которых получается если произвольную С придать определенное числовое значение.

Решение (3) уравнения (1) содержащее произвольную постоянную называется общим решением.

Каждое решение получающееся из общего решения, если дать определенное значение называется частным решением.

Обыкновенное ДУ называется уравнение вида: гдеFесть известная функция. Х – независимая переменная, у- искомая функция.

Порядком ДУ называется наивысший порядок производной функции у(х) входящее в уравнение (4).

Функция y=Φ(x) называется решения ДУ (4) если она n-раз непрерывно дифференцируема на некотором интервале I , и при удовлетворяющие уравнению (4).

Решение может быть получено в неявном виде Ф(х,у)=0 или в параметрической форме:t-параметр.

2. Формы записи дифференциальных уравнений первого порядка. Интегральные кривые. Поле направлений. Метод изоклин.

Если уравнение можно представить в виде:то говорят что ДУ представимо в нормальном или разрешённом относительно производной виде.

Т.О. ДУ I-го порядка есть соотношение связывающее искомую функцию и производную от искомой функции.

Примем Х и У за декартовые координаты плоскости. В каждой точке с координатами (х,у)этой плоскости при заданной f из уравнения (6) поставим в соответствие значение производную

Пусть есть решения уравнения (6) тогда кривая определенная этим уравнением называется интегральной кривой ДУ или интегральная кривая есть график решения ДУ.

Значения естьtg α образованной касательной с осью Ох т.о. каждой точки (х,у) рассмотренной области уравнения (6) ставит в соответствие некоторое направление. Мы получили поле направлений.

Линия где наклон одинаковый называется изоклином и имеет уравнение: f(x,y)=k

3. Ду с разделяющимися переменными.

уравнения (1) называются уравнения первого порядка не содержащие явно искомую функцию. (2) общее решение уравнения (1)

Выясним смысл произвольной постоянной С. В уравнении (2) запишем неопределенный интеграл (с переменным верхним пределом): . Придавая х значенияи обозначимзначения функции в точкеполучим чтот.о. частное решение вполне определяется если задать нач. значение искомой функции.